{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Pole trójkąta prostokątnego jest równe \\(60\\ \\text{cm}^{2}\\). Jedna przyprostokątna jest o \\(7\\ \\text{cm}\\) dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość \\(17 \\text{ cm}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań + równanie kwadratowe\n\nOznaczmy krótszą przyprostokątną jako \\(a\\), dłuższą jako \\(b\\).\n\n**Dane:**\n\\[b = a + 7\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}ab = 60 \\implies ab = 120\\]\n\n**Podstawiamy \\(b = a + 7\\) do \\(ab = 120\\):**\n\\[a(a + 7) = 120\\]\n\\[a^2 + 7a - 120 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = 7^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-120) = 49 + 480 = 529 = 23^2\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\\[a = \\frac{-7 \\pm 23}{2}\\]\n\\[a_1 = \\frac{-7 + 23}{2} = \\frac{16}{2} = 8 \\qquad a_2 = \\frac{-7 - 23}{2} = -15 \\quad \\text{(odrzucamy, bo długość > 0)}\\]\n\n**Zatem:**\n\\[a = 8 \\text{ cm}, \\qquad b = 8 + 7 = 15 \\text{ cm}\\]\n\n**Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:**\n\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = \\mathbf{17 \\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja i trójka pitagorejska\n\nWarto zapamiętać, że \\((8, 15, 17)\\) to pitagorejska trójka liczb całkowitych. Możemy to od razu sprawdzić:\n\n**Pole:**\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 15 = \\frac{120}{2} = 60 \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]\n\n**Różnica przyprostokątnych:**\n\\[15 - 8 = 7 \\text{ cm} \\checkmark\\]\n\n**Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \\checkmark\\]\n\nWszystkie warunki spełnione. Przeciwprostokątna wynosi \\(\\mathbf{17 \\text{ cm}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(a^2 + 7a - 120 = 0\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 \\quad \\text{(dla trójkąta prostokątnego)}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nDla trójkąta prostokątnego jedna przyprostokątna jest podstawą, druga jest wysokością, więc \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj sprawdzić znaku pierwiastków równania kwadratowego - długość musi być dodatnia, więc \\(a_2 = -15\\) odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o **przeciwprostokątną**, nie o przyprostokątne! Wielu uczniów podaje \\(a = 8\\) lub \\(b = 15\\) jako odpowiedź końcową - to błąd. Trzeba jeszcze zastosować twierdzenie Pitagorasa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole trójkąta prostokątnego to \\(\\frac{1}{2}ab\\), a nie \\(ab\\). Pomylenie tego daje równanie \\(a(a+7) = 60\\) zamiast \\(a(a+7) = 120\\) - wynik będzie błędny.\n\n**Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi 17 cm.**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nPole trójkąta prostokątnego: \\(P = 60\\) cm². Jedna przyprostokątna o 7 cm dłuższa od drugiej.\n\n**Krok 1:** Niech przyprostokątne to \\(a\\) i \\(a + 7\\).\n\n\\(\\frac{a(a + 7)}{2} = 60\\)\n\\(a^2 + 7a = 120\\)\n\\(a^2 + 7a - 120 = 0\\)\n\n**Krok 2:** Rozwiązujemy:\n\\(\\Delta = 49 + 480 = 529 = 23^2\\)\n\\(a = \\frac{-7 + 23}{2} = 8\\) (odrzucamy \\(a = \\frac{-7 - 23}{2} = -15 < 0\\))\n\nPrzyprostokątne: \\(a = 8\\) cm, \\(b = 15\\) cm.\n\n**Krok 3:** Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:\n\\(c = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17\\) cm\n\n**Sprawdzenie:** \\(P = \\frac{8 \\cdot 15}{2} = 60\\) cm² ✓, \\(15 - 8 = 7\\) ✓\n\n**Użyte wzory:** pole trójkąta prostokątnego \\(P = \\frac{ab}{2}\\), twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\), równanie kwadratowe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Pole trójkąta prostokątnego jest równe \\(60\\ \\text{cm}^{2}\\). Jedna przyprostokątna jest o \\(7\\ \\text{cm}\\) dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość \\(17 \\text{ cm}\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań + równanie kwadratowe

\n

Oznaczmy krótszą przyprostokątną jako \\(a\\), dłuższą jako \\(b\\).

