{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Uczeń przeczytał książkę liczącą \\(480\\) stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \\(8\\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \\(3\\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: uczeń czytał książkę przez **15 dni**\n\n## Sposób 1 - Równanie kwadratowe (przez podstawienie)\n\n**Wprowadzamy zmienne:**\n\nNiech \\(n\\) = liczba dni, przez które uczeń czytał książkę.\nNiech \\(s\\) = liczba stron czytanych dziennie.\n\n**Układamy układ równań** na podstawie treści zadania:\n\n\\[s \\cdot n = 480 \\quad \\text{(warunek podstawowy)}\\]\n\n\\[(s + 8)(n - 3) = 480 \\quad \\text{(warunek \"8 stron więcej, 3 dni krócej\")}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(s\\) z pierwszego równania:**\n\n\\[s = \\frac{480}{n}\\]\n\n**Podstawiamy do drugiego równania:**\n\n\\[\\left(\\frac{480}{n} + 8\\right)(n - 3) = 480\\]\n\n**Rozwijamy nawias:**\n\n\\[\\frac{480}{n} \\cdot n - \\frac{480}{n} \\cdot 3 + 8n - 24 = 480\\]\n\n\\[480 - \\frac{1440}{n} + 8n - 24 = 480\\]\n\n**Upraszczamy (odejmujemy 480 z obu stron):**\n\n\\[8n - 24 - \\frac{1440}{n} = 0\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(n\\) (wiemy, że \\(n > 0\\)):**\n\n\\[8n^2 - 24n - 1440 = 0\\]\n\n**Dzielimy przez 8:**\n\n\\[n^2 - 3n - 180 = 0\\]\n\n**Liczymy wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-180) = 9 + 720 = 729\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{729} = 27\\]\n\n**Wyznaczamy pierwiastki:**\n\n\\[n_1 = \\frac{3 + 27}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]\n\n\\[n_2 = \\frac{3 - 27}{2} = \\frac{-24}{2} = -12\\]\n\nPonieważ \\(n\\) musi być liczbą naturalną, **odrzucamy \\(n_2 = -12\\)**.\n\n**Wniosek:** Uczeń czytał książkę przez \\(\\mathbf{15}\\) **dni**, czytając \\(\\frac{480}{15} = 32\\) strony dziennie.\n\n## Sposób 2 - Działanie na ilorazach (myślenie przez czas czytania)\n\n**Zapisujemy warunek zadania inaczej.** Czas czytania (w dniach) to \\(\\frac{480}{s}\\). Po zwiększeniu tempa o 8 stron czas skraca się o 3 dni:\n\n\\[\\frac{480}{s} - \\frac{480}{s+8} = 3\\]\n\n**Sprowadzamy do wspólnego mianownika:**\n\n\\[\\frac{480(s+8) - 480s}{s(s+8)} = 3\\]\n\n\\[\\frac{480s + 3840 - 480s}{s(s+8)} = 3\\]\n\n\\[\\frac{3840}{s(s+8)} = 3\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(s(s+8)\\):**\n\n\\[3840 = 3s(s+8)\\]\n\n\\[1280 = s^2 + 8s\\]\n\n\\[s^2 + 8s - 1280 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\n\\[\\Delta = 64 + 5120 = 5184 = 72^2\\]\n\n\\[s = \\frac{-8 + 72}{2} = \\frac{64}{2} = 32 \\quad \\text{(odrzucamy ujemne)}\\]\n\nUczeń czytał \\(s = 32\\) strony dziennie, a czas czytania to:\n\n\\[n = \\frac{480}{32} = \\mathbf{15} \\text{ dni}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- Tempo podstawowe: \\(32\\) strony/dzień → \\(480 : 32 = 15\\) dni ✓\n- Tempo zwiększone: \\(40\\) strony/dzień → \\(480 : 40 = 12\\) dni = \\(15 - 3\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach, gdy po algebraicznym uproszczeniu równania dostaliśmy trójmian kwadratowy (\\(n^2 - 3n - 180 = 0\\) w Sposobie 1 i \\(s^2 + 8s - 1280 = 0\\) w Sposobie 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów zapomina odrzucić ujemny pierwiastek równania kwadratowego. Liczba dni \\(n = -12\\) jest matematycznie poprawnym rozwiązaniem równania, ale **nie ma sensu w kontekście zadania** - liczba dni musi być dodatnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to przestawienie warunków - napisanie \\((s+8)(n+3) = 480\\) zamiast \\((s+8)(n-3) = 480\\). Skoro uczeń czyta *szybciej*, to skończy *wcześniej*, czyli w *mniej* dni - znak minus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(n = 15\\) dni (lub \\(s = 32\\) stron) zawsze sprawdź wynik podstawiając do **obydwu** warunków zadania, nie tylko jednego. To zajmuje 20 sekund i chroni przed błędem w obliczeniach.\n\n**Odpowiedź: Uczeń czytał książkę 15 dni.**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nNiech \\(d\\) - liczba dni czytania, \\(s\\) - liczba stron dziennie.\n\n**Równanie 1:** \\(s \\cdot d = 480\\), więc \\(s = \\frac{480}{d}\\)\n\n**Równanie 2:** Gdyby czytał \\(s + 8\\) stron dziennie, skończyłby o 3 dni wcześniej:\n\\((s + 8)(d - 3) = 480\\)\n\n**Krok 1:** Rozwijamy:\n\\(sd - 3s + 8d - 24 = 480\\)\n\nPonieważ \\(sd = 480\\):\n\\(480 - 3s + 8d - 24 = 480\\)\n\\(8d - 3s = 24\\)\n\n**Krok 2:** Podstawiamy \\(s = \\frac{480}{d}\\):\n\\(8d - 3 \\cdot \\frac{480}{d} = 24\\)\n\\(8d - \\frac{1440}{d} = 24\\)\n\nMnożymy przez \\(d\\):\n\\(8d^2 - 24d - 1440 = 0\\)\n\\(d^2 - 3d - 180 = 0\\)\n\n**Krok 3:** Rozwiązujemy:\n\\(\\Delta = 9 + 720 = 729 = 27^2\\)\n\\(d = \\frac{3 + 27}{2} = 15\\) (odrzucamy \\(d = \\frac{3 - 27}{2} = -12 < 0\\))\n\n**Sprawdzenie:** \\(s = 480/15 = 32\\) strony dziennie. Z \\(s + 8 = 40\\): \\(480/40 = 12 = 15 - 3\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** równanie kwadratowe, wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Uczeń przeczytał książkę liczącą \\(480\\) stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \\(8\\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \\(3\\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: uczeń czytał książkę przez 15 dni

