{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Punkty \\(A=(2,0)\\) i \\(B=(12,0)\\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \\(ABC\\) o przeciwprostokątnej \\(AB\\). Wierzchołek \\(C\\) leży na prostej o równaniu \\(y=x\\). Oblicz współrzędne punktu \\(C\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\)\n\n(Zadanie ma dwa rozwiązania - oba są poprawne.)\n\n## Sposób 1 - okrąg Talesa (kąt wpisany)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** skoro \\(AB\\) jest przeciwprostokątną, to kąt przy \\(C\\) wynosi \\(90°\\). Z twierdzenia Talesa wynika, że \\(C\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\).\n\n**Krok 1 - wyznaczamy równanie okręgu.**\n\nŚrodek okręgu = środek odcinka \\(AB\\):\n\\[S = \\left(\\frac{2+12}{2},\\ \\frac{0+0}{2}\\right) = (7,\\ 0)\\]\n\nPromień = połowa długości \\(AB\\):\n\\[r = \\frac{|AB|}{2} = \\frac{12-2}{2} = 5\\]\n\nRównanie okręgu:\n\\[(x-7)^2 + y^2 = 25\\]\n\n**Krok 2 - uwzględniamy warunek \\(C \\in\\) prostej \\(y = x\\).**\n\nPodstawiamy \\(y = x\\):\n\\[(x-7)^2 + x^2 = 25\\]\n\\[x^2 - 14x + 49 + x^2 = 25\\]\n\\[2x^2 - 14x + 24 = 0\\]\n\\[x^2 - 7x + 12 = 0\\]\n\n**Krok 3 - rozwiązujemy równanie kwadratowe.**\n\n\\[\\Delta = 49 - 48 = 1, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 1\\]\n\\[x_1 = \\frac{7-1}{2} = 3, \\qquad x_2 = \\frac{7+1}{2} = 4\\]\n\nSkoro \\(y = x\\):\n\n\\[\\boxed{C_1 = (3,\\ 3) \\quad \\text{lub} \\quad C_2 = (4,\\ 4)}\\]\n\n## Sposób 2 - warunek prostopadłości wektorów (algebraiczny)\n\nKąt przy \\(C\\) jest prosty, czyli \\(\\overrightarrow{CA} \\perp \\overrightarrow{CB}\\).\n\n**Krok 1 - zapisujemy wektory.**\n\nNiech \\(C = (t, t)\\) (bo \\(C\\) leży na \\(y=x\\)):\n\\[\\overrightarrow{CA} = (2-t,\\ 0-t) = (2-t,\\ -t)\\]\n\\[\\overrightarrow{CB} = (12-t,\\ 0-t) = (12-t,\\ -t)\\]\n\n**Krok 2 - warunek prostopadłości: iloczyn skalarny = 0.**\n\n\\[\\overrightarrow{CA} \\cdot \\overrightarrow{CB} = 0\\]\n\\[(2-t)(12-t) + (-t)(-t) = 0\\]\n\\[24 - 2t - 12t + t^2 + t^2 = 0\\]\n\\[2t^2 - 14t + 24 = 0\\]\n\\[t^2 - 7t + 12 = 0\\]\n\\[(t-3)(t-4) = 0\\]\n\nStąd \\(t = 3\\) lub \\(t = 4\\), czyli tak samo: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\). ✓\n\n**Weryfikacja dla \\(C = (3,3)\\):**\n\\[|CA|^2 = 1^2 + 3^2 = 10, \\quad |CB|^2 = 9^2 + 3^2 = 90\\]\n\\[|CA|^2 + |CB|^2 = 100 = 10^2 = |AB|^2 \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyte do wyznaczenia środka okręgu Talesa.\n\n- Równanie okręgu:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\nKluczowe w Sposobie 1 - opisuje zbiór punktów widzących \\(AB\\) pod kątem prostym.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(x^2 - 7x + 12 = 0\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Talesa / kąt wpisany**\nKąt wpisany w okrąg oparty na średnicy = \\(90°\\). To jest geometryczna podstawa Sposobu 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma **dwa rozwiązania** - \\((3,3)\\) i \\((4,4)\\). Pominięcie jednego to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"przeciwprostokątna \\(AB\\)\" oznacza kąt prosty **przy \\(C\\)**, nie przy \\(A\\) ani \\(B\\). Pomylenie kąta prostego to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(y = x\\) do równania okręgu łatwo zapomnieć, że \\(y^2 = x^2\\), i wpisać samo \\(x\\) pod kwadratem - zawsze uważnie rozwijaj nawiasy.\n\n**Odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\(A = (2, 0)\\), \\(B = (12, 0)\\), trójkąt prostokątny z kątem prostym przy \\(C\\), \\(C\\) leży na prostej \\(y = x\\).\n\n**Krok 1:** Niech \\(C = (t, t)\\).\n\n**Krok 2:** Kąt prosty przy \\(C\\) oznacza \\(\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = 0\\).\n\n\\(\\vec{CA} = (2 - t,\\, -t)\\), \\(\\vec{CB} = (12 - t,\\, -t)\\)\n\n\\((2 - t)(12 - t) + (-t)(-t) = 0\\)\n\\(24 - 14t + t^2 + t^2 = 0\\)\n\\(2t^2 - 14t + 24 = 0\\)\n\\(t^2 - 7t + 12 = 0\\)\n\n**Krok 3:** Rozwiązujemy:\n\\(\\Delta = 49 - 48 = 1\\)\n\\(t = \\frac{7 \\pm 1}{2}\\)\n\\(t = 4\\) lub \\(t = 3\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\).\n\n**Sprawdzenie dla \\(C = (3,3)\\):** \\(\\vec{CA} = (-1, -3)\\), \\(\\vec{CB} = (9, -3)\\), iloczyn skalarny: \\(-9 + 9 = 0\\) ✓\n**Sprawdzenie dla \\(C = (4,4)\\):** \\(\\vec{CA} = (-2, -4)\\), \\(\\vec{CB} = (8, -4)\\), iloczyn skalarny: \\(-16 + 16 = 0\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** iloczyn skalarny wektorów, warunek prostopadłości \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0\\), równanie kwadratowe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Punkty \\(A=(2,0)\\) i \\(B=(12,0)\\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \\(ABC\\) o przeciwprostokątnej \\(AB\\). Wierzchołek \\(C\\) leży na prostej o równaniu \\(y=x\\). Oblicz współrzędne punktu \\(C\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\)

