{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (5 pkt)\nWielomian W dany jest wzorem\n3\n2\n( )\n4\nW x\nx\nax\nx\nb\na) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy\n( )\n(\n)\n(\n)\n3\n2\n2\n3\n1\nP x\nx\na\nx\na\nb\nc x\nb) Dla\n3\na =\ni\n0\nb =\nzapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia\npierwszego.\nNr zadania\n5.1\n5.2\n5.3\n5.4\n5.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n8\nWielomian W dany jest wzorem W(x)=x^3+ax^2-4x+b. a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy P(x) = x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1 b) Dla a=3 i b=0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\)\n\n**b)** \\(W(x) = x(x+4)(x-1)\\)\n\n## Sposób 1 - porównanie współczynników (część a)\n\nDwa wielominy są równe **wtedy i tylko wtedy**, gdy mają **identyczne współczynniki** przy tych samych potęgach \\(x\\).\n\nMamy:\n\\[W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b\\]\n\\[P(x) = x^3 + (2a+3)x^2 + (a+b+c)x - 1\\]\n\nPorównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:\n\n**Przy \\(x^3\\):** \\(1 = 1\\) ✓ (automatycznie spełnione)\n\n**Przy \\(x^2\\):**\n\\[a = 2a + 3\\]\n\\[a - 2a = 3\\]\n\\[-a = 3\\]\n\\[\\boxed{a = -3}\\]\n\n**Wyraz wolny:**\n\\[b = -1\\]\n\\[\\boxed{b = -1}\\]\n\n**Przy \\(x^1\\):**\n\\[-4 = a + b + c\\]\n\\[-4 = (-3) + (-1) + c\\]\n\\[-4 = -4 + c\\]\n\\[\\boxed{c = 0}\\]\n\n## Sposób 1 cd. - faktoryzacja (część b)\n\nDla \\(a = 3\\), \\(b = 0\\):\n\\[W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x\\]\n\n**Krok 1 - wyłącz wspólny czynnik \\(x\\):**\n\\[W(x) = x(x^2 + 3x - 4)\\]\n\n**Krok 2 - rozłóż trójmian kwadratowy.**\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4) = 9 + 16 = 25\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 - 5}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Krok 3 - postać iloczynowa trójmianu:**\n\\[x^2 + 3x - 4 = (x - (-4))(x - 1) = (x+4)(x-1)\\]\n\n**Wynik końcowy:**\n\\[\\boxed{W(x) = x(x+4)(x-1)}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie (część a) i rozkład metodą zgadywania pierwiastka (część b)\n\n**Weryfikacja (a):**\n\nPodstawiamy \\(a=-3\\), \\(b=-1\\), \\(c=0\\) do \\(P(x)\\):\n\\[P(x) = x^3 + (2\\cdot(-3)+3)x^2 + ((-3)+(-1)+0)x - 1\\]\n\\[P(x) = x^3 + (-6+3)x^2 + (-4)x - 1\\]\n\\[P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x - 1\\]\n\nI teraz \\(W(x)\\) z tymi samymi wartościami:\n\\[W(x) = x^3 + (-3)x^2 - 4x + (-1) = x^3 - 3x^2 - 4x - 1\\]\n\nOba wielomiany są identyczne ✓\n\n**Faktoryzacja - metoda alternatywna (b):**\n\nDla \\(W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x\\) od razu widać, że **\\(x = 0\\) jest pierwiastkiem** (wyraz wolny = 0). Wyłączamy \\(x\\):\n\\[W(x) = x \\cdot (x^2 + 3x - 4)\\]\n\nPierwiastki \\(x^2 + 3x - 4\\) zgadujemy metodą Viète'a: szukamy dwóch liczb, których **suma = 3** i **iloczyn = -4**.\n\\[4 \\cdot (-1) = -4, \\quad 4 + (-1) = 3 \\quad \\checkmark\\]\n\nZatem: \\(x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i wzór na pierwiastki (użyty w Sposobie 1, część b):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nPostać iloczynowa trójmianu (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nWzory Viète'a (użyte w Sposobie 2):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części (a) łatwo przestawić kolejność - równanie przy \\(x^2\\) to \\(a = 2a+3\\), nie \\(2a+3 = a + \\text{coś}\\). Zacznij zawsze od **lewej strony = prawej stronie** (współczynnik z W = współczynnik z P).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu \\(x\\) w części (b) - uczennik często zapomina, że \\(x = 0\\) **jest pierwiastkiem wielomianu**, i szuka go tylko wzorem. Zawsze najpierw sprawdź czy wyraz wolny = 0!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu (a) mamy **trzy niewiadome** \\((a, b, c)\\) i **trzy równania** - jedno z nich daje od razu \\(a\\), następne od razu \\(b\\), a dopiero z obu wyznaczamy \\(c\\). Nie zakładaj z góry kolejności wyznaczania - zacznij od tej równości, która ma tylko jedną niewiadomą.\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\); b) \\(W(x) = x(x + 4)(x - 1)\\).\n\n### Sposób 1 - Porównywanie współczynników\n**a)** Wielomiany \\(W\\) i \\(P\\) są równe ⇔ mają te same współczynniki przy odpowiednich potęgach \\(x\\):\n\\[W(x) = x^{3} + ax^{2} - 4x + b\\]\n\\[P(x) = x^{3} + (2a+3)x^{2} + (a+b+c)x - 1.\\]\n\nPorównując:\n- przy \\(x^{3}\\): \\(1 = 1\\) ✓,\n- przy \\(x^{2}\\): \\(a = 2a + 3 \\Rightarrow -a = 3 \\Rightarrow a = -3\\),\n- przy \\(x^{0}\\) (wyraz wolny): \\(b = -1\\),\n- przy \\(x^{1}\\): \\(-4 = a + b + c = -3 + (-1) + c = -4 + c \\Rightarrow c = 0\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\).\n\n**b) Dla \\(a = 3\\), \\(b = 0\\):**\n\\[W(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4x + 0 = x^{3} + 3x^{2} - 4x.\\]\n\nWyłączamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[W(x) = x(x^{2} + 3x - 4).\\]\n\nRozkładamy \\(x^{2} + 3x - 4\\): \\(\\Delta = 9 + 16 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 5\\):\n\\[x_{1,2} = \\dfrac{-3 \\pm 5}{2} \\Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -4.\\]\n\\[x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).\\]\n\nOstatecznie:\n\\[W(x) = x(x + 4)(x - 1).\\]\n\n### Weryfikacja\n\\[x(x+4)(x-1) = x(x^{2} + 3x - 4) = x^{3} + 3x^{2} - 4x\\] ✓.\n\n### Komentarz\nMetoda rozkładania na czynniki: najpierw wyłączyć wspólny czynnik \\(x\\) (gdy wyraz wolny \\(b = 0\\)), potem rozłożyć trójmian kwadratowy przy pomocy delty.","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":7,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (5 pkt)
Wielomian W dany jest wzorem
3
2
( )
4
W x
x
ax
x
b
a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy
( )
(
)
(
)
3
2
2
3
1
P x
x
a
x
a
b
c x
b) Dla
3
a =
i
0
b =
zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia
pierwszego.
Nr zadania
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
8
Wielomian W dany jest wzorem W(x)=x^3+ax^2-4x+b. a) Wyznacz a, b oraz c tak, aby wielomian W był równy wielomianowi P, gdy P(x) = x^3+(2a+3)x^2+(a+b+c)x-1 b) Dla a=3 i b=0 zapisz wielomian W w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\)

