{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (4 pkt)\nW trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość 18 cm, a wysokość CD jest równa 15 cm.\nPunkt D dzieli bok AB tak, że\n2\n:\n1\n:\nDB\nAD\n. Przez punkt P leżący na odcinku DB\npoprowadzono prostą równoległą do prostej CD, odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego\npole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC. Oblicz długość odcinka PB.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom podstawowy\n11","answer":null,"answer_text":"9.1\nWprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:\nPB\nx =\n, h -wysokość odciętego trójkąta.\nWykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:\n6\nAD =\n,\n12\nDB =\n1\n9.2\nZapisanie równania: 1\n1 1 18 15\n2\n4 2\nx h\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n1\n9.3\nZapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa\ntrójkątów CDB i FPB:\n15\n5\n12\n4\nh\nx =\n1\n9\n9.4\nObliczenie długości odcinka PB:\n6\n3\nPB\ncm.\n1\nA\nB\nC\nD\nP\nx\nh\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n8\n9.1\nII sposób rozwiązania:\nWprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:\nPB\nx =\n, h -wysokość odciętego trójkąta.\nWykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:\n6\nAD =\n,\n12\nDB =\n1\n9.2\nObliczenie proporcji:\n2\n3\nDBC\nABC\nP\nP\nΔ\nΔ\nstąd\n2\n3\nDBC\nABC\nP\nP\nΔ\nΔ\n1\n9.3\nStwierdzenie, że DBC\nPBF\nΔ\nΔ\n∼\ni wykorzystanie twierdzenia o\nstosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:\n2\n12\nDBC\nPBF\nP\nP\nPB\nΔ\nΔ\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\nstąd\n2\n2\n12\n3\n1\n4\nABC\nABC\nP\nPB\nP\nΔ\nΔ\n⎛\n⎞\n= ⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\n9.4\nObliczenie długości odcinka PB :\n2\n2\n144\n3\n1\n4\nPB\n,\n3 6\nPB =\n1\nA\nB\nC\nD\nP\nx\nh\nF\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n9\n9.3\nIII sposób rozwiązania: (czynności 9.3 oraz 9.4)\nStwierdzenie, że DBC\nPBF\nΔ\nΔ\n∼\ni wykorzystanie twierdzenia\no stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:\n2\n2\n8\n3\n1\n3\n4\nABC\nDBC\nPBF\nABC\nP\nP\nk\nP\nP\nΔ\nΔ\nΔ\nΔ\nstąd\n2 6\n3\nk =\n1\n9.4\nObliczenie długości odcinka PB:\nDB\nk\nPB =\nstąd\n3\n12\n3 6\n2 6\nPB =\n⋅\n1\n10.1\nZapisanie układu:\n⎩\n⎨\n⎧\n90\n30\n900\n20\n10\n100\nb\na\nb\na\n1\nWystarczy zapis\n(\n)\n(\n)\n10\n20\n30\n90\nT\nT\n⎧⎪⎨\n⎪⎩\n10.2\nRozwiązanie układu:\n⎪⎪\n⎩\n⎪⎪\n⎨\n⎧\n2\n3\n20\n1\nb\na\n1\n10.3\nZapisanie wzoru funkcji: ( )\nN\nn\nn\nn\nn\nT\n∈\n,\n2\n3\n20\n1\n2\n1\nAkceptujemy sam wzór bez podania\nzałożenia\nN\nn∈\n10.4\nZapisanie równania:\n50\n2\n3\n20\n1\n2\nn\nn\n1\n10\n10.5\nRozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 20.\n1\nZdający nie musi wyznaczyć\nujemnego rozwiązania równania.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nOdpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy\n10","solution":"$|PB| = 3\\sqrt{6}$ cm","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 9. (4 pkt)
W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość 18 cm, a wysokość CD jest równa 15 cm.
Punkt D dzieli bok AB tak, że
2
:
1
:
DB
AD
. Przez punkt P leżący na odcinku DB
poprowadzono prostą równoległą do prostej CD, odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego
pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC. Oblicz długość odcinka PB.

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
11

","answer_text_html":"

9.1
Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:
PB
x =
, h -wysokość odciętego trójkąta.
Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:
6
AD =
,
12
DB =
1
9.2
Zapisanie równania: 1
1 1 18 15
2
4 2
x h
⋅
⋅
⋅
⋅
1
9.3
Zapisanie zależności między x i h z wykorzystaniem podobieństwa
trójkątów CDB i FPB:
15
5
12
4
h
x =
1
9
9.4
Obliczenie długości odcinka PB:
6
3
PB
cm.
1
A
B
C
D
P
x
h
F
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy
8
9.1
II sposób rozwiązania:
Wprowadzenie oznaczeń, np. takich jak na poniższym rysunku:
PB
x =
, h -wysokość odciętego trójkąta.
Wykorzystanie podanej proporcji do wyznaczenia długości odcinków:
6
AD =
,
12
DB =
1
9.2
Obliczenie proporcji:
2
3
DBC
ABC
P
P
Δ
Δ
stąd
2
3
DBC
ABC
P
P
Δ
Δ
1
9.3
Stwierdzenie, że DBC
PBF
Δ
Δ
∼
i wykorzystanie twierdzenia o
stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:
2
12
DBC
PBF
P
P
PB
Δ
Δ
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
stąd
2
2
12
3
1
4
ABC
ABC
P
PB
P
Δ
Δ
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
1
9.4
Obliczenie długości odcinka PB :
2
2
144
3
1
4
PB
,
3 6
PB =
1
A
B
C
D
P
x
h
F
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy
9
9.3
III sposób rozwiązania: (czynności 9.3 oraz 9.4)
Stwierdzenie, że DBC
PBF
Δ
Δ
∼
i wykorzystanie twierdzenia
o stosunku pól figur podobnych do zapisania proporcji:
2
2
8
3
1
3
4
ABC
DBC
PBF
ABC
P
P
k
P
P
Δ
Δ
Δ
Δ
stąd
2 6
3
k =
1
9.4
Obliczenie długości odcinka PB:
DB
k
PB =
stąd
3
12
3 6
2 6
PB =
⋅
1
10.1
Zapisanie układu:
⎩
⎨
⎧
90
30
900
20
10
100
b
a
b
a
1
Wystarczy zapis
(
)
(
)
10
20
30
90
T
T
⎧⎪⎨
⎪⎩
10.2
Rozwiązanie układu:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
2
3
20
1
b
a
1
10.3
Zapisanie wzoru funkcji: ( )
N
n
n
n
n
T
∈
,
2
3
20
1
2
1
Akceptujemy sam wzór bez podania
założenia
N
n∈
10.4
Zapisanie równania:
50
2
3
20
1
2
n
n
1
10
10.5
Rozwiązanie równania i wyznaczenie liczby kartek : 20.
1
Zdający nie musi wyznaczyć
ujemnego rozwiązania równania.
Próbny egzamin maturalny z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania - poziom podstawowy
10

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|PB| = 3\\sqrt{6}$ cm

"}]}