\n

Sposób 1 - Równanie kwadratowe (przez podstawienie)

\n

Wprowadzamy zmienne:

\n

Niech \\(n\\) = liczba dni, przez które uczeń czytał książkę.
Niech \\(s\\) = liczba stron czytanych dziennie.

\n

Układamy układ równań na podstawie treści zadania:

\n

\\[s \\cdot n = 480 \\quad \\text{(warunek podstawowy)}\\]

\n

\\[(s + 8)(n - 3) = 480 \\quad \\text{(warunek "8 stron więcej, 3 dni krócej")}\\]

\n

Wyznaczamy \\(s\\) z pierwszego równania:

\n

\\[s = \\frac{480}{n}\\]

\n

Podstawiamy do drugiego równania:

\n

\\[\\left(\\frac{480}{n} + 8\\right)(n - 3) = 480\\]

\n

Rozwijamy nawias:

\n

\\[\\frac{480}{n} \\cdot n - \\frac{480}{n} \\cdot 3 + 8n - 24 = 480\\]

\n

\\[480 - \\frac{1440}{n} + 8n - 24 = 480\\]

\n

Upraszczamy (odejmujemy 480 z obu stron):

\n

\\[8n - 24 - \\frac{1440}{n} = 0\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(n\\) (wiemy, że \\(n > 0\\)):

\n

\\[8n^2 - 24n - 1440 = 0\\]

\n

Dzielimy przez 8:

\n

\\[n^2 - 3n - 180 = 0\\]

\n

Liczymy wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-180) = 9 + 720 = 729\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{729} = 27\\]

\n

Wyznaczamy pierwiastki:

\n

\\[n_1 = \\frac{3 + 27}{2} = \\frac{30}{2} = 15\\]

\n

\\[n_2 = \\frac{3 - 27}{2} = \\frac{-24}{2} = -12\\]

\n

Ponieważ \\(n\\) musi być liczbą naturalną, odrzucamy \\(n_2 = -12\\).