\n

b) \\(W(x) = x(x+4)(x-1)\\)

\n

Sposób 1 - porównanie współczynników (część a)

\n

Dwa wielominy są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach \\(x\\).

\n

Mamy:
\\[W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b\\]
\\[P(x) = x^3 + (2a+3)x^2 + (a+b+c)x - 1\\]

\n

Porównujemy współczynniki przy kolejnych potęgach:

\n

Przy \\(x^3\\): \\(1 = 1\\) ✓ (automatycznie spełnione)

\n

Przy \\(x^2\\):
\\[a = 2a + 3\\]
\\[a - 2a = 3\\]
\\[-a = 3\\]
\\[\\boxed{a = -3}\\]

\n

Wyraz wolny:
\\[b = -1\\]
\\[\\boxed{b = -1}\\]

\n

Przy \\(x^1\\):
\\[-4 = a + b + c\\]
\\[-4 = (-3) + (-1) + c\\]
\\[-4 = -4 + c\\]
\\[\\boxed{c = 0}\\]

\n

Sposób 1 cd. - faktoryzacja (część b)

\n

Dla \\(a = 3\\), \\(b = 0\\):
\\[W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x\\]

\n

Krok 1 - wyłącz wspólny czynnik \\(x\\):
\\[W(x) = x(x^2 + 3x - 4)\\]

\n

Krok 2 - rozłóż trójmian kwadratowy.

