{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"4","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (4 pkt)\nLiczba 3\n4 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (\n)\nnb\n, którego iloraz jest równy (\n)\n2\nPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (\n)\nna\njest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu (\n)\nnb\nSuma siedmiu początkowych wyrazów ciągu (\n)\nna\njest równa sumie siedmiu początkowych\nwyrazów ciągu (\n)\nnb\n. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego (\n)\nna\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n6","answer":null,"answer_text":"4 <\nx\nx\n1\nPrzyznajemy 1pkt za przedstawienie\nmetody rozwiązania nierówności\nkwadratowej: np. zapisania podanej\nnierówności w postaci:\n2\n2 <\nx\nlub\nnarysowanie wykresu funkcji\n(\n)\n4\n2\n2 -\n= x\ny\n, itp.\n5.2\nRozwiązanie nierówności:\n(\n)\n4\n,0\n∈\nx\n1\nDopuszczamy przedstawienie zbioru\nrozwiązań na osi liczbowej, o ile\nzdający wyraźnie zaznaczy przedział\notwarty.\n5.3\nPrzedstawienie równania w postaci, np.\n(\n)\n(\n)\n2\n6\n4\n6\n0\nx\nx\nx\n1\nLewa strona równania musi mieć\npostać sumy iloczynów, w których\nwystępuje ten sam czynnik.\n5.4\nPrzedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych,\nnp. (\n)(\n)(\n)\n6\n2\n2\n0\nx\nx\nx\n1\n5.5\nWyznaczenie wszystkich rozwiązań równania:\n6,\n2,\n2\nx\nx\nx\n1\nPrzyznajemy punkty w czynności 5.3,\n5.4 i 5.5, gdy zdający podaje\nwszystkie pierwiastki wielomianu\n( )\n3\n2\n6\n4\n24\nW x\nx\nx\nx\nbez\njakichkolwiek obliczeń (np. przez\nzastosowanie tw. o pierwiastkach\nwymiernych wielomianu).\n5\n5.6\nPodanie odpowiedzi:\n2\nx =\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n5\n6.1\nZapisanie, które boki trójkąta są równej długości:\nBC\nAC =\n1\nPrzyznajemy punkt, gdy z dalszego\ntoku rozumowania wynika, że zdający\npoprawnie wybrał równe boki trójkąta.\n6.2\nWyznaczenie równania prostej AB:\n5\nx\ny\n1\nWystarczy, że zdający poda\nwspółczynnik kierunkowy prostej AB.\n6.3\nZapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB:\nb\nx\ny\n1\nWystarczy, że zdający poda\nwspółczynnik kierunkowy prostej\nprostopadłej do prostej AB.\n6.4\nWyznaczenie równania osi symetrii trójkąta:\n1\n= x\ny\n1\n6.1\nII sposób rozwiązania: (z własności symetralnej)\nOznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej,\nnp.\n(\n)\n,\nP\nx y\ni zapisanie własności AP\nBP\n1\n6.2\nWyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n4\n1\n5\nx\ny\nx\ny\n1\n6.3\nDoprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z\ndwiema niewiadomymi, np. 8\n2\n17\n10\n25\nx\ny\ny\n1\n6.4\nZapisanie odpowiedzi:\n1\ny\nx\n1\n6.1\nIII sposób rozwiązania:\nZapisanie, które boki trójkąta są równej długości:\nBC\nAC =\n1\n6.2\nWyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:\n(\n)\n2, 3\nD = -\n1\n6.3\nZauważenie, że prosta przechodząca przez punkty C i D jest osią\nsymetrii trójkąta ABC.\n1\nPrzyznajemy punkt, gdy z toku\nrozumowania wynika, że zdający\nstosując tę metodę poprawnie wybrał\nrówne boki trójkąta.\n6\n6.4\nWyznaczenie równania osi symetrii trójkąta:\n1\ny\nx\n1\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n6\n7.1\nObliczenie wysokości ostrosłupa:\n2\nH\n1\nJeśli zdający rozpatruje ostrosłup\nprawidłowy inny niż czworokątny, to\noceniamy czynność 7.1, za czynności","solution":"$r = \\dfrac{9}{7}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 4. (4 pkt)
Liczba 3
4 jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego (
)
nb
, którego iloraz jest równy (
)
2
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego (
)
na
jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu (
)
nb
Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu (
)
na
jest równa sumie siedmiu początkowych
wyrazów ciągu (
)
nb
. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego (
)
na

