{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności\n7\n5\nx +\n>\nA.\n2\nx\n-12\nB.\n2\nx\n12\nC.\n-2\nx\n-12\nD.\n-2\nx\n12\nWskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+7|>5.","answer":"W","answer_text":"Zadanie 1.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystanie interpretacji\ngeometrycznej wartości bezwzględnej\ndo wskazania zbioru rozwiązań\nnierówności typu x\na\nb\n≥\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nObliczamy wartość wyrażenia \\(|5-7|-|-3+4|\\). Wynik to \\(\\mathbf{1}\\).\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku, od środka nawiasów\n\nDziałamy od wewnątrz każdej wartości bezwzględnej.\n\n**Krok 1 - Oblicz wyrażenie w pierwszej wartości bezwzględnej:**\n\\[5 - 7 = -2\\]\n\n**Krok 2 - Zastosuj definicję wartości bezwzględnej:**\n\\[|5 - 7| = |-2| = 2\\]\n(liczba ujemna zmienia znak)\n\n**Krok 3 - Oblicz wyrażenie w drugiej wartości bezwzględnej:**\n\\[-3 + 4 = 1\\]\n\n**Krok 4 - Zastosuj definicję wartości bezwzględnej:**\n\\[|-3 + 4| = |1| = 1\\]\n(liczba dodatnia zostaje bez zmiany)\n\n**Krok 5 - Oblicz różnicę:**\n\\[|5-7| - |-3+4| = 2 - 1 = \\mathbf{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję geometryczną\n\nWartość bezwzględna \\(|a|\\) to **odległość liczby \\(a\\) od zera** na osi liczbowej.\n\n- \\(|5 - 7| = |-2|\\) - liczba \\(-2\\) leży w odległości \\(2\\) od zera → \\(|{-2}| = 2\\)\n- \\(|-3 + 4| = |1|\\) - liczba \\(1\\) leży w odległości \\(1\\) od zera → \\(|1| = 1\\)\n\nZatem:\n\\[2 - 1 = \\mathbf{1}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nUżyliśmy jej w obu krokach: \\(|-2| = -(-2) = 2\\) (bo \\(-2 < 0\\)), oraz \\(|1| = 1\\) (bo \\(1 \\geq 0\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Dodawanie zamiast odejmowania: \\(|5-7| + |-3+4| = 2 + 1 = 3\\) |\n| B | Zdjęcie wartości bezwzględnych bez zmiany znaku: \\((5-7)-(-3+4) = -2-1 = -3\\), a potem wzięcie \\(|-3|=3\\) lub zostawienie \\(-3\\) |\n| D | Obliczenie \\(|-3+4|\\) jako \\(|-3|+|4| = 3+4 = 7\\) zamiast najpierw zsumowania: \\(-3+4=1\\), \\(|1|=1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw oblicz wyrażenie **wewnątrz** wartości bezwzględnej, a **dopiero potem** bierz wartość bezwzględną. Błąd: \\(|5 - 7| \\neq |5| - |7| = 5 - 7 = -2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość bezwzględna nie może być ujemna - jeśli twój wynik całego wyrażenia wychodzi ujemny, sprawdź obliczenia od początku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kolejności działań - najpierw nawiasy (działania wewnątrz \\(|\\cdot|\\)), potem wartość bezwzględna, na końcu odejmowanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - wartość wyrażenia to \\(1\\).\n\n### Sposób 1 - Obliczenie wartości bezwzględnych\n\\[|5-7|=|-2|=2, \\qquad |-3+4|=|1|=1.\\]\nStąd \\(|5-7|-|-3+4|=2-1=1\\).\n\n### Sposób 2 - Definicja wartości bezwzględnej\nDla \\(a<0\\): \\(|a|=-a\\). Wyrażenie \\(5-7=-2<0\\), więc \\(|5-7|=-(5-7)=2\\).\nWyrażenie \\(-3+4=1>0\\), więc \\(|-3+4|=1\\).\nRóżnica: \\(2-1=1\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(|5-7|=2\\) (odległość \\(5\\) od \\(7\\)), \\(|-3+4|=1\\) (odległość \\(-3\\) od \\(-4\\))? Nie - to \\(|-3+4|=|1|=1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=-3\\): prawdopodobnie błąd znaku, \\(-2-1=-3\\) - ktoś zignorował wartość bezwzględną pierwszego składnika.\n- B \\(=-5\\): \\(-2-|-3|-4\\)? Błędna interpretacja.\n- D \\(=3\\): \\(2+1=3\\) - dodanie zamiast odejmowania.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (1 pkt)<br>Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności<br>7<br>5<br>x +</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>A.<br>2<br>x<br>-12<br>B.<br>2<br>x<br>12<br>C.<br>-2<br>x<br>-12<br>D.<br>-2<br>x<br>12<br>Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+7|&gt;5.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 1.