{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku jest przedstawiony wykres funkcji\n( )\ny\nf x\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n0\nx\ny\nKtóre równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?\nA.\n( )\n0\nf x =\nB.\n( )\n1\nf x =\nC.\n( )\n2\nf x =\nD.\n( )\n3\nf x =\nNa rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania? A. f(x)=0, B. f(x)=1, C. f(x)=2, D. f(x)=3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 10.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytywanie wartości funkcji z jej\nwykresu\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWynik: \\(2x_1 + x_2 = -22\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków metodą rozkładu na czynniki\n\nSzukamy dwóch liczb, których **suma wynosi 10**, a **iloczyn wynosi -24** (by rozłożyć \\(x^2 + 10x - 24\\)).\n\nTakie liczby to: \\(12\\) i \\(-2\\), bo \\(12 + (-2) = 10\\) i \\(12 \\cdot (-2) = -24\\).\n\nZatem:\n\\[x^2 + 10x - 24 = (x + 12)(x - 2)\\]\n\nPierwiastki równania \\((x + 12)(x - 2) = 0\\):\n\\[x = -12 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]\n\nPonieważ \\(x_1 < x_2\\):\n\\[x_1 = -12, \\quad x_2 = 2\\]\n\nObliczamy żądane wyrażenie:\n\\[2x_1 + x_2 = 2 \\cdot (-12) + 2 = -24 + 2 = \\mathbf{-22}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a + wyznaczenie \\(x_1\\) przez deltę\n\nZe wzorów Viète'a dla równania \\(x^2 + 10x - 24 = 0\\) (gdzie \\(a=1, b=10, c=-24\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -10\\]\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -24\\]\n\nWyznaczamy \\(\\Delta\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 100 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-24) = 100 + 96 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\nMniejszy pierwiastek:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-10 - 14}{2} = \\frac{-24}{2} = -12\\]\n\nZ wzoru Viète'a: \\(x_2 = -10 - x_1 = -10 - (-12) = 2\\)\n\n**Sprytny skrót** - nie musimy nawet wyznaczać \\(x_2\\) osobno:\n\\[2x_1 + x_2 = x_1 + (x_1 + x_2) = x_1 + (-10) = -12 - 10 = \\mathbf{-22}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(x_1\\).\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 - relacja \\(x_1 + x_2 = -10\\) pozwoliła szybko obliczyć \\(2x_1 + x_2\\) bez wyznaczania \\(x_2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(x_1 < x_2\\) jest kluczowy! Gdybyśmy pomylili kolejność i wzięli \\(x_1 = 2, x_2 = -12\\), to \\(2x_1 + x_2 = 4 + (-12) = -8\\) - zupełnie inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki szukamy liczb dających **sumę** równą współczynnikowi przy \\(x\\) i **iloczyn** równy wyrazowi wolnemu. Tu łatwo wziąć odwrotnie i szukać iloczynu 10 zamiast sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprytna obserwacja z Sposobu 2 - zamiast liczyć \\(2x_1 + x_2\\) wprost, przekształć:\n> \\[2x_1 + x_2 = x_1 + (x_1 + x_2)\\]\n> i skorzystaj od razu z sumy Viète'a \\(x_1 + x_2 = -10\\). Szybciej i mniej obliczeń!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(2x_{1}+x_{2}=-22\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór kwadratowy\n\\(\\Delta=10^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-24)=100+96=196\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=14\\).\n\\[x_{1,2}=\\dfrac{-10\\pm 14}{2}.\\]\nStąd \\(x_{1}=\\dfrac{-10-14}{2}=-12\\), \\(x_{2}=\\dfrac{-10+14}{2}=2\\).\n\nZatem \\(2x_{1}+x_{2}=2\\cdot(-12)+2=-24+2=-22\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\\(x_{1}+x_{2}=-10\\), \\(x_{1}\\cdot x_{2}=-24\\). Szukamy dwóch liczb o sumie \\(-10\\) i iloczynie \\(-24\\): to \\(-12\\) i \\(2\\).\nPoniewaz \\(x_{1}Zadanie 10. (1 pkt)
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji
( )
y
f x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
0
x
y
Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
A.
( )
0
f x =
B.
( )
1
f x =
C.
( )
2
f x =
D.
( )
3
f x =
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y=f(x). Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania? A. f(x)=0, B. f(x)=1, C. f(x)=2, D. f(x)=3

","answer_text_html":"

Zadanie 10.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Odczytywanie wartości funkcji z jej
wykresu
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Wynik: \\(2x_1 + x_2 = -22\\)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków metodą rozkładu na czynniki

\n

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi 10, a iloczyn wynosi -24 (by rozłożyć \\(x^2 + 10x - 24\\)).