\n

Wniosek: Uczeń czytał książkę przez \\(\\mathbf{15}\\) dni, czytając \\(\\frac{480}{15} = 32\\) strony dziennie.

\n

Sposób 2 - Działanie na ilorazach (myślenie przez czas czytania)

\n

Zapisujemy warunek zadania inaczej. Czas czytania (w dniach) to \\(\\frac{480}{s}\\). Po zwiększeniu tempa o 8 stron czas skraca się o 3 dni:

\n

\\[\\frac{480}{s} - \\frac{480}{s+8} = 3\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\n

\\[\\frac{480(s+8) - 480s}{s(s+8)} = 3\\]

\n

\\[\\frac{480s + 3840 - 480s}{s(s+8)} = 3\\]

\n

\\[\\frac{3840}{s(s+8)} = 3\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(s(s+8)\\):

\n

\\[3840 = 3s(s+8)\\]

\n

\\[1280 = s^2 + 8s\\]

\n

\\[s^2 + 8s - 1280 = 0\\]

\n

Wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = 64 + 5120 = 5184 = 72^2\\]

\n

\\[s = \\frac{-8 + 72}{2} = \\frac{64}{2} = 32 \\quad \\text{(odrzucamy ujemne)}\\]

\n

Uczeń czytał \\(s = 32\\) strony dziennie, a czas czytania to:

\n

\\[n = \\frac{480}{32} = \\mathbf{15} \\text{ dni}\\]

\n

Weryfikacja:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w obu sposobach, gdy po algebraicznym uproszczeniu równania dostaliśmy trójmian kwadratowy (\\(n^2 - 3n - 180 = 0\\) w Sposobie 1 i \\(s^2 + 8s - 1280 = 0\\) w Sposobie 2).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów zapomina odrzucić ujemny pierwiastek równania kwadratowego. Liczba dni \\(n = -12\\) jest matematycznie poprawnym rozwiązaniem równania, ale nie ma sensu w kontekście zadania - liczba dni musi być dodatnia.
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to przestawienie warunków - napisanie \\((s+8)(n+3) = 480\\) zamiast \\((s+8)(n-3) = 480\\). Skoro uczeń czyta szybciej, to skończy wcześniej, czyli w mniej dni - znak minus!
\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu \\(n = 15\\) dni (lub \\(s = 32\\) stron) zawsze sprawdź wynik podstawiając do obydwu warunków zadania, nie tylko jednego. To zajmuje 20 sekund i chroni przed błędem w obliczeniach.
\n

Odpowiedź: Uczeń czytał książkę 15 dni.

\n

Rozwiązanie:

\n

Niech \\(d\\) - liczba dni czytania, \\(s\\) - liczba stron dziennie.

\n

Równanie 1: \\(s \\cdot d = 480\\), więc \\(s = \\frac{480}{d}\\)

\n

Równanie 2: Gdyby czytał \\(s + 8\\) stron dziennie, skończyłby o 3 dni wcześniej:
\\((s + 8)(d - 3) = 480\\)

\n

Krok 1: Rozwijamy:
\\(sd - 3s + 8d - 24 = 480\\)

\n

Ponieważ \\(sd = 480\\):
\\(480 - 3s + 8d - 24 = 480\\)
\\(8d - 3s = 24\\)

\n

Krok 2: Podstawiamy \\(s = \\frac{480}{d}\\):
\\(8d - 3 \\cdot \\frac{480}{d} = 24\\)
\\(8d - \\frac{1440}{d} = 24\\)

\n

Mnożymy przez \\(d\\):
\\(8d^2 - 24d - 1440 = 0\\)
\\(d^2 - 3d - 180 = 0\\)

\n

Krok 3: Rozwiązujemy:
\\(\\Delta = 9 + 720 = 729 = 27^2\\)
\\(d = \\frac{3 + 27}{2} = 15\\) (odrzucamy \\(d = \\frac{3 - 27}{2} = -12 < 0\\))

\n

Sprawdzenie: \\(s = 480/15 = 32\\) strony dziennie. Z \\(s + 8 = 40\\): \\(480/40 = 12 = 15 - 3\\) ✓

\n

Użyte wzory: równanie kwadratowe, wyróżnik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\).

"}]}