\n

(Zadanie ma dwa rozwiązania - oba są poprawne.)

\n

Sposób 1 - okrąg Talesa (kąt wpisany)

\n

Kluczowe spostrzeżenie: skoro \\(AB\\) jest przeciwprostokątną, to kąt przy \\(C\\) wynosi \\(90°\\). Z twierdzenia Talesa wynika, że \\(C\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\).

\n

Krok 1 - wyznaczamy równanie okręgu.

\n

Środek okręgu = środek odcinka \\(AB\\):
\\[S = \\left(\\frac{2+12}{2},\\ \\frac{0+0}{2}\\right) = (7,\\ 0)\\]

\n

Promień = połowa długości \\(AB\\):
\\[r = \\frac{|AB|}{2} = \\frac{12-2}{2} = 5\\]

\n

Równanie okręgu:
\\[(x-7)^2 + y^2 = 25\\]

\n

Krok 2 - uwzględniamy warunek \\(C \\in\\) prostej \\(y = x\\).

\n

Podstawiamy \\(y = x\\):
\\[(x-7)^2 + x^2 = 25\\]
\\[x^2 - 14x + 49 + x^2 = 25\\]
\\[2x^2 - 14x + 24 = 0\\]
\\[x^2 - 7x + 12 = 0\\]

\n

Krok 3 - rozwiązujemy równanie kwadratowe.

\n

\\[\\Delta = 49 - 48 = 1, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 1\\]
\\[x_1 = \\frac{7-1}{2} = 3, \\qquad x_2 = \\frac{7+1}{2} = 4\\]

\n

Skoro \\(y = x\\):

\n

\\[\\boxed{C_1 = (3,\\ 3) \\quad \\text{lub} \\quad C_2 = (4,\\ 4)}\\]

\n

Sposób 2 - warunek prostopadłości wektorów (algebraiczny)

\n

Kąt przy \\(C\\) jest prosty, czyli \\(\\overrightarrow{CA} \\perp \\overrightarrow{CB}\\).

