{"id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2009,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nPunkty\n(\n)\n0,10\nB =\ni\n(\n)\n0,0\nO =\nsą wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym\n90\nOAB =\n°\n)\n. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu\nx\ny\n2\n1\n. Oblicz\nwspółrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.\nNr zadania\n9.1\n9.2\n9.3\n9.4\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\nWypełnia\negzaminator! Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n13\nPunkty B=(0,10) i O=(0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym kat OAB=90 stopni. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x. Oblicz współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.","answer":null,"answer_text":"3\n2\n⋅\n(\n3\n4\n2\n2\n)\n2\n3\n, o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - iloczyn skalarny (prostopadłość wektorów)\n\n**Skoro \\(A\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\),** możemy zapisać:\n\\[A = \\left(t,\\ \\frac{t}{2}\\right) \\quad \\text{dla pewnego } t \\neq 0\\]\n\nKąt prosty jest przy \\(A\\), czyli wektory \\(\\overrightarrow{AO}\\) i \\(\\overrightarrow{AB}\\) są **prostopadłe**.\n\nWyznaczamy te wektory:\n\\[\\overrightarrow{AO} = O - A = \\left(-t,\\ -\\frac{t}{2}\\right)\\]\n\\[\\overrightarrow{AB} = B - A = \\left(0 - t,\\ 10 - \\frac{t}{2}\\right) = \\left(-t,\\ 10 - \\frac{t}{2}\\right)\\]\n\nWarunek prostopadłości - iloczyn skalarny równy zero:\n\\[\\overrightarrow{AO} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0\\]\n\\[(-t)(-t) + \\left(-\\frac{t}{2}\\right)\\left(10 - \\frac{t}{2}\\right) = 0\\]\n\\[t^2 - \\frac{t}{2} \\cdot 10 + \\frac{t^2}{4} = 0\\]\n\\[t^2 + \\frac{t^2}{4} - 5t = 0\\]\n\\[\\frac{5t^2}{4} - 5t = 0\\]\n\\[5t\\left(\\frac{t}{4} - 1\\right) = 0\\]\n\nStąd \\(t = 0\\) (to punkt \\(O\\), odrzucamy) lub \\(\\dfrac{t}{4} = 1\\), czyli **\\(t = 4\\)**.\n\nZatem:\n\\[A = \\left(4,\\ \\frac{4}{2}\\right) = (4, 2)\\]\n\nDługość przyprostokątnej \\(OA\\):\n\\[|OA| = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - okrąg Talesa\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** skoro \\(|\\angle OAB| = 90°\\), to punkt \\(A\\) leży na okręgu o średnicy \\(OB\\) (twierdzenie Talesa - kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty).\n\nŚrodek tego okręgu to środek odcinka \\(OB\\):\n\\[S = \\left(\\frac{0+0}{2},\\ \\frac{0+10}{2}\\right) = (0, 5)\\]\n\nPromień:\n\\[r = \\frac{|OB|}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\nRównanie okręgu:\n\\[x^2 + (y - 5)^2 = 25\\]\n\nPunkt \\(A\\) leży również na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), więc podstawiamy \\(y = \\frac{x}{2}\\):\n\\[x^2 + \\left(\\frac{x}{2} - 5\\right)^2 = 25\\]\n\\[x^2 + \\frac{x^2}{4} - 5x + 25 = 25\\]\n\\[\\frac{5x^2}{4} - 5x = 0\\]\n\\[5x\\left(\\frac{x}{4} - 1\\right) = 0\\]\n\nZnów \\(x = 0\\) (punkt \\(O\\), odrzucamy) lub \\(x = 4\\), skąd \\(y = 2\\).\n\n**\\(A = (4, 2)\\)**, \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Długość odcinka:\n\\[|OA| = \\sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = 2\\sqrt{5}\\]\nUżyto do obliczenia długości przyprostokątnej.\n\n- Warunek prostopadłości prostych (Sposób 1):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nProsta \\(OA\\) ma współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{2}\\), prosta \\(AB\\) - musi mieć \\(-2\\), co odpowiada prostopadłości wektorów.\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Talesa/kąt wpisany, s. 19)**\n\\[\\text{Kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy na tym samym łuku}\\]\nKąt wpisany oparty na średnicy = 90° - to podstawa Sposobu 2.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć odrzucić rozwiązanie \\(t = 0\\) - daje ono punkt \\(O\\), który już jest wierzchołkiem trójkąta, nie może więc być punktem \\(A\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty jest przy \\(A\\), nie przy \\(O\\)! Mylenie wierzchołka kąta prostego to najczęstszy błąd - tu \\(\\angle OAB = 90°\\), więc prostopadłość dotyczy \\(\\overrightarrow{AO}\\) i \\(\\overrightarrow{AB}\\), nie \\(\\overrightarrow{OA}\\) i \\(\\overrightarrow{OB}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(|OA|\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\) - nie zostawiaj wyniku w postaci \\(\\sqrt{20}\\), bo to forma nieskrócona.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\).\n\n### Sposób 1 - Prosta prostopadła i punkt przecięcia\n**Dane:** \\(B = (0, 10)\\), \\(O = (0, 0)\\), \\(\\angle OAB = 90^{\\circ}\\), prosta \\(OA\\): \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\).\n\n**Krok 1 - równanie prostej \\(AB\\):**\nPonieważ \\(\\angle OAB = 90^{\\circ}\\), prosta \\(AB\\) jest prostopadła do prostej \\(OA\\).\n\nProsta \\(OA\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = \\dfrac{1}{2}\\). Warunek prostopadłości: \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\):\n\\[\\dfrac{1}{2}\\cdot a_2 = -1 \\Rightarrow a_2 = -2.\\]\n\nProsta \\(AB\\) przechodzi przez \\(B = (0, 10)\\):\n\\[y = -2x + 10.\\]\n\n**Krok 2 - punkt \\(A\\) jako przecięcie prostych \\(OA\\) i \\(AB\\):**\n\\[\\begin{cases} y = \\dfrac{1}{2}x \\\\ y = -2x + 10 \\end{cases}\\]\n\nPorównujemy:\n\\[\\dfrac{1}{2}x = -2x + 10 \\Rightarrow \\dfrac{1}{2}x + 2x = 10 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x = 10 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\nStąd \\(y = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4 = 2\\). Zatem \\(A = (4, 2)\\).\n\n**Krok 3 - długość \\(|OA|\\):**\n\\[|OA| = \\sqrt{(4-0)^{2} + (2-0)^{2}} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sprawdzenie\n- \\(A\\) leży na \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\): \\(2 = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4 = 2\\) ✓.\n- \\(AB \\perp OA\\): \\(\\vec{OA} = (4, 2)\\), \\(\\vec{AB} = (-4, 8)\\); iloczyn skalarny \\((4)(-4) + (2)(8) = -16 + 16 = 0\\) ✓.\n\n### Komentarz\nKlasyczna konstrukcja: wysokość/przyprostokątna opuszczona z wierzchołka kąta prostego. Punkt \\(A\\) jest rzutem prostokątnym \\(B\\) na prostą \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\). Wzór \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\) - norma wektora \\(\\vec{OA}\\).","image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (4 pkt)
Punkty
(
)
0,10
B =
i
(
)
0,0
O =
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym
90
OAB =
°
)
. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu
x
y
2
1
. Oblicz
współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.
Nr zadania
9.1
9.2
9.3
9.4
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
Wypełnia
egzaminator! Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
13
Punkty B=(0,10) i O=(0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB, w którym kat OAB=90 stopni. Przyprostokątna OA zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x. Oblicz współrzędne punktu A i długość przyprostokątnej OA.

