{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (3 pkt)\nWykaż, że liczba\n54\n3 jest rozwiązaniem równania\n11\n14\n27\n243\n81\n7\n9\nx\nNr zadania\n4.1\n4.2\n4.3\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n7\nWykaż, że liczba 3^54 jest rozwiązaniem równania 243^11 - 81^14 + 7x = 9^27. Zadanie z potęgami. Sprowadzanie potęg do jednakowej podstawy.","answer":null,"answer_text":"0","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 3^{54}\\)\n\nJest to zadanie otwarte - wykazujemy (dowodzimy), że podstawienie \\(x = 3^{54}\\) spełnia równanie.\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkich podstaw na potęgi liczby 3\n\n**Krok 1. Rozpoznajemy podstawy jako potęgi liczby 3.**\n\n\\[243 = 3^5, \\quad 81 = 3^4, \\quad 9 = 3^2\\]\n\n**Krok 2. Zamieniamy każdy wyraz równania.**\n\n\\[243^{11} = \\left(3^5\\right)^{11} = 3^{55}\\]\n\n\\[81^{14} = \\left(3^4\\right)^{14} = 3^{56}\\]\n\n\\[9^{27} = \\left(3^2\\right)^{27} = 3^{54}\\]\n\n**Krok 3. Podstawiamy do równania.**\n\nRównanie \\(243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}\\) przyjmuje postać:\n\n\\[3^{55} - 3^{56} + 7x = 3^{54}\\]\n\n**Krok 4. Wyznaczamy \\(x\\).**\n\n\\[7x = 3^{54} - 3^{55} + 3^{56}\\]\n\n**Krok 5. Wyłączamy \\(3^{54}\\) przed nawias.**\n\n\\[7x = 3^{54}\\left(1 - 3^1 + 3^2\\right) = 3^{54}(1 - 3 + 9) = 3^{54} \\cdot 7\\]\n\n**Krok 6. Dzielimy obie strony przez 7.**\n\n\\[x = \\frac{7 \\cdot 3^{54}}{7} = 3^{54}\\]\n\n**Zatem \\(x = 3^{54}\\) jest rozwiązaniem równania.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie podstawienie\n\nZamiast wyznaczać \\(x\\), **od razu podstawiamy \\(x = 3^{54}\\)** do lewej strony równania i sprawdzamy, czy otrzymamy prawą stronę.\n\nLewa strona:\n\\[243^{11} - 81^{14} + 7 \\cdot 3^{54} = 3^{55} - 3^{56} + 7 \\cdot 3^{54}\\]\n\nWyłączamy \\(3^{54}\\):\n\\[= 3^{54}\\left(3^1 - 3^2 + 7\\right) = 3^{54}(3 - 9 + 7) = 3^{54} \\cdot 1 = 3^{54}\\]\n\nPrawa strona:\n\\[9^{27} = \\left(3^2\\right)^{27} = 3^{54}\\]\n\nLewa strona \\(=\\) Prawa strona, więc \\(x = 3^{54}\\) spełnia równanie. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[\\left(a^r\\right)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach do obliczenia \\(243^{11} = (3^5)^{11} = 3^{55}\\), \\(81^{14} = 3^{56}\\), \\(9^{27} = 3^{54}\\).\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy pośrednio przy wyłączaniu \\(3^{54}\\) przed nawias: \\(3^{54} \\cdot 3^1 = 3^{55}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \\((3^5)^{11}\\), **mnożymy** wykładniki: \\(5 \\cdot 11 = 55\\), a nie dodajemy. Częsty błąd to napisanie \\(3^{5+11} = 3^{16}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu przed nawias pamiętaj, że \\(3^{55} = 3^{54} \\cdot 3^1\\) i \\(3^{56} = 3^{54} \\cdot 3^2\\). Łatwo tu zgubić potęgę przy \\(-3^{56}\\) - to daje \\(-3^{54} \\cdot 9 = -9 \\cdot 3^{54}\\), nie \\(-3 \\cdot 3^{54}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu na **wykazanie** nie wystarczy policzyć \\(x\\) i napisać wynik - trzeba pokazać **każdy krok** zamiany i wyłączenia, żeby uzasadnienie było pełne (za to są punkty!).\n\n**Dowód:** liczba \\(3^{54}\\) spełnia równanie \\(243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}\\).\n\n### Sposób 1 - Zamiana podstaw na \\(3\\)\n**Krok 1 - przekształcenie każdego składnika na potęgę \\(3\\):**\n\\[243 = 3^{5} \\Rightarrow 243^{11} = (3^{5})^{11} = 3^{55}.\\]\n\\[81 = 3^{4} \\Rightarrow 81^{14} = (3^{4})^{14} = 3^{56}.\\]\n\\[9 = 3^{2} \\Rightarrow 9^{27} = (3^{2})^{27} = 3^{54}.\\]\n\n**Krok 2 - równanie po podstawieniu:**\n\\[3^{55} - 3^{56} + 7x = 3^{54}.\\]\n\n**Krok 3 - wyłączenie \\(3^{54}\\) ze składników z lewej strony:**\n\\[3^{54}\\cdot 3 - 3^{54}\\cdot 3^{2} + 7x = 3^{54}\\]\n\\[3^{54}(3 - 9) + 7x = 3^{54}\\]\n\\[-6\\cdot 3^{54} + 7x = 3^{54}\\]\n\\[7x = 3^{54} + 6\\cdot 3^{54} = 7\\cdot 3^{54}\\]\n\\[x = 3^{54}.\\]\n\nZatem \\(x = 3^{54}\\) jest rozwiązaniem równania. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Podstawienie \\(x = 3^{54}\\) i sprawdzenie tożsamości\nPodstawiamy \\(x = 3^{54}\\) do lewej strony:\n\\[L = 3^{55} - 3^{56} + 7\\cdot 3^{54} = 3^{54}(3 - 9 + 7) = 3^{54}\\cdot 1 = 3^{54}.\\]\n\\[P = 9^{27} = 3^{54}.\\]\n\n\\(L = P\\) ✓.\n\n### Komentarz\nKluczem jest rozpoznanie, że wszystkie podstawy (\\(243, 81, 9\\)) są potęgami liczby \\(3\\). Dzięki temu równanie redukuje się do prostego równania liniowego.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (3 pkt)
Wykaż, że liczba
54
3 jest rozwiązaniem równania
11
14
27
243
81
7
9
x
Nr zadania
4.1
4.2
4.3
Maks. liczba pkt
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
7
Wykaż, że liczba 3^54 jest rozwiązaniem równania 243^11 - 81^14 + 7x = 9^27. Zadanie z potęgami. Sprowadzanie potęg do jednakowej podstawy.