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Wykorzystanie interpretacji<br>geometrycznej wartości bezwzględnej<br>do wskazania zbioru rozwiązań<br>nierówności typu x<br>a<br>b<br>≥<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Obliczamy wartość wyrażenia \\(|5-7|-|-3+4|\\). Wynik to \\(\\mathbf{1}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Krok po kroku, od środka nawiasów</h4>\n<p>Działamy od wewnątrz każdej wartości bezwzględnej.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Oblicz wyrażenie w pierwszej wartości bezwzględnej:</strong><br>\\[5 - 7 = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Zastosuj definicję wartości bezwzględnej:</strong><br>\\[|5 - 7| = |-2| = 2\\]<br>(liczba ujemna zmienia znak)</p>\n<p><strong>Krok 3 - Oblicz wyrażenie w drugiej wartości bezwzględnej:</strong><br>\\[-3 + 4 = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Zastosuj definicję wartości bezwzględnej:</strong><br>\\[|-3 + 4| = |1| = 1\\]<br>(liczba dodatnia zostaje bez zmiany)</p>\n<p><strong>Krok 5 - Oblicz różnicę:</strong><br>\\[|5-7| - |-3+4| = 2 - 1 = \\mathbf{1}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję geometryczną</h4>\n<p>Wartość bezwzględna \\(|a|\\) to <strong>odległość liczby \\(a\\) od zera</strong> na osi liczbowej.</p>\n<ul><li>\\(|5 - 7| = |-2|\\) - liczba \\(-2\\) leży w odległości \\(2\\) od zera → \\(|{-2}| = 2\\)</li><li>\\(|-3 + 4| = |1|\\) - liczba \\(1\\) leży w odległości \\(1\\) od zera → \\(|1| = 1\\)</li></ul>\n<p>Zatem:<br>\\[2 - 1 = \\mathbf{1}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)</strong> - definicja:<br>\\[|x| = \\begin{cases} x &amp; \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x &amp; \\text{dla } x &lt; 0 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Użyliśmy jej w obu krokach: \\(|-2| = -(-2) = 2\\) (bo \\(-2 &lt; 0\\)), oraz \\(|1| = 1\\) (bo \\(1 \\geq 0\\)).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Dodawanie zamiast odejmowania: \\(|5-7| + |-3+4| = 2 + 1 = 3\\) |<br>| B | Zdjęcie wartości bezwzględnych bez zmiany znaku: \\((5-7)-(-3+4) = -2-1 = -3\\), a potem wzięcie \\(|-3|=3\\) lub zostawienie \\(-3\\) |<br>| D | Obliczenie \\(|-3+4|\\) jako \\(|-3|+|4| = 3+4 = 7\\) zamiast najpierw zsumowania: \\(-3+4=1\\), \\(|1|=1\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najpierw oblicz wyrażenie <strong>wewnątrz</strong> wartości bezwzględnej, a <strong>dopiero potem</strong> bierz wartość bezwzględną. Błąd: \\(|5 - 7| \\neq |5| - |7| = 5 - 7 = -2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość bezwzględna nie może być ujemna - jeśli twój wynik całego wyrażenia wychodzi ujemny, sprawdź obliczenia od początku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl kolejności działań - najpierw nawiasy (działania wewnątrz \\(|\\cdot|\\)), potem wartość bezwzględna, na końcu odejmowanie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong> - wartość wyrażenia to \\(1\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie wartości bezwzględnych</h5>\n<p>\\[|5-7|=|-2|=2, \\qquad |-3+4|=|1|=1.\\]<br>Stąd \\(|5-7|-|-3+4|=2-1=1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Definicja wartości bezwzględnej</h5>\n<p>Dla \\(a&lt;0\\): \\(|a|=-a\\). Wyrażenie \\(5-7=-2&lt;0\\), więc \\(|5-7|=-(5-7)=2\\).<br>Wyrażenie \\(-3+4=1&gt;0\\), więc \\(|-3+4|=1\\).<br>Różnica: \\(2-1=1\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(|5-7|=2\\) (odległość \\(5\\) od \\(7\\)), \\(|-3+4|=1\\) (odległość \\(-3\\) od \\(-4\\))? Nie - to \\(|-3+4|=|1|=1\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(=-3\\): prawdopodobnie błąd znaku, \\(-2-1=-3\\) - ktoś zignorował wartość bezwzględną pierwszego składnika.</li><li>B \\(=-5\\): \\(-2-|-3|-4\\)? Błędna interpretacja.</li><li>D \\(=3\\): \\(2+1=3\\) - dodanie zamiast odejmowania.</li></ul>"}]}