{"id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2009,"month":"styczen","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (4 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą\ndługość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego\nostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n17\n\nPróbny egzamin maturalny z matematyki\nPoziom rozszerzony\n18\nBRUDNOPIS","answer":null,"answer_text":"11.1\nZaznaczenie na rysunku szukanego kąta.\n1\n11.2\nObliczenie długości przekątnej podstawy i wysokości ściany bocznej:\n2\na\ni\n2\n3\na\n, gdzie a oznacza długość krawędzi ostrosłupa.\n1\n11.3\nZastosowanie twierdzenia kosinusów w trójkącie, w którym występuje kąt\ndwuścienny α : (\n)\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n2\n2\ncos\n2\n2\n2\n2\na\na\na\na\na\nα\n⎛\n⎞\n⎛\n⎞\n-⋅\n⋅\n⋅\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n⎝\n⎠\n1\n11.4\nObliczenie kosinusa kąta α : cos\n3\n1\nα\n1\n11.3\nII metoda rozwiązania: (czynności 11.3 i 11.4)\nZastosowanie definicji funkcji sinus dla połowy kąta α :\n2\n6\n2\nsin 2\n3\n3\n2\na\na\nα =\n1\nJeśli zdający obliczy przybliżoną wartość\nkąta 1\n2α , a następnie wartość kąta α\ni poprawnie ustali na tej podstawie\nprzybliżoną wartość\nα\ncos\n, to otrzymuje\npunkty w czynnościach 11.3 i 11.4. Za\nsamo obliczenie przybliżonej wartości kąta\nα nie przyznajemy punktów w czynności\n11.4.\n11\n11.4\nWyznaczenie kosinusa kąta α :\n2\n1\ncos\n1 2 sin\n2\n3\nα\nα\n⎛\n⎞\n= -⋅\n⎜\n⎟\n⎝\n⎠\n1\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.\na\na\nα .","solution":"$\\cos \\alpha = -\\dfrac{1}{3}$","image":"img/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · styczeń 2009 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 11. (4 pkt)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą
długość. Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego
ostrosłupa i oblicz kosinus tego kąta.

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
17

\n

Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
18
BRUDNOPIS

","answer_text_html":"

11.1
Zaznaczenie na rysunku szukanego kąta.
1
11.2
Obliczenie długości przekątnej podstawy i wysokości ściany bocznej:
2
a
i
2
3
a
, gdzie a oznacza długość krawędzi ostrosłupa.
1
11.3
Zastosowanie twierdzenia kosinusów w trójkącie, w którym występuje kąt
dwuścienny α : (
)
2
2
2
3
3
3
3
2
2
cos
2
2
2
2
a
a
a
a
a
α
⎛
⎞
⎛
⎞
-⋅
⋅
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1
11.4
Obliczenie kosinusa kąta α : cos
3
1
α
1
11.3
II metoda rozwiązania: (czynności 11.3 i 11.4)
Zastosowanie definicji funkcji sinus dla połowy kąta α :
2
6
2
sin 2
3
3
2
a
a
α =
1
Jeśli zdający obliczy przybliżoną wartość
kąta 1
2α , a następnie wartość kąta α
i poprawnie ustali na tej podstawie
przybliżoną wartość
α
cos
, to otrzymuje
punkty w czynnościach 11.3 i 11.4. Za
samo obliczenie przybliżonej wartości kąta
α nie przyznajemy punktów w czynności
11.4.
11
11.4
Wyznaczenie kosinusa kąta α :
2
1
cos
1 2 sin
2
3
α
α
⎛
⎞
= -⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
a
a
α .

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

cosα=−13

"}]}