","answer_text_html":"

3
2
⋅
(
3
4
2
2
)
2
3
, o ile dowód równości jest prowadzony od jej prawej strony

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2009-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - iloczyn skalarny (prostopadłość wektorów)

\n

Skoro \\(A\\) leży na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), możemy zapisać:
\\[A = \\left(t,\\ \\frac{t}{2}\\right) \\quad \\text{dla pewnego } t \\neq 0\\]

\n

Kąt prosty jest przy \\(A\\), czyli wektory \\(\\overrightarrow{AO}\\) i \\(\\overrightarrow{AB}\\) są prostopadłe.

\n

Wyznaczamy te wektory:
\\[\\overrightarrow{AO} = O - A = \\left(-t,\\ -\\frac{t}{2}\\right)\\]
\\[\\overrightarrow{AB} = B - A = \\left(0 - t,\\ 10 - \\frac{t}{2}\\right) = \\left(-t,\\ 10 - \\frac{t}{2}\\right)\\]

\n

Warunek prostopadłości - iloczyn skalarny równy zero:
\\[\\overrightarrow{AO} \\cdot \\overrightarrow{AB} = 0\\]
\\[(-t)(-t) + \\left(-\\frac{t}{2}\\right)\\left(10 - \\frac{t}{2}\\right) = 0\\]
\\[t^2 - \\frac{t}{2} \\cdot 10 + \\frac{t^2}{4} = 0\\]
\\[t^2 + \\frac{t^2}{4} - 5t = 0\\]
\\[\\frac{5t^2}{4} - 5t = 0\\]
\\[5t\\left(\\frac{t}{4} - 1\\right) = 0\\]

\n

Stąd \\(t = 0\\) (to punkt \\(O\\), odrzucamy) lub \\(\\dfrac{t}{4} = 1\\), czyli \\(t = 4\\).