\n

Liczymy wyróżnik:
\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4) = 9 + 16 = 25\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 - 5}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]
\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]

\n

Krok 3 - postać iloczynowa trójmianu:
\\[x^2 + 3x - 4 = (x - (-4))(x - 1) = (x+4)(x-1)\\]

\n

Wynik końcowy:
\\[\\boxed{W(x) = x(x+4)(x-1)}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie (część a) i rozkład metodą zgadywania pierwiastka (część b)

\n

Weryfikacja (a):

\n

Podstawiamy \\(a=-3\\), \\(b=-1\\), \\(c=0\\) do \\(P(x)\\):
\\[P(x) = x^3 + (2\\cdot(-3)+3)x^2 + ((-3)+(-1)+0)x - 1\\]
\\[P(x) = x^3 + (-6+3)x^2 + (-4)x - 1\\]
\\[P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x - 1\\]

\n

I teraz \\(W(x)\\) z tymi samymi wartościami:
\\[W(x) = x^3 + (-3)x^2 - 4x + (-1) = x^3 - 3x^2 - 4x - 1\\]

\n

Oba wielomiany są identyczne ✓

\n

Faktoryzacja - metoda alternatywna (b):

\n

Dla \\(W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x\\) od razu widać, że \\(x = 0\\) jest pierwiastkiem (wyraz wolny = 0). Wyłączamy \\(x\\):
\\[W(x) = x \\cdot (x^2 + 3x - 4)\\]

\n

Pierwiastki \\(x^2 + 3x - 4\\) zgadujemy metodą Viète'a: szukamy dwóch liczb, których suma = 3 i iloczyn = -4.
\\[4 \\cdot (-1) = -4, \\quad 4 + (-1) = 3 \\quad \\checkmark\\]

\n

Zatem: \\(x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i wzór na pierwiastki (użyty w Sposobie 1, część b):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Postać iloczynowa trójmianu (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\\]

\n

Wzory Viète'a (użyte w Sposobie 2):
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: W części (a) łatwo przestawić kolejność - równanie przy \\(x^2\\) to \\(a = 2a+3\\), nie \\(2a+3 = a + \\text{coś}\\). Zacznij zawsze od lewej strony = prawej stronie (współczynnik z W = współczynnik z P).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyłączaniu \\(x\\) w części (b) - uczennik często zapomina, że \\(x = 0\\) jest pierwiastkiem wielomianu, i szuka go tylko wzorem. Zawsze najpierw sprawdź czy wyraz wolny = 0!
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu (a) mamy trzy niewiadome \\((a, b, c)\\) i trzy równania - jedno z nich daje od razu \\(a\\), następne od razu \\(b\\), a dopiero z obu wyznaczamy \\(c\\). Nie zakładaj z góry kolejności wyznaczania - zacznij od tej równości, która ma tylko jedną niewiadomą.
\n

Poprawne odpowiedzi: a) \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\); b) \\(W(x) = x(x + 4)(x - 1)\\).

\n
Sposób 1 - Porównywanie współczynników
\n

a) Wielomiany \\(W\\) i \\(P\\) są równe ⇔ mają te same współczynniki przy odpowiednich potęgach \\(x\\):
\\[W(x) = x^{3} + ax^{2} - 4x + b\\]
\\[P(x) = x^{3} + (2a+3)x^{2} + (a+b+c)x - 1.\\]

\n

Porównując:

\n\n

Odpowiedź: \\(a = -3\\), \\(b = -1\\), \\(c = 0\\).

\n

b) Dla \\(a = 3\\), \\(b = 0\\):
\\[W(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4x + 0 = x^{3} + 3x^{2} - 4x.\\]

\n

Wyłączamy \\(x\\) przed nawias:
\\[W(x) = x(x^{2} + 3x - 4).\\]

\n

Rozkładamy \\(x^{2} + 3x - 4\\): \\(\\Delta = 9 + 16 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 5\\):
\\[x_{1,2} = \\dfrac{-3 \\pm 5}{2} \\Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -4.\\]
\\[x^{2} + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4).\\]

\n

Ostatecznie:
\\[W(x) = x(x + 4)(x - 1).\\]

\n
Weryfikacja
\n

\\[x(x+4)(x-1) = x(x^{2} + 3x - 4) = x^{3} + 3x^{2} - 4x\\] ✓.

\n
Komentarz
\n

Metoda rozkładania na czynniki: najpierw wyłączyć wspólny czynnik \\(x\\) (gdy wyraz wolny \\(b = 0\\)), potem rozłożyć trójmian kwadratowy przy pomocy delty.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) $a = -3, c = 0$<br>b) $W(x) = x(x+4)(x-1)$

"}]}