","answer_text_html":"

0

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 3^{54}\\)

\n

Jest to zadanie otwarte - wykazujemy (dowodzimy), że podstawienie \\(x = 3^{54}\\) spełnia równanie.

\n

Sposób 1 - Zamiana wszystkich podstaw na potęgi liczby 3

\n

Krok 1. Rozpoznajemy podstawy jako potęgi liczby 3.

\n

\\[243 = 3^5, \\quad 81 = 3^4, \\quad 9 = 3^2\\]

\n

Krok 2. Zamieniamy każdy wyraz równania.

\n

\\[243^{11} = \\left(3^5\\right)^{11} = 3^{55}\\]

\n

\\[81^{14} = \\left(3^4\\right)^{14} = 3^{56}\\]

\n

\\[9^{27} = \\left(3^2\\right)^{27} = 3^{54}\\]

\n

Krok 3. Podstawiamy do równania.

\n

Równanie \\(243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}\\) przyjmuje postać:

\n

\\[3^{55} - 3^{56} + 7x = 3^{54}\\]

\n

Krok 4. Wyznaczamy \\(x\\).

\n

\\[7x = 3^{54} - 3^{55} + 3^{56}\\]

\n

Krok 5. Wyłączamy \\(3^{54}\\) przed nawias.

\n

\\[7x = 3^{54}\\left(1 - 3^1 + 3^2\\right) = 3^{54}(1 - 3 + 9) = 3^{54} \\cdot 7\\]

\n

Krok 6. Dzielimy obie strony przez 7.

\n

\\[x = \\frac{7 \\cdot 3^{54}}{7} = 3^{54}\\]

\n

Zatem \\(x = 3^{54}\\) jest rozwiązaniem równania. \\(\\square\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie podstawienie

\n

Zamiast wyznaczać \\(x\\), od razu podstawiamy \\(x = 3^{54}\\) do lewej strony równania i sprawdzamy, czy otrzymamy prawą stronę.

