{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (4 pkt)\nUzasadnij, że dla każdego\n(\n)\n0 ,90\nα ∈\n°\n° prawdą jest, że (\n)\nα\nα\nα\nα\ncos\ntg\ncos\n1\nsin\n1\n⎟\n⎠\n⎞\n⎜\n⎝\n⎛\n⋅\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n5","answer":null,"answer_text":"3.1\nWykorzystanie związku\nα\nα\nα\ncos\nsin\ntg\nw przekształcaniu tożsamości.\n1\n3.2\nPrzekształcenie lewej strony tożsamości do postaci:\nα\nα\ncos\nsin\n1\n2\n1\nPunkt przyznajemy za poprawne\nwymnożenie nawiasów na dowolnym\netapie rozwiązania tego zadania.\n3.3\nWykorzystanie związku\n1\ncos\nsin\n2\n2\nα\nα\nw przekształcaniu\ntożsamości.\n1\n3\n3.4\nSformułowanie wniosku: „Podana równość jest tożsamością” lub\nsformułowanie równoważne.\n1\nWniosek musi być konsekwencją\nwykonanych przekształceń.\n4.1\nObliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:\n(\n)\n4\n129\n2\n1\n4\n1\n7\n7\nS\n1\nWystarczy zapis\n(\n)\n7\n7\n3 1\n2\n4\n3\nS\n(nie\nmusi być to oddzielny zapis, może\nwystępować, np. jako jedna ze stron\nrównania w czynności 4.3).\nZdający nie musi obliczyć wartości\nsumy\n7\nS .\n4.2\nZapisanie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\nw zależności od r:\n7\n3\n2\n6\n4\n7\n2\nr\nS\n⋅\n⋅\n1\nNie musi to być oddzielny zapis, może\nwystępować, np. jako jedna ze stron\nrównania w czynności 4.3.\n4.3\nUłożenie równania z niewiadomą r:\n(\n)\n7\n3\n2\n6\n1\n4\n7\n1\n2\n2\n4\nr\n⋅\n⋅\n1\nMoże też być:\n3\n2\n6\n129\n4\n7\n2\n4\nr\n⋅\n⋅\n4\n4.4\nRozwiązanie równania:\n7\n9\nr\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 3. (4 pkt)
Uzasadnij, że dla każdego
(
)
0 ,90
α ∈
°
° prawdą jest, że (
)
α
α
α
α
cos
tg
cos
1
sin
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
5

","answer_text_html":"

3.1
Wykorzystanie związku
α
α
α
cos
sin
tg
w przekształcaniu tożsamości.
1
3.2
Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci:
α
α
cos
sin
1
2
1
Punkt przyznajemy za poprawne
wymnożenie nawiasów na dowolnym
etapie rozwiązania tego zadania.
3.3
Wykorzystanie związku
1
cos
sin
2
2
α
α
w przekształcaniu
tożsamości.
1
3
3.4
Sformułowanie wniosku: „Podana równość jest tożsamością” lub
sformułowanie równoważne.
1
Wniosek musi być konsekwencją
wykonanych przekształceń.
4.1
Obliczenie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
(
)
4
129
2
1
4
1
7
7
S
1
Wystarczy zapis
(
)
7
7
3 1
2
4
3
S
(nie
musi być to oddzielny zapis, może
występować, np. jako jedna ze stron
równania w czynności 4.3).
Zdający nie musi obliczyć wartości
sumy
7
S .
4.2
Zapisanie sumy 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
w zależności od r:
7
3
2
6
4
7
2
r
S
⋅
⋅
1
Nie musi to być oddzielny zapis, może
występować, np. jako jedna ze stron
równania w czynności 4.3.
4.3
Ułożenie równania z niewiadomą r:
(
)
7
3
2
6
1
4
7
1
2
2
4
r
⋅
⋅
1
Może też być:
3
2
6
129
4
7
2
4
r
⋅
⋅
4
4.4
Rozwiązanie równania:
7
9
r
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy
4

","solutions":[]}