\n

Dane:
\\[b = a + 7\\]
\\[P = \\frac{1}{2}ab = 60 \\implies ab = 120\\]

\n

Podstawiamy \\(b = a + 7\\) do \\(ab = 120\\):
\\[a(a + 7) = 120\\]
\\[a^2 + 7a - 120 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = 7^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-120) = 49 + 480 = 529 = 23^2\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[a = \\frac{-7 \\pm 23}{2}\\]
\\[a_1 = \\frac{-7 + 23}{2} = \\frac{16}{2} = 8 \\qquad a_2 = \\frac{-7 - 23}{2} = -15 \\quad \\text{(odrzucamy, bo długość > 0)}\\]

\n

Zatem:
\\[a = 8 \\text{ cm}, \\qquad b = 8 + 7 = 15 \\text{ cm}\\]

\n

Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
\\[c = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = \\mathbf{17 \\text{ cm}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja i trójka pitagorejska

\n

Warto zapamiętać, że \\((8, 15, 17)\\) to pitagorejska trójka liczb całkowitych. Możemy to od razu sprawdzić:

\n

Pole:
\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 15 = \\frac{120}{2} = 60 \\text{ cm}^2 \\checkmark\\]

\n

Różnica przyprostokątnych:
\\[15 - 8 = 7 \\text{ cm} \\checkmark\\]

\n

Twierdzenie Pitagorasa:
\\[8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 \\checkmark\\]

\n

Wszystkie warunki spełnione. Przeciwprostokątna wynosi \\(\\mathbf{17 \\text{ cm}}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(a^2 + 7a - 120 = 0\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[c^2 = a^2 + b^2 \\quad \\text{(dla trójkąta prostokątnego)}\\]
Użyliśmy do wyznaczenia długości przeciwprostokątnej.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Dla trójkąta prostokątnego jedna przyprostokątna jest podstawą, druga jest wysokością, więc \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapominaj sprawdzić znaku pierwiastków równania kwadratowego - długość musi być dodatnia, więc \\(a_2 = -15\\) odrzucamy.
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie pyta o przeciwprostokątną, nie o przyprostokątne! Wielu uczniów podaje \\(a = 8\\) lub \\(b = 15\\) jako odpowiedź końcową - to błąd. Trzeba jeszcze zastosować twierdzenie Pitagorasa.
\n
⚠️ Uwaga: Pole trójkąta prostokątnego to \\(\\frac{1}{2}ab\\), a nie \\(ab\\). Pomylenie tego daje równanie \\(a(a+7) = 60\\) zamiast \\(a(a+7) = 120\\) - wynik będzie błędny.
\n

Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi 17 cm.

\n

Rozwiązanie:

\n

Pole trójkąta prostokątnego: \\(P = 60\\) cm². Jedna przyprostokątna o 7 cm dłuższa od drugiej.

\n

Krok 1: Niech przyprostokątne to \\(a\\) i \\(a + 7\\).

\n

\\(\\frac{a(a + 7)}{2} = 60\\)
\\(a^2 + 7a = 120\\)
\\(a^2 + 7a - 120 = 0\\)

\n

Krok 2: Rozwiązujemy:
\\(\\Delta = 49 + 480 = 529 = 23^2\\)
\\(a = \\frac{-7 + 23}{2} = 8\\) (odrzucamy \\(a = \\frac{-7 - 23}{2} = -15 < 0\\))

\n

Przyprostokątne: \\(a = 8\\) cm, \\(b = 15\\) cm.

\n

Krok 3: Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:
\\(c = \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17\\) cm

\n

Sprawdzenie: \\(P = \\frac{8 \\cdot 15}{2} = 60\\) cm² ✓, \\(15 - 8 = 7\\) ✓

\n

Użyte wzory: pole trójkąta prostokątnego \\(P = \\frac{ab}{2}\\), twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\), równanie kwadratowe.

"}]}