{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nMiara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa α .\na) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin\ntg\n0\nα\nα\n<\nb) Dla\n2 2\nsin\n3\nα =\noblicz wartość wyrażenia\n3\n2\ncos\ncos\nsin\n⋅\nα\nα\nα .\nNr zadania\n6.1\n6.2\n6.3\n6.4\n6.5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n9\nMiara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa alfa. a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin a - tg a <0 b) Dla sin a = {2 pierwiastki z 2 przez 3 oblicz wartość wyrażenia cos^3 a + cos a * sin^2 alpha","answer":null,"answer_text":"lub 2\nπ\nr\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) - uzasadnienie poniżej.\n\n**b)** \\(\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - geometrycznie (boki trójkąta)\n\n### Część a)\n\nNiech trójkąt prostokątny ma boki: **naprzeciwległy** \\(a\\), **przyległy** \\(b\\), **przeciwprostokątna** \\(c\\).\n\nZ definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{c} - \\frac{a}{b} = \\frac{ab - ac}{bc} = \\frac{a(b-c)}{bc}\\]\n\nTeraz oceniamy znak każdego czynnika:\n- \\(a > 0\\) - długość boku jest dodatnia\n- \\(b > 0\\), \\(c > 0\\) - j.w., więc \\(bc > 0\\)\n- **\\(b < c\\)** - w trójkącie prostokątnym **każda noga jest krótsza od przeciwprostokątnej**, zatem \\(b - c < 0\\)\n\nStąd:\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a(b-c)}{bc} = \\frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n### Część b)\n\nDane: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\)\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2:** Upraszczamy wyrażenie - wyciągamy \\(\\cos\\alpha\\) przed nawias:\n\\[\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha\\underbrace{(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha)}_{= 1} = \\cos\\alpha\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy:\n\\[\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha = \\boxed{\\dfrac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - algebraicznie (Część a bez geometrii)\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\sin\\alpha - \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\sin\\alpha\\left(1 - \\frac{1}{\\cos\\alpha}\\right) = \\sin\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha - 1}{\\cos\\alpha}\\]\n\nOceniamy znak dla kąta ostrego, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\):\n- \\(\\sin\\alpha > 0\\)\n- \\(\\cos\\alpha \\in (0, 1)\\), więc \\(\\cos\\alpha - 1 < 0\\)\n- \\(\\cos\\alpha > 0\\)\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha - 1}{\\cos\\alpha} = \\frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n> Sposób 2 jest bardziej elegancki i nie wymaga rysowania trójkąta - działa przez samą algebrę.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w części b) do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) oraz do uproszczenia wyrażenia \\(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha = 1\\).\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do algebraicznego przekształcenia różnicy.\n\nDefinicje w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do geometrycznego uzasadnienia nierówności.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) wielu uczniów liczy \\(\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha\\) „na piechotę\" - podstawia wartości i mozolnie podnosi do potęg. Szybszy klucz: zawsze najpierw sprawdź, czy da się wyciągnąć wspólny czynnik. Tutaj \\(\\cos\\alpha(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) = \\cos\\alpha \\cdot 1\\) - całe wyrażenie skraca się do jednej liczby!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W uzasadnieniu nierówności (część a) nie wystarczy napisać „sin < tg, bo tg jest większe\". Trzeba **pokazać**, dlaczego - albo geometrycznie przez boki (\\(b < c\\)), albo algebraicznie przez \\(\\cos\\alpha < 1\\). Brak uzasadnienia = brak punktów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{1}{9}}\\) pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy daje dwa wyniki: \\(\\pm\\frac{1}{3}\\). Wybieramy \\(+\\frac{1}{3}\\), bo \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym** - cosinus kąta ostrego jest zawsze dodatni!\n\n**Poprawne odpowiedzi:** a) dowód poniżej; b) wartość wyrażenia \\(= \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Dowód i obliczenie\n**a) Uzasadnienie nierówności \\(\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0\\):**\n\nW trójkącie prostokątnym oznaczmy: \\(a\\) - przyprostokątna przeciwległa do \\(\\alpha\\), \\(b\\) - przyprostokątna leżąca przy \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna. Wtedy:\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{a}{b}.\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{a}{c} - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{ab - ac}{bc} = \\dfrac{a(b - c)}{bc}.\\]\n\nPonieważ \\(a, b, c > 0\\) oraz przeciwprostokątna \\(c\\) jest **najdłuższym** bokiem trójkąta prostokątnego (\\(c > b\\)), mamy \\(b - c < 0\\). Zatem:\n\\[\\dfrac{a(b-c)}{bc} < 0 \\Rightarrow \\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0. \\quad \\blacksquare\\]\n\n**b) Obliczenie wartości wyrażenia \\(\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha\\):**\n\nWyłączamy \\(\\cos\\alpha\\) przed nawias:\n\\[\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\cos\\alpha(\\cos^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\alpha) = \\cos\\alpha\\cdot 1 = \\cos\\alpha.\\]\n\nObliczamy \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{8}{9} = \\dfrac{1}{9}.\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{1}{9}} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n**Wartość wyrażenia:** \\(\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Komentarz\n**Część a:** można też uzasadnić intuicyjnie: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\); dla \\(0 < \\alpha < \\dfrac{\\pi}{2}\\) mamy \\(0 < \\cos\\alpha < 1\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > \\sin\\alpha\\).\n\n**Część b:** kluczowa jest jedynka trygonometryczna \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\), która redukuje wyrażenie do \\(\\cos\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (5 pkt)
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa α .
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin
tg
0
α
α
<
b) Dla
2 2
sin
3
α =
oblicz wartość wyrażenia
3
2
cos
cos
sin
⋅
α
α
α .
Nr zadania
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
9
Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa alfa. a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin a - tg a <0 b) Dla sin a = {2 pierwiastki z 2 przez 3 oblicz wartość wyrażenia cos^3 a + cos a * sin^2 alpha

","answer_text_html":"

lub 2
π
r
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) \\(\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) - uzasadnienie poniżej.

