{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nW trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18, a długości ramion trapezu AD i BC\nsą odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe miary.\nOblicz obwód tego trapezu.\nA\nB\nC\nD\n\nPoziom podstawowy\n11\nNr zadania\n8.1\n8.2\n8.3\n8.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nW trapezie ABCD długość podstawy CD jest rowna 18, a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i $DCB$, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu. Zadanie z matury 2009 poziom podstawowy.","answer":null,"answer_text":"4\nx\n14\n)\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - wierzchołek \\((-1, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nRównanie paraboli jest już zapisane w **postaci kanonicznej**:\n\\[y = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.\n\nPorównujemy nasze równanie z wzorcem:\n\\[y = -3(x + 1)^2\\]\n\\[y = -3(x - (-1))^2 + 0\\]\n\n**Odczytujemy bezpośrednio:**\n- \\(a = -3\\)\n- \\(p = -1\\) (bo \\(x - (-1) = x + 1\\))\n- \\(q = 0\\) (brak wyrazu wolnego poza nawiasem)\n\n**Wierzchołek paraboli:** \\(W = (-1,\\ 0)\\)\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie przez wzory z postaci ogólnej\n\nRozwijamy równanie do postaci ogólnej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\):\n\\[y = -3(x+1)^2 = -3(x^2 + 2x + 1) = -3x^2 - 6x - 3\\]\n\nMamy: \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).\n\nWspółrzędna \\(p\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2 \\cdot (-3)} = -\\frac{-6}{-6} = -1\\]\n\nWspółrzędna \\(q\\) wierzchołka:\n\\[q = f(p) = f(-1) = -3(-1+1)^2 = -3 \\cdot 0 = 0\\]\n\n**Wierzchołek:** \\(W = (-1,\\ 0)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\qquad W = (p,\\ q)\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nWzór na \\(p\\) stosujemy w Sposobie 2. W Sposobie 1 korzystamy z bezpośredniego odczytu postaci kanonicznej - to szybciej i bez ryzyka błędu rachunkowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobny błąd |\n| B | Zamiana znaku - uczeń czyta \\(x+1\\) jako \\(p = +1\\) zamiast \\(p = -1\\), daje wierzchołek \\((1, 0)\\) |\n| C | Uczeń podstawia \\(x = 0\\) i liczy \\(f(0) = -3\\), biorąc punkt \\((0, -3)\\) za wierzchołek |\n| D | Pomieszanie \\(a\\) z \\(p\\) - uczeń podaje \\((-3, 0)\\) lub inną kombinację ze współczynnika \\(-3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu \\(y = a(x - p)^2 + q\\) znak przy \\(p\\) jest **odwrotny**! Jeśli widzisz \\((x + 1)\\), to \\(p = -1\\), nie \\(+1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współrzędna \\(q\\) to wartość funkcji w wierzchołku - jeśli poza nawiasem nie ma żadnego wyrazu wolnego, to \\(q = 0\\), a wierzchołek leży **na osi \\(OX\\)**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a = -3\\) opisuje tylko \"szerokość\" i kierunek otwarcia paraboli (ramiona skierowane w dół). Nie ma nic wspólnego ze współrzędnymi wierzchołka - nie wpisuj go do odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: A.** \\((-1, 0)\\)\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nOgólna postać kanoniczna paraboli: \\(y = a(x - p)^{2} + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\) jest wierzchołkiem.\n\nW zadaniu:\n\\[y = -3(x+1)^{2} = -3(x - (-1))^{2} + 0.\\]\nStąd \\(p = -1\\), \\(q = 0\\), czyli \\(W = (-1, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Przez postać ogólną\nRozwijamy:\n\\[y = -3(x+1)^{2} = -3(x^{2} + 2x + 1) = -3x^{2} - 6x - 3.\\]\nWspółczynniki: \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).\n\\[p = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-6}{-6} = -1, \\quad q = -\\dfrac{\\Delta}{4a} = -\\dfrac{36 - 36}{-12} = 0.\\]\n\\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 36 - 4\\cdot(-3)\\cdot(-3) = 36 - 36 = 0\\).\n\nWierzchołek \\((-1, 0)\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Minimum/maksimum funkcji\nPonieważ \\(a = -3 < 0\\), parabola otwiera się w dół. Wartość \\(-3(x+1)^{2}\\) jest największa, gdy \\((x+1)^{2} = 0\\), czyli \\(x = -1\\); wtedy \\(y = 0\\). Maksimum w \\((-1, 0)\\).\n\n### Komentarz\nUwaga na znak: \\((x + 1)^{2} = (x - (-1))^{2}\\). Częsty błąd: odczyt \\(p = 1\\) zamiast \\(p = -1\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (4 pkt)<br>W trapezie ABCD długość podstawy CD jest równa 18, a długości ramion trapezu AD i BC<br>są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB, zaznaczone na rysunku, mają równe miary.<br>Oblicz obwód tego trapezu.