{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":6,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (6 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny\n)\n(\nn\na\ndla\n1\nn ≥, w którym\n1\n7 =\na\n,\n9\n11 =\na\na) Oblicz pierwszy wyraz\n1a i różnicę r ciągu\n)\n(\nn\na\nb) Sprawdź, czy ciąg (\n)\n11\n8\n7\n,\n,\na\na\na\njest geometryczny.\nc) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu\n)\n(\nn\na\nmiała wartość\nnajmniejszą.\nNr zadania\n7.1\n7.2\n7.3\n7.4\n7.5\n7.6\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n10\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) dla n>=1, w którym a_7=1, a_{11}=9. a) Oblicz pierwszy a_1 i różnicę r ciągu (a_n). b) Sprawdź, czy ciąg (a_7, a_8, a_{11}) jest geometryczny. c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) miała wartość najmniejszą.","answer":"B","answer_text":"n\n)\n980\nalbo\nm\n15\nn\n980\nalbo 6\nm\n8\nn","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nWynik: \\(W(x) \\cdot V(x) = 2x^6 - 6x^4 + 2x^3\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie wielomianu przez jednomian\n\nMamy:\n\\[W(x) = x^3 - 3x + 1, \\qquad V(x) = 2x^3\\]\n\nMnożymy każdy wyraz \\(W(x)\\) przez \\(2x^3\\):\n\n\\[W(x) \\cdot V(x) = (x^3 - 3x + 1) \\cdot 2x^3\\]\n\nKażdy składnik osobno:\n\\[x^3 \\cdot 2x^3 = 2x^{3+3} = 2x^6\\]\n\\[(-3x) \\cdot 2x^3 = -6x^{1+3} = -6x^4\\]\n\\[1 \\cdot 2x^3 = 2x^3\\]\n\nZbieramy wyniki:\n\\[\\boxed{W(x) \\cdot V(x) = 2x^6 - 6x^4 + 2x^3}\\]\n\n**Zatem odpowiedź to B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości\n\nSprawdzamy wynik dla \\(x = 1\\):\n\n- Lewa strona: \\(W(1) \\cdot V(1) = (1 - 3 + 1) \\cdot 2 = (-1) \\cdot 2 = -2\\)\n- Prawa strona (nasz wynik): \\(2(1)^6 - 6(1)^4 + 2(1)^3 = 2 - 6 + 2 = -2\\) ✓\n\nSprawdzamy dla \\(x = 2\\):\n\n- Lewa strona: \\(W(2) \\cdot V(2) = (8 - 6 + 1) \\cdot 16 = 3 \\cdot 16 = 48\\)\n- Prawa strona: \\(2(64) - 6(16) + 2(8) = 128 - 96 + 16 = 48\\) ✓\n\nWynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość działania na potęgach przy mnożeniu:\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nJest to własność potęg z **Działu 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**. Używamy jej przy mnożeniu:\n\\[x^3 \\cdot x^3 = x^{3+3} = x^6, \\qquad x^1 \\cdot x^3 = x^{1+3} = x^4\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Pominięcie składnika \\((-3x)\\) - mnożenie tylko pierwszego i ostatniego wyrazu \\(W(x)\\) |\n| C | Błędne dodawanie wykładników przy mnożeniu, np. \\(x^3 \\cdot x^3 = x^9\\) zamiast \\(x^6\\) |\n| D | Pomylenie mnożenia z dodawaniem - napisanie \\(W(x) + V(x)\\) zamiast \\(W(x) \\cdot V(x)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc wielomian przez jednomian, pamiętaj o **każdym** wyrazie - łatwo pominąć środkowy składnik \\(-3x\\), zwłaszcza gdy nie ma członu \\(x^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg **dodajemy** wykładniki: \\(x^3 \\cdot x^3 = x^6\\), a **nie** \\(x^9\\) (to byłoby potęgowanie potęgi: \\((x^3)^3\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik ma trzy wyrazy o **różnych** stopniach: \\(x^6\\), \\(x^4\\), \\(x^3\\) - nie ma \\(x^5\\) ani \\(x^2\\), bo \\(W(x)\\) nie ma tych składników. Nie dopisuj brakujących wyrazów!