{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że dla każdego \\(m\\) ciąg \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\frac{m+3}{6},\\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\nCiąg trójwyrazowy \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\ \\frac{m+3}{6},\\ \\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny dla każdego \\(m \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie warunku różnic (definicja ciągu arytmetycznego)\n\n**Co musimy pokazać?**\n\nCiąg \\((a_1, a_2, a_3)\\) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nczyli gdy różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała.\n\n**Oznaczamy wyrazy:**\n\n\\[a_1 = \\frac{m+1}{4}, \\qquad a_2 = \\frac{m+3}{6}, \\qquad a_3 = \\frac{m+9}{12}\\]\n\n**Obliczamy różnicę \\(a_2 - a_1\\):**\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika 12:\n\n\\[a_2 - a_1 = \\frac{m+3}{6} - \\frac{m+1}{4} = \\frac{2(m+3)}{12} - \\frac{3(m+1)}{12}\\]\n\n\\[= \\frac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \\frac{2m + 6 - 3m - 3}{12} = \\frac{-m+3}{12} = \\frac{3-m}{12}\\]\n\n**Obliczamy różnicę \\(a_3 - a_2\\):**\n\n\\[a_3 - a_2 = \\frac{m+9}{12} - \\frac{m+3}{6} = \\frac{m+9}{12} - \\frac{2(m+3)}{12}\\]\n\n\\[= \\frac{m+9 - 2(m+3)}{12} = \\frac{m + 9 - 2m - 6}{12} = \\frac{-m+3}{12} = \\frac{3-m}{12}\\]\n\n**Wniosek:**\n\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \\frac{3-m}{12}\\]\n\nPonieważ obie różnice są równe **dla każdego** \\(m \\in \\mathbb{R}\\), ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Warunek środkowego wyrazu (własność z karty CKE)\n\n**Alternatywny warunek:** ciąg \\((a_1, a_2, a_3)\\) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\n**Obliczamy prawą stronę:**\n\n\\[\\frac{a_1 + a_3}{2} = \\frac{\\dfrac{m+1}{4} + \\dfrac{m+9}{12}}{2}\\]\n\nSprowadzamy licznik do wspólnego mianownika 12:\n\n\\[\\frac{a_1+a_3}{2} = \\frac{\\dfrac{3(m+1)}{12} + \\dfrac{m+9}{12}}{2} = \\frac{\\dfrac{3m+3+m+9}{12}}{2} = \\frac{\\dfrac{4m+12}{12}}{2} = \\frac{4m+12}{24} = \\frac{m+3}{6}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy to równa się \\(a_2\\):**\n\n\\[a_2 = \\frac{m+3}{6} \\checkmark\\]\n\nWarunek \\(a_2 = \\frac{a_1+a_3}{2}\\) jest spełniony dla każdego \\(m\\), więc ciąg jest arytmetyczny. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - środkowy wyraz musi być średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. To równoważna definicja, wygodna gdy nie szukamy różnicy wprost.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy policzyć tylko jednej różnicy \\(a_2 - a_1\\). Trzeba sprawdzić **obie** różnice lub skorzystać z warunku środkowego wyrazu - dopiero wtedy mamy pełny dowód.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach (4, 6, 12) - zawsze szukamy **NWW mianowników**. Tu NWW(4, 6, 12) = 12. Pośpieszne mnożenie krzyżowe bez sprowadzenia do wspólnego mianownika to najczęstsze źródło błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica ciągu arytmetycznego **może zależeć od \\(m\\)** - i tak jest tutaj: \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). To nie jest błąd! Warunek \"arytmetyczny\" wymaga tylko, żeby różnica była **stała wzdłuż ciągu** (czyli \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\)), a nie żeby była stałą liczbą niezależną od parametru.\n\n**Dowód, że ciąg \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\, \\frac{m+3}{6},\\, \\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny:**\n\nCiąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, tzn.:\n\\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\)\n\n**Obliczamy \\(a_2 - a_1\\):**\n\\(\\frac{m+3}{6} - \\frac{m+1}{4} = \\frac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \\frac{2m + 6 - 3m - 3}{12} = \\frac{-m + 3}{12} = \\frac{3 - m}{12}\\)\n\n**Obliczamy \\(a_3 - a_2\\):**\n\\(\\frac{m+9}{12} - \\frac{m+3}{6} = \\frac{(m+9) - 2(m+3)}{12} = \\frac{m + 9 - 2m - 6}{12} = \\frac{-m + 3}{12} = \\frac{3 - m}{12}\\)\n\nPonieważ \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \\frac{3-m}{12}\\) dla każdego \\(m\\), ciąg jest arytmetyczny o różnicy \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). ∎\n\n**Użyte wzory:** definicja ciągu arytmetycznego (stała różnica między kolejnymi wyrazami).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Wykaż, że dla każdego \\(m\\) ciąg \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\frac{m+3}{6},\\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód

\n

Ciąg trójwyrazowy \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\ \\frac{m+3}{6},\\ \\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny dla każdego \\(m \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Sposób 1 - Sprawdzenie warunku różnic (definicja ciągu arytmetycznego)

\n

Co musimy pokazać?