\n

b) \\(\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\)

\n

Sposób 1 - geometrycznie (boki trójkąta)

\n
Część a)
\n

Niech trójkąt prostokątny ma boki: naprzeciwległy \\(a\\), przyległy \\(b\\), przeciwprostokątna \\(c\\).

\n

Z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]

\n

Obliczamy różnicę:
\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{c} - \\frac{a}{b} = \\frac{ab - ac}{bc} = \\frac{a(b-c)}{bc}\\]

\n

Teraz oceniamy znak każdego czynnika:

\n\n

Stąd:
\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a(b-c)}{bc} = \\frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \\qquad \\blacksquare\\]

\n
Część b)
\n

Dane: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\)

\n

Krok 1: Wyznaczamy \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{8}{9} = \\frac{1}{9}\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{3}\\]

\n

Krok 2: Upraszczamy wyrażenie - wyciągamy \\(\\cos\\alpha\\) przed nawias:
\\[\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha\\underbrace{(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha)}_{= 1} = \\cos\\alpha\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy:
\\[\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha = \\boxed{\\dfrac{1}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - algebraicznie (Część a bez geometrii)

\n

Korzystamy ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):

\n

\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\sin\\alpha - \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\sin\\alpha\\left(1 - \\frac{1}{\\cos\\alpha}\\right) = \\sin\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha - 1}{\\cos\\alpha}\\]

\n

Oceniamy znak dla kąta ostrego, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\):

\n\n

Zatem:
\\[\\sin\\alpha \\cdot \\frac{\\cos\\alpha - 1}{\\cos\\alpha} = \\frac{(+)(-)}{(+)} < 0 \\qquad \\blacksquare\\]

\n
Sposób 2 jest bardziej elegancki i nie wymaga rysowania trójkąta - działa przez samą algebrę.
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)

\n

Jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Użyliśmy jej w części b) do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\) oraz do uproszczenia wyrażenia \\(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha = 1\\).

\n

Definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do algebraicznego przekształcenia różnicy.

\n

Definicje w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do geometrycznego uzasadnienia nierówności.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: W części b) wielu uczniów liczy \\(\\cos^3\\alpha + \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha\\) „na piechotę" - podstawia wartości i mozolnie podnosi do potęg. Szybszy klucz: zawsze najpierw sprawdź, czy da się wyciągnąć wspólny czynnik. Tutaj \\(\\cos\\alpha(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) = \\cos\\alpha \\cdot 1\\) - całe wyrażenie skraca się do jednej liczby!
\n
⚠️ Uwaga: W uzasadnieniu nierówności (część a) nie wystarczy napisać „sin < tg, bo tg jest większe". Trzeba pokazać, dlaczego - albo geometrycznie przez boki (\\(b < c\\)), albo algebraicznie przez \\(\\cos\\alpha < 1\\). Brak uzasadnienia = brak punktów.
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{1}{9}}\\) pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy daje dwa wyniki: \\(\\pm\\frac{1}{3}\\). Wybieramy \\(+\\frac{1}{3}\\), bo \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym - cosinus kąta ostrego jest zawsze dodatni!
\n

Poprawne odpowiedzi: a) dowód poniżej; b) wartość wyrażenia \\(= \\dfrac{1}{3}\\).

\n
Sposób 1 - Dowód i obliczenie
\n

a) Uzasadnienie nierówności \\(\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0\\):

\n

W trójkącie prostokątnym oznaczmy: \\(a\\) - przyprostokątna przeciwległa do \\(\\alpha\\), \\(b\\) - przyprostokątna leżąca przy \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna. Wtedy:
\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{a}{b}.\\]

\n

Obliczamy:
\\[\\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{a}{c} - \\dfrac{a}{b} = \\dfrac{ab - ac}{bc} = \\dfrac{a(b - c)}{bc}.\\]

\n

Ponieważ \\(a, b, c > 0\\) oraz przeciwprostokątna \\(c\\) jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego (\\(c > b\\)), mamy \\(b - c < 0\\). Zatem:
\\[\\dfrac{a(b-c)}{bc} < 0 \\Rightarrow \\sin\\alpha - \\operatorname{tg}\\alpha < 0. \\quad \\blacksquare\\]

\n

b) Obliczenie wartości wyrażenia \\(\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha\\):

\n

Wyłączamy \\(\\cos\\alpha\\) przed nawias:
\\[\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\cos\\alpha(\\cos^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\alpha) = \\cos\\alpha\\cdot 1 = \\cos\\alpha.\\]

\n

Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{8}{9} = \\dfrac{1}{9}.\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\):
\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{1}{9}} = \\dfrac{1}{3}.\\]

\n

Wartość wyrażenia: \\(\\cos^{3}\\alpha + \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\).

\n
Komentarz
\n

Część a: można też uzasadnić intuicyjnie: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\); dla \\(0 < \\alpha < \\dfrac{\\pi}{2}\\) mamy \\(0 < \\cos\\alpha < 1\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > \\sin\\alpha\\).

\n

Część b: kluczowa jest jedynka trygonometryczna \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\), która redukuje wyrażenie do \\(\\cos\\alpha\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) Uzasadnienie.<br>b) $\\dfrac{1}{3}$

"}]}