\n

Krok 1 - zapisujemy wektory.

\n

Niech \\(C = (t, t)\\) (bo \\(C\\) leży na \\(y=x\\)):
\\[\\overrightarrow{CA} = (2-t,\\ 0-t) = (2-t,\\ -t)\\]
\\[\\overrightarrow{CB} = (12-t,\\ 0-t) = (12-t,\\ -t)\\]

\n

Krok 2 - warunek prostopadłości: iloczyn skalarny = 0.

\n

\\[\\overrightarrow{CA} \\cdot \\overrightarrow{CB} = 0\\]
\\[(2-t)(12-t) + (-t)(-t) = 0\\]
\\[24 - 2t - 12t + t^2 + t^2 = 0\\]
\\[2t^2 - 14t + 24 = 0\\]
\\[t^2 - 7t + 12 = 0\\]
\\[(t-3)(t-4) = 0\\]

\n

Stąd \\(t = 3\\) lub \\(t = 4\\), czyli tak samo: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\). ✓

\n

Weryfikacja dla \\(C = (3,3)\\):
\\[|CA|^2 = 1^2 + 3^2 = 10, \\quad |CB|^2 = 9^2 + 3^2 = 90\\]
\\[|CA|^2 + |CB|^2 = 100 = 10^2 = |AB|^2 \\quad \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n\n

\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyte do wyznaczenia środka okręgu Talesa.

\n\n

\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]
Kluczowe w Sposobie 1 - opisuje zbiór punktów widzących \\(AB\\) pod kątem prostym.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte do rozwiązania równania \\(x^2 - 7x + 12 = 0\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Talesa / kąt wpisany
Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy = \\(90°\\). To jest geometryczna podstawa Sposobu 1.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie ma dwa rozwiązania - \\((3,3)\\) i \\((4,4)\\). Pominięcie jednego to błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Warunek "przeciwprostokątna \\(AB\\)" oznacza kąt prosty przy \\(C\\), nie przy \\(A\\) ani \\(B\\). Pomylenie kąta prostego to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Przy podstawianiu \\(y = x\\) do równania okręgu łatwo zapomnieć, że \\(y^2 = x^2\\), i wpisać samo \\(x\\) pod kwadratem - zawsze uważnie rozwijaj nawiasy.
\n

Odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

\\(A = (2, 0)\\), \\(B = (12, 0)\\), trójkąt prostokątny z kątem prostym przy \\(C\\), \\(C\\) leży na prostej \\(y = x\\).

\n

Krok 1: Niech \\(C = (t, t)\\).

\n

Krok 2: Kąt prosty przy \\(C\\) oznacza \\(\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = 0\\).

\n

\\(\\vec{CA} = (2 - t,\\, -t)\\), \\(\\vec{CB} = (12 - t,\\, -t)\\)

\n

\\((2 - t)(12 - t) + (-t)(-t) = 0\\)
\\(24 - 14t + t^2 + t^2 = 0\\)
\\(2t^2 - 14t + 24 = 0\\)
\\(t^2 - 7t + 12 = 0\\)

\n

Krok 3: Rozwiązujemy:
\\(\\Delta = 49 - 48 = 1\\)
\\(t = \\frac{7 \\pm 1}{2}\\)
\\(t = 4\\) lub \\(t = 3\\)

\n

Odpowiedź: \\(C = (3, 3)\\) lub \\(C = (4, 4)\\).

\n

Sprawdzenie dla \\(C = (3,3)\\): \\(\\vec{CA} = (-1, -3)\\), \\(\\vec{CB} = (9, -3)\\), iloczyn skalarny: \\(-9 + 9 = 0\\) ✓
Sprawdzenie dla \\(C = (4,4)\\): \\(\\vec{CA} = (-2, -4)\\), \\(\\vec{CB} = (8, -4)\\), iloczyn skalarny: \\(-16 + 16 = 0\\) ✓

\n

Użyte wzory: iloczyn skalarny wektorów, warunek prostopadłości \\(\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0\\), równanie kwadratowe.

"}]}