\n

Lewa strona:
\\[243^{11} - 81^{14} + 7 \\cdot 3^{54} = 3^{55} - 3^{56} + 7 \\cdot 3^{54}\\]

\n

Wyłączamy \\(3^{54}\\):
\\[= 3^{54}\\left(3^1 - 3^2 + 7\\right) = 3^{54}(3 - 9 + 7) = 3^{54} \\cdot 1 = 3^{54}\\]

\n

Prawa strona:
\\[9^{27} = \\left(3^2\\right)^{27} = 3^{54}\\]

\n

Lewa strona \\(=\\) Prawa strona, więc \\(x = 3^{54}\\) spełnia równanie. \\(\\square\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - działania na potęgach:

\n

\\[\\left(a^r\\right)^s = a^{r \\cdot s}\\]

\n

Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach do obliczenia \\(243^{11} = (3^5)^{11} = 3^{55}\\), \\(81^{14} = 3^{56}\\), \\(9^{27} = 3^{54}\\).

\n

\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]

\n

Użyliśmy pośrednio przy wyłączaniu \\(3^{54}\\) przed nawias: \\(3^{54} \\cdot 3^1 = 3^{55}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Obliczając \\((3^5)^{11}\\), mnożymy wykładniki: \\(5 \\cdot 11 = 55\\), a nie dodajemy. Częsty błąd to napisanie \\(3^{5+11} = 3^{16}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyłączaniu przed nawias pamiętaj, że \\(3^{55} = 3^{54} \\cdot 3^1\\) i \\(3^{56} = 3^{54} \\cdot 3^2\\). Łatwo tu zgubić potęgę przy \\(-3^{56}\\) - to daje \\(-3^{54} \\cdot 9 = -9 \\cdot 3^{54}\\), nie \\(-3 \\cdot 3^{54}\\).
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu na wykazanie nie wystarczy policzyć \\(x\\) i napisać wynik - trzeba pokazać każdy krok zamiany i wyłączenia, żeby uzasadnienie było pełne (za to są punkty!).
\n

Dowód: liczba \\(3^{54}\\) spełnia równanie \\(243^{11} - 81^{14} + 7x = 9^{27}\\).

\n
Sposób 1 - Zamiana podstaw na \\(3\\)
\n

Krok 1 - przekształcenie każdego składnika na potęgę \\(3\\):
\\[243 = 3^{5} \\Rightarrow 243^{11} = (3^{5})^{11} = 3^{55}.\\]
\\[81 = 3^{4} \\Rightarrow 81^{14} = (3^{4})^{14} = 3^{56}.\\]
\\[9 = 3^{2} \\Rightarrow 9^{27} = (3^{2})^{27} = 3^{54}.\\]

\n

Krok 2 - równanie po podstawieniu:
\\[3^{55} - 3^{56} + 7x = 3^{54}.\\]

\n

Krok 3 - wyłączenie \\(3^{54}\\) ze składników z lewej strony:
\\[3^{54}\\cdot 3 - 3^{54}\\cdot 3^{2} + 7x = 3^{54}\\]
\\[3^{54}(3 - 9) + 7x = 3^{54}\\]
\\[-6\\cdot 3^{54} + 7x = 3^{54}\\]
\\[7x = 3^{54} + 6\\cdot 3^{54} = 7\\cdot 3^{54}\\]
\\[x = 3^{54}.\\]

\n

Zatem \\(x = 3^{54}\\) jest rozwiązaniem równania. \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Podstawienie \\(x = 3^{54}\\) i sprawdzenie tożsamości
\n

Podstawiamy \\(x = 3^{54}\\) do lewej strony:
\\[L = 3^{55} - 3^{56} + 7\\cdot 3^{54} = 3^{54}(3 - 9 + 7) = 3^{54}\\cdot 1 = 3^{54}.\\]
\\[P = 9^{27} = 3^{54}.\\]

\n

\\(L = P\\) ✓.

\n
Komentarz
\n

Kluczem jest rozpoznanie, że wszystkie podstawy (\\(243, 81, 9\\)) są potęgami liczby \\(3\\). Dzięki temu równanie redukuje się do prostego równania liniowego.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Wykazanie.

"}]}