\n

Ciąg \\((a_1, a_2, a_3)\\) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:
\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]

\n

czyli gdy różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała.

\n

Oznaczamy wyrazy:

\n

\\[a_1 = \\frac{m+1}{4}, \\qquad a_2 = \\frac{m+3}{6}, \\qquad a_3 = \\frac{m+9}{12}\\]

\n

Obliczamy różnicę \\(a_2 - a_1\\):

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika 12:

\n

\\[a_2 - a_1 = \\frac{m+3}{6} - \\frac{m+1}{4} = \\frac{2(m+3)}{12} - \\frac{3(m+1)}{12}\\]

\n

\\[= \\frac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \\frac{2m + 6 - 3m - 3}{12} = \\frac{-m+3}{12} = \\frac{3-m}{12}\\]

\n

Obliczamy różnicę \\(a_3 - a_2\\):

\n

\\[a_3 - a_2 = \\frac{m+9}{12} - \\frac{m+3}{6} = \\frac{m+9}{12} - \\frac{2(m+3)}{12}\\]

\n

\\[= \\frac{m+9 - 2(m+3)}{12} = \\frac{m + 9 - 2m - 6}{12} = \\frac{-m+3}{12} = \\frac{3-m}{12}\\]

\n

Wniosek:

\n

\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \\frac{3-m}{12}\\]

\n

Ponieważ obie różnice są równe dla każdego \\(m \\in \\mathbb{R}\\), ciąg jest arytmetyczny z różnicą \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Warunek środkowego wyrazu (własność z karty CKE)

\n

Alternatywny warunek: ciąg \\((a_1, a_2, a_3)\\) jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:

\n

\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]

\n

Obliczamy prawą stronę:

\n

\\[\\frac{a_1 + a_3}{2} = \\frac{\\dfrac{m+1}{4} + \\dfrac{m+9}{12}}{2}\\]

\n

Sprowadzamy licznik do wspólnego mianownika 12:

\n

\\[\\frac{a_1+a_3}{2} = \\frac{\\dfrac{3(m+1)}{12} + \\dfrac{m+9}{12}}{2} = \\frac{\\dfrac{3m+3+m+9}{12}}{2} = \\frac{\\dfrac{4m+12}{12}}{2} = \\frac{4m+12}{24} = \\frac{m+3}{6}\\]

\n

Sprawdzamy, czy to równa się \\(a_2\\):

\n

\\[a_2 = \\frac{m+3}{6} \\checkmark\\]

\n

Warunek \\(a_2 = \\frac{a_1+a_3}{2}\\) jest spełniony dla każdego \\(m\\), więc ciąg jest arytmetyczny. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:

\n

\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]

\n

Użyliśmy jej w Sposobie 2 - środkowy wyraz musi być średnią arytmetyczną sąsiednich wyrazów. To równoważna definicja, wygodna gdy nie szukamy różnicy wprost.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy policzyć tylko jednej różnicy \\(a_2 - a_1\\). Trzeba sprawdzić obie różnice lub skorzystać z warunku środkowego wyrazu - dopiero wtedy mamy pełny dowód.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach (4, 6, 12) - zawsze szukamy NWW mianowników. Tu NWW(4, 6, 12) = 12. Pośpieszne mnożenie krzyżowe bez sprowadzenia do wspólnego mianownika to najczęstsze źródło błędów rachunkowych.
\n
⚠️ Uwaga: Różnica ciągu arytmetycznego może zależeć od \\(m\\) - i tak jest tutaj: \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). To nie jest błąd! Warunek "arytmetyczny" wymaga tylko, żeby różnica była stała wzdłuż ciągu (czyli \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\)), a nie żeby była stałą liczbą niezależną od parametru.
\n

Dowód, że ciąg \\(\\left(\\frac{m+1}{4},\\, \\frac{m+3}{6},\\, \\frac{m+9}{12}\\right)\\) jest arytmetyczny:

\n

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała, tzn.:
\\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\)

\n

Obliczamy \\(a_2 - a_1\\):
\\(\\frac{m+3}{6} - \\frac{m+1}{4} = \\frac{2(m+3) - 3(m+1)}{12} = \\frac{2m + 6 - 3m - 3}{12} = \\frac{-m + 3}{12} = \\frac{3 - m}{12}\\)

\n

Obliczamy \\(a_3 - a_2\\):
\\(\\frac{m+9}{12} - \\frac{m+3}{6} = \\frac{(m+9) - 2(m+3)}{12} = \\frac{m + 9 - 2m - 6}{12} = \\frac{-m + 3}{12} = \\frac{3 - m}{12}\\)

\n

Ponieważ \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \\frac{3-m}{12}\\) dla każdego \\(m\\), ciąg jest arytmetyczny o różnicy \\(r = \\frac{3-m}{12}\\). ∎

\n

Użyte wzory: definicja ciągu arytmetycznego (stała różnica między kolejnymi wyrazami).

"}]}