<br>A<br>B<br>C<br>D</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>11<br>Nr zadania<br>8.1<br>8.2<br>8.3<br>8.4<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>1<br>1<br>1<br>Wypełnia<br>egzaminator! Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>12<br>W trapezie ABCD długość podstawy CD jest rowna 18, a długości ramion trapezu AD i BC są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i $DCB$, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu. Zadanie z matury 2009 poziom podstawowy.</p>","answer_text_html":"<p>4<br>x<br>14<br>)<br>5</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - wierzchołek \\((-1, 0)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej</h4>\n<p>Równanie paraboli jest już zapisane w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[y = a(x - p)^2 + q\\]<br>gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.</p>\n<p>Porównujemy nasze równanie z wzorcem:<br>\\[y = -3(x + 1)^2\\]<br>\\[y = -3(x - (-1))^2 + 0\\]</p>\n<p><strong>Odczytujemy bezpośrednio:</strong></p>\n<ul><li>\\(a = -3\\)</li><li>\\(p = -1\\) (bo \\(x - (-1) = x + 1\\))</li><li>\\(q = 0\\) (brak wyrazu wolnego poza nawiasem)</li></ul>\n<p><strong>Wierzchołek paraboli:</strong> \\(W = (-1,\\ 0)\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie przez wzory z postaci ogólnej</h4>\n<p>Rozwijamy równanie do postaci ogólnej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\):<br>\\[y = -3(x+1)^2 = -3(x^2 + 2x + 1) = -3x^2 - 6x - 3\\]</p>\n<p>Mamy: \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).</p>\n<p>Współrzędna \\(p\\) wierzchołka:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2 \\cdot (-3)} = -\\frac{-6}{-6} = -1\\]</p>\n<p>Współrzędna \\(q\\) wierzchołka:<br>\\[q = f(p) = f(-1) = -3(-1+1)^2 = -3 \\cdot 0 = 0\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek:</strong> \\(W = (-1,\\ 0)\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\qquad W = (p,\\ q)\\]<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>Wzór na \\(p\\) stosujemy w Sposobie 2. W Sposobie 1 korzystamy z bezpośredniego odczytu postaci kanonicznej - to szybciej i bez ryzyka błędu rachunkowego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Prawdopodobny błąd |<br>| B | Zamiana znaku - uczeń czyta \\(x+1\\) jako \\(p = +1\\) zamiast \\(p = -1\\), daje wierzchołek \\((1, 0)\\) |<br>| C | Uczeń podstawia \\(x = 0\\) i liczy \\(f(0) = -3\\), biorąc punkt \\((0, -3)\\) za wierzchołek |<br>| D | Pomieszanie \\(a\\) z \\(p\\) - uczeń podaje \\((-3, 0)\\) lub inną kombinację ze współczynnika \\(-3\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W równaniu \\(y = a(x - p)^2 + q\\) znak przy \\(p\\) jest <strong>odwrotny</strong>! Jeśli widzisz \\((x + 1)\\), to \\(p = -1\\), nie \\(+1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współrzędna \\(q\\) to wartość funkcji w wierzchołku - jeśli poza nawiasem nie ma żadnego wyrazu wolnego, to \\(q = 0\\), a wierzchołek leży <strong>na osi \\(OX\\)</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik \\(a = -3\\) opisuje tylko &quot;szerokość&quot; i kierunek otwarcia paraboli (ramiona skierowane w dół). Nie ma nic wspólnego ze współrzędnymi wierzchołka - nie wpisuj go do odpowiedzi!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A.</strong> \\((-1, 0)\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>Ogólna postać kanoniczna paraboli: \\(y = a(x - p)^{2} + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\) jest wierzchołkiem.</p>\n<p>W zadaniu:<br>\\[y = -3(x+1)^{2} = -3(x - (-1))^{2} + 0.\\]<br>Stąd \\(p = -1\\), \\(q = 0\\), czyli \\(W = (-1, 0)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez postać ogólną</h5>\n<p>Rozwijamy:<br>\\[y = -3(x+1)^{2} = -3(x^{2} + 2x + 1) = -3x^{2} - 6x - 3.\\]<br>Współczynniki: \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = -3\\).<br>\\[p = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-6}{-6} = -1, \\quad q = -\\dfrac{\\Delta}{4a} = -\\dfrac{36 - 36}{-12} = 0.\\]<br>\\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 36 - 4\\cdot(-3)\\cdot(-3) = 36 - 36 = 0\\).</p>\n<p>Wierzchołek \\((-1, 0)\\) ✓.</p>\n<h5>Sposób 3 - Minimum/maksimum funkcji</h5>\n<p>Ponieważ \\(a = -3 &lt; 0\\), parabola otwiera się w dół. Wartość \\(-3(x+1)^{2}\\) jest największa, gdy \\((x+1)^{2} = 0\\), czyli \\(x = -1\\); wtedy \\(y = 0\\). Maksimum w \\((-1, 0)\\).</p>\n<h5>Komentarz</h5>\n<p>Uwaga na znak: \\((x + 1)^{2} = (x - (-1))^{2}\\). Częsty błąd: odczyt \\(p = 1\\) zamiast \\(p = -1\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Obwód: $108$</p>"}]}