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
6

","answer_text_html":"

4 <
x
x
1
Przyznajemy 1pkt za przedstawienie
metody rozwiązania nierówności
kwadratowej: np. zapisania podanej
nierówności w postaci:
2
2 <
x
lub
narysowanie wykresu funkcji
(
)
4
2
2 -
= x
y
, itp.
5.2
Rozwiązanie nierówności:
(
)
4
,0
∈
x
1
Dopuszczamy przedstawienie zbioru
rozwiązań na osi liczbowej, o ile
zdający wyraźnie zaznaczy przedział
otwarty.
5.3
Przedstawienie równania w postaci, np.
(
)
(
)
2
6
4
6
0
x
x
x
1
Lewa strona równania musi mieć
postać sumy iloczynów, w których
występuje ten sam czynnik.
5.4
Przedstawienie równania w postaci iloczynu czynników liniowych,
np. (
)(
)(
)
6
2
2
0
x
x
x
1
5.5
Wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania:
6,
2,
2
x
x
x
1
Przyznajemy punkty w czynności 5.3,
5.4 i 5.5, gdy zdający podaje
wszystkie pierwiastki wielomianu
( )
3
2
6
4
24
W x
x
x
x
bez
jakichkolwiek obliczeń (np. przez
zastosowanie tw. o pierwiastkach
wymiernych wielomianu).
5
5.6
Podanie odpowiedzi:
2
x =
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy
5
6.1
Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości:
BC
AC =
1
Przyznajemy punkt, gdy z dalszego
toku rozumowania wynika, że zdający
poprawnie wybrał równe boki trójkąta.
6.2
Wyznaczenie równania prostej AB:
5
x
y
1
Wystarczy, że zdający poda
współczynnik kierunkowy prostej AB.
6.3
Zapisanie równania rodziny prostych prostopadłych do prostej AB:
b
x
y
1
Wystarczy, że zdający poda
współczynnik kierunkowy prostej
prostopadłej do prostej AB.
6.4
Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta:
1
= x
y
1
6.1
II sposób rozwiązania: (z własności symetralnej)
Oznaczenie dowolnego punktu leżącego na poszukiwanej symetralnej,
np.
(
)
,
P
x y
i zapisanie własności AP
BP
1
6.2
Wyznaczenie długości odcinków AP i BP i zapisanie równania:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
4
1
5
x
y
x
y
1
6.3
Doprowadzenie równania do postaci równania pierwszego stopnia z
dwiema niewiadomymi, np. 8
2
17
10
25
x
y
y
1
6.4
Zapisanie odpowiedzi:
1
y
x
1
6.1
III sposób rozwiązania:
Zapisanie, które boki trójkąta są równej długości:
BC
AC =
1
6.2
Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka AB:
(
)
2, 3
D = -
1
6.3
Zauważenie, że prosta przechodząca przez punkty C i D jest osią
symetrii trójkąta ABC.
1
Przyznajemy punkt, gdy z toku
rozumowania wynika, że zdający
stosując tę metodę poprawnie wybrał
równe boki trójkąta.
6
6.4
Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta:
1
y
x
1
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy
6
7.1
Obliczenie wysokości ostrosłupa:
2
H
1
Jeśli zdający rozpatruje ostrosłup
prawidłowy inny niż czworokątny, to
oceniamy czynność 7.1, za czynności

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$r = \\dfrac{9}{7}$

"}]}