\n

Takie liczby to: \\(12\\) i \\(-2\\), bo \\(12 + (-2) = 10\\) i \\(12 \\cdot (-2) = -24\\).

\n

Zatem:
\\[x^2 + 10x - 24 = (x + 12)(x - 2)\\]

\n

Pierwiastki równania \\((x + 12)(x - 2) = 0\\):
\\[x = -12 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]

\n

Ponieważ \\(x_1 < x_2\\):
\\[x_1 = -12, \\quad x_2 = 2\\]

\n

Obliczamy żądane wyrażenie:
\\[2x_1 + x_2 = 2 \\cdot (-12) + 2 = -24 + 2 = \\mathbf{-22}\\]

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a + wyznaczenie \\(x_1\\) przez deltę

\n

Ze wzorów Viète'a dla równania \\(x^2 + 10x - 24 = 0\\) (gdzie \\(a=1, b=10, c=-24\\)):
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -10\\]
\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -24\\]

\n

Wyznaczamy \\(\\Delta\\):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 100 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-24) = 100 + 96 = 196\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]

\n

Mniejszy pierwiastek:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-10 - 14}{2} = \\frac{-24}{2} = -12\\]

\n

Z wzoru Viète'a: \\(x_2 = -10 - x_1 = -10 - (-12) = 2\\)

\n

Sprytny skrót - nie musimy nawet wyznaczać \\(x_2\\) osobno:
\\[2x_1 + x_2 = x_1 + (x_1 + x_2) = x_1 + (-10) = -12 - 10 = \\mathbf{-22}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(x_1\\).

\n

Wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 2 - relacja \\(x_1 + x_2 = -10\\) pozwoliła szybko obliczyć \\(2x_1 + x_2\\) bez wyznaczania \\(x_2\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(x_1 < x_2\\) jest kluczowy! Gdybyśmy pomylili kolejność i wzięli \\(x_1 = 2, x_2 = -12\\), to \\(2x_1 + x_2 = 4 + (-12) = -8\\) - zupełnie inny wynik.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładzie na czynniki szukamy liczb dających sumę równą współczynnikowi przy \\(x\\) i iloczyn równy wyrazowi wolnemu. Tu łatwo wziąć odwrotnie i szukać iloczynu 10 zamiast sumy.
\n
⚠️ Uwaga: Sprytna obserwacja z Sposobu 2 - zamiast liczyć \\(2x_1 + x_2\\) wprost, przekształć:
\\[2x_1 + x_2 = x_1 + (x_1 + x_2)\\]
i skorzystaj od razu z sumy Viète'a \\(x_1 + x_2 = -10\\). Szybciej i mniej obliczeń!
\n

Poprawna odpowiedź: A - \\(2x_{1}+x_{2}=-22\\).

\n
Sposób 1 - Wzór kwadratowy
\n

\\(\\Delta=10^{2}-4\\cdot 1\\cdot(-24)=100+96=196\\); \\(\\sqrt{\\Delta}=14\\).
\\[x_{1,2}=\\dfrac{-10\\pm 14}{2}.\\]
Stąd \\(x_{1}=\\dfrac{-10-14}{2}=-12\\), \\(x_{2}=\\dfrac{-10+14}{2}=2\\).

\n

Zatem \\(2x_{1}+x_{2}=2\\cdot(-12)+2=-24+2=-22\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

\\(x_{1}+x_{2}=-10\\), \\(x_{1}\\cdot x_{2}=-24\\). Szukamy dwóch liczb o sumie \\(-10\\) i iloczynie \\(-24\\): to \\(-12\\) i \\(2\\).
Poniewaz \\(x_{1}<x_{2}\\), mamy \\(x_{1}=-12\\), \\(x_{2}=2\\).

\n
Weryfikacja
\n

\\((-12)^{2}+10\\cdot(-12)-24=144-120-24=0\\) ✓.
\\(2^{2}+10\\cdot 2-24=4+20-24=0\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}