\n

Zatem:
\\[A = \\left(4,\\ \\frac{4}{2}\\right) = (4, 2)\\]

\n

Długość przyprostokątnej \\(OA\\):
\\[|OA| = \\sqrt{4^2 + 2^2} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]

\n

Sposób 2 - okrąg Talesa

\n

Kluczowe spostrzeżenie: skoro \\(|\\angle OAB| = 90°\\), to punkt \\(A\\) leży na okręgu o średnicy \\(OB\\) (twierdzenie Talesa - kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty).

\n

Środek tego okręgu to środek odcinka \\(OB\\):
\\[S = \\left(\\frac{0+0}{2},\\ \\frac{0+10}{2}\\right) = (0, 5)\\]

\n

Promień:
\\[r = \\frac{|OB|}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]

\n

Równanie okręgu:
\\[x^2 + (y - 5)^2 = 25\\]

\n

Punkt \\(A\\) leży również na prostej \\(y = \\frac{1}{2}x\\), więc podstawiamy \\(y = \\frac{x}{2}\\):
\\[x^2 + \\left(\\frac{x}{2} - 5\\right)^2 = 25\\]
\\[x^2 + \\frac{x^2}{4} - 5x + 25 = 25\\]
\\[\\frac{5x^2}{4} - 5x = 0\\]
\\[5x\\left(\\frac{x}{4} - 1\\right) = 0\\]

\n

Znów \\(x = 0\\) (punkt \\(O\\), odrzucamy) lub \\(x = 4\\), skąd \\(y = 2\\).

\n

\\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n\n

\\[|OA| = \\sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \\sqrt{4^2 + 2^2} = 2\\sqrt{5}\\]
Użyto do obliczenia długości przyprostokątnej.

\n\n

\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Prosta \\(OA\\) ma współczynnik kierunkowy \\(\\frac{1}{2}\\), prosta \\(AB\\) - musi mieć \\(-2\\), co odpowiada prostopadłości wektorów.

\n

Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Talesa/kąt wpisany, s. 19)
\\[\\text{Kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy na tym samym łuku}\\]
Kąt wpisany oparty na średnicy = 90° - to podstawa Sposobu 2.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć odrzucić rozwiązanie \\(t = 0\\) - daje ono punkt \\(O\\), który już jest wierzchołkiem trójkąta, nie może więc być punktem \\(A\\).
\n
⚠️ Uwaga: Kąt prosty jest przy \\(A\\), nie przy \\(O\\)! Mylenie wierzchołka kąta prostego to najczęstszy błąd - tu \\(\\angle OAB = 90°\\), więc prostopadłość dotyczy \\(\\overrightarrow{AO}\\) i \\(\\overrightarrow{AB}\\), nie \\(\\overrightarrow{OA}\\) i \\(\\overrightarrow{OB}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(|OA|\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\) - nie zostawiaj wyniku w postaci \\(\\sqrt{20}\\), bo to forma nieskrócona.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(A = (4, 2)\\), \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\).

\n
Sposób 1 - Prosta prostopadła i punkt przecięcia
\n

Dane: \\(B = (0, 10)\\), \\(O = (0, 0)\\), \\(\\angle OAB = 90^{\\circ}\\), prosta \\(OA\\): \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\).

\n

Krok 1 - równanie prostej \\(AB\\):
Ponieważ \\(\\angle OAB = 90^{\\circ}\\), prosta \\(AB\\) jest prostopadła do prostej \\(OA\\).

\n

Prosta \\(OA\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = \\dfrac{1}{2}\\). Warunek prostopadłości: \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\):
\\[\\dfrac{1}{2}\\cdot a_2 = -1 \\Rightarrow a_2 = -2.\\]

\n

Prosta \\(AB\\) przechodzi przez \\(B = (0, 10)\\):
\\[y = -2x + 10.\\]

\n

Krok 2 - punkt \\(A\\) jako przecięcie prostych \\(OA\\) i \\(AB\\):
\\[\\begin{cases} y = \\dfrac{1}{2}x \\\\ y = -2x + 10 \\end{cases}\\]

\n

Porównujemy:
\\[\\dfrac{1}{2}x = -2x + 10 \\Rightarrow \\dfrac{1}{2}x + 2x = 10 \\Rightarrow \\dfrac{5}{2}x = 10 \\Rightarrow x = 4.\\]

\n

Stąd \\(y = \\dfrac{1}{2}\\cdot 4 = 2\\). Zatem \\(A = (4, 2)\\).

\n

Krok 3 - długość \\(|OA|\\):
\\[|OA| = \\sqrt{(4-0)^{2} + (2-0)^{2}} = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}.\\]

\n
Sprawdzenie
\n\n
Komentarz
\n

Klasyczna konstrukcja: wysokość/przyprostokątna opuszczona z wierzchołka kąta prostego. Punkt \\(A\\) jest rzutem prostokątnym \\(B\\) na prostą \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\). Wzór \\(|OA| = 2\\sqrt{5}\\) - norma wektora \\(\\vec{OA}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y = -2x + 10$, $A = (4, 2)$, $|OA| = 2\\sqrt{5}$

"}]}