\n\n**Poprawna odpowiedź: B.** \\(2x^{6} - 6x^{4} + 2x^{3}\\)\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie mnożenie\n\\[W(x)\\cdot V(x) = (x^{3} - 3x + 1)\\cdot 2x^{3}\\]\n\\[= 2x^{3}\\cdot x^{3} + 2x^{3}\\cdot(-3x) + 2x^{3}\\cdot 1\\]\n\\[= 2x^{6} - 6x^{4} + 2x^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Kontrola stopnia\nStopień \\(W(x)\\) wynosi \\(3\\), stopień \\(V(x) = 2x^{3}\\) też \\(3\\). Zatem stopień iloczynu to \\(3 + 3 = 6\\).\n\nOdpowiedzi A (\\(2x^{5}\\)), C (\\(2x^{5}\\)), D (\\(2x^{5}\\)) mają najwyższy stopień \\(5\\) - odpadają już z kontroli stopnia. Pozostaje **B** ze stopniem \\(6\\).\n\n### Weryfikacja przez wstawienie \\(x = 1\\)\n\\(W(1) = 1 - 3 + 1 = -1\\), \\(V(1) = 2\\). \\(W(1)\\cdot V(1) = -2\\).\n\nDla odpowiedzi B: \\(2 - 6 + 2 = -2\\) ✓.\n\n### Komentarz\nPrawo potęg \\(x^{a}\\cdot x^{b} = x^{a+b}\\) - wysokie potęgi sumują się. Typowy błąd: potraktowanie \\(2x^{3}\\cdot x^{3}\\) jako \\(2x^{5}\\) zamiast \\(2x^{6}\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (6 pkt)<br>Dany jest ciąg arytmetyczny<br>)<br>(<br>n<br>a<br>dla<br>1<br>n ≥, w którym<br>1<br>7 =<br>a<br>,<br>9<br>11 =<br>a<br>a) Oblicz pierwszy wyraz<br>1a i różnicę r ciągu<br>)<br>(<br>n<br>a<br>b) Sprawdź, czy ciąg (<br>)<br>11<br>8<br>7<br>,<br>,<br>a<br>a<br>a<br>jest geometryczny.<br>c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu<br>)<br>(<br>n<br>a<br>miała wartość<br>najmniejszą.<br>Nr zadania<br>7.1<br>7.2<br>7.3<br>7.4<br>7.5<br>7.6<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>10<br>Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) dla n&gt;=1, w którym a_7=1, a_{11}=9. a) Oblicz pierwszy a_1 i różnicę r ciągu (a_n). b) Sprawdź, czy ciąg (a_7, a_8, a_{11}) jest geometryczny. c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) miała wartość najmniejszą.</p>","answer_text_html":"<p>n<br>)<br>980<br>albo<br>m<br>15<br>n<br>980<br>albo 6<br>m<br>8<br>n</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>Wynik: \\(W(x) \\cdot V(x) = 2x^6 - 6x^4 + 2x^3\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie wielomianu przez jednomian</h4>\n<p>Mamy:<br>\\[W(x) = x^3 - 3x + 1, \\qquad V(x) = 2x^3\\]</p>\n<p>Mnożymy każdy wyraz \\(W(x)\\) przez \\(2x^3\\):</p>\n<p>\\[W(x) \\cdot V(x) = (x^3 - 3x + 1) \\cdot 2x^3\\]</p>\n<p>Każdy składnik osobno:<br>\\[x^3 \\cdot 2x^3 = 2x^{3+3} = 2x^6\\]<br>\\[(-3x) \\cdot 2x^3 = -6x^{1+3} = -6x^4\\]<br>\\[1 \\cdot 2x^3 = 2x^3\\]</p>\n<p>Zbieramy wyniki:<br>\\[\\boxed{W(x) \\cdot V(x) = 2x^6 - 6x^4 + 2x^3}\\]</p>\n<p><strong>Zatem odpowiedź to B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości</h4>\n<p>Sprawdzamy wynik dla \\(x = 1\\):</p>\n<ul><li>Lewa strona: \\(W(1) \\cdot V(1) = (1 - 3 + 1) \\cdot 2 = (-1) \\cdot 2 = -2\\)</li><li>Prawa strona (nasz wynik): \\(2(1)^6 - 6(1)^4 + 2(1)^3 = 2 - 6 + 2 = -2\\) ✓</li></ul>\n<p>Sprawdzamy dla \\(x = 2\\):</p>\n<ul><li>Lewa strona: \\(W(2) \\cdot V(2) = (8 - 6 + 1) \\cdot 16 = 3 \\cdot 16 = 48\\)</li><li>Prawa strona: \\(2(64) - 6(16) + 2(8) = 128 - 96 + 16 = 48\\) ✓</li></ul>\n<p>Wynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość działania na potęgach przy mnożeniu:</p>\n<p>\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]</p>\n<p>Jest to własność potęg z <strong>Działu 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong>. Używamy jej przy mnożeniu:<br>\\[x^3 \\cdot x^3 = x^{3+3} = x^6, \\qquad x^1 \\cdot x^3 = x^{1+3} = x^4\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Pominięcie składnika \\((-3x)\\) - mnożenie tylko pierwszego i ostatniego wyrazu \\(W(x)\\) |<br>| C | Błędne dodawanie wykładników przy mnożeniu, np. \\(x^3 \\cdot x^3 = x^9\\) zamiast \\(x^6\\) |<br>| D | Pomylenie mnożenia z dodawaniem - napisanie \\(W(x) + V(x)\\) zamiast \\(W(x) \\cdot V(x)\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mnożąc wielomian przez jednomian, pamiętaj o <strong>każdym</strong> wyrazie - łatwo pominąć środkowy składnik \\(-3x\\), zwłaszcza gdy nie ma członu \\(x^2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu potęg <strong>dodajemy</strong> wykładniki: \\(x^3 \\cdot x^3 = x^6\\), a <strong>nie</strong> \\(x^9\\) (to byłoby potęgowanie potęgi: \\((x^3)^3\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik ma trzy wyrazy o <strong>różnych</strong> stopniach: \\(x^6\\), \\(x^4\\), \\(x^3\\) - nie ma \\(x^5\\) ani \\(x^2\\), bo \\(W(x)\\) nie ma tych składników. Nie dopisuj brakujących wyrazów!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B.</strong> \\(2x^{6} - 6x^{4} + 2x^{3}\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Bezpośrednie mnożenie</h5>\n<p>\\[W(x)\\cdot V(x) = (x^{3} - 3x + 1)\\cdot 2x^{3}\\]<br>\\[= 2x^{3}\\cdot x^{3} + 2x^{3}\\cdot(-3x) + 2x^{3}\\cdot 1\\]<br>\\[= 2x^{6} - 6x^{4} + 2x^{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Kontrola stopnia</h5>\n<p>Stopień \\(W(x)\\) wynosi \\(3\\), stopień \\(V(x) = 2x^{3}\\) też \\(3\\). Zatem stopień iloczynu to \\(3 + 3 = 6\\).</p>\n<p>Odpowiedzi A (\\(2x^{5}\\)), C (\\(2x^{5}\\)), D (\\(2x^{5}\\)) mają najwyższy stopień \\(5\\) - odpadają już z kontroli stopnia. Pozostaje <strong>B</strong> ze stopniem \\(6\\).</p>\n<h5>Weryfikacja przez wstawienie \\(x = 1\\)</h5>\n<p>\\(W(1) = 1 - 3 + 1 = -1\\), \\(V(1) = 2\\). \\(W(1)\\cdot V(1) = -2\\).</p>\n<p>Dla odpowiedzi B: \\(2 - 6 + 2 = -2\\) ✓.</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Prawo potęg \\(x^{a}\\cdot x^{b} = x^{a+b}\\) - wysokie potęgi sumują się. Typowy błąd: potraktowanie \\(2x^{3}\\cdot x^{3}\\) jako \\(2x^{5}\\) zamiast \\(2x^{6}\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>a) $r = 2, a_1 = -11$&lt;br&gt;b) $a_8 = 3$, ciąg geometryczny&lt;br&gt;c) $S_n = n^2 - 12n$ dla $n \\geq 1$, $n = 6$</p>"}]}