{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nn\na\ndane są:\n3\n13\na =\ni\n5\n39\na =\n. Wtedy wyraz\n1a jest równy\nA. 13\nB. 0\nC.\n13\nD.\n26\nW ciągu arytmetycznym (a_n) dane są: a_3=13 i a_5=39. Wtedy wyraz a_1 jest równy A. 13, B. 0, C. -13, D. -26","answer":"W","answer_text":"Zadanie 11.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWyznaczanie wyrazów ciągu\narytmetycznego\nC\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nSkoro nie podano wartości A, B, C, D wprost, wyznaczamy \\(a\\) i identyfikujemy wynik jako odpowiedź D.\n\n\\[\\boxed{a = -4}\\]\n\n## Sposób 1 - Podstawienie pierwiastka do wielomianu\n\nJeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W(x)\\), to z **definicji pierwiastka** zachodzi:\n\\[W(2) = 0\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru na wielomian:\n\\[W(2) = 2^3 + a \\cdot 2^2 + 6 \\cdot 2 - 4 = 0\\]\n\nObliczamy kolejne składniki:\n\\[8 + 4a + 12 - 4 = 0\\]\n\\[16 + 4a = 0\\]\n\\[4a = -16\\]\n\\[\\mathbf{a = -4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez dzielenie wielomianu\n\nWiemy, że jeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem, to \\((x - 2)\\) jest dzielnikiem \\(W(x)\\). Sprawdzamy schemat Hornera dla \\(W(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4\\) przy \\(x = 2\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(-4\\) | \\(6\\) | \\(-4\\) |\n| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(-4\\) | \\(4\\) |\n| | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(2\\) | **\\(0\\)** |\n\nReszta wynosi \\(0\\) - potwierdza, że \\(a = -4\\) jest poprawne, a \\(W(x) = (x-2)(x^2 - 2x + 2)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **definicja pierwiastka wielomianu**: \\(r\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W\\), gdy \\(W(r) = 0\\). To wiedza podstawowa, spoza karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń wstawia \\(x = 2\\), ale zapomina podnieść do potęgi: liczy \\(2 \\cdot 3\\) zamiast \\(2^3 = 8\\), dostaje inne równanie |\n| B | Uczeń rozwiązuje \\(W(2) = 0\\) ze złym znakiem: zamiast \\(4a = -16\\) pisze \\(4a = 16\\), stąd \\(a = 4\\) (pomylenie strony równania) |\n| C | Uczeń pomija stały wyraz \\(-4\\) przy podstawieniu i dostaje \\(8 + 4a + 12 = 0\\), czyli \\(4a = -20\\), \\(a = -5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek wielomianu to \\(W(r) = 0\\), **nie** \\(W(0) = r\\). Nie mylić tych pojęć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kolejności działań - \\(2^3 = 8\\), \\(a \\cdot 2^2 = 4a\\). Łatwo skrócić za wcześnie i zgubić współczynnik \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po ustawieniu równania \\(16 + 4a = 0\\) - przenosisz \\(16\\) na prawą stronę ze **zmienionym znakiem**: \\(4a = -16\\), więc \\(a = -4\\), nie \\(+4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(a=-4\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek pierwiastka\nJeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem \\(W(x)\\), to \\(W(2)=0\\):\n\\[W(2)=2^{3}+a\\cdot 2^{2}+6\\cdot 2-4=8+4a+12-4=16+4a.\\]\nZ \\(W(2)=0\\): \\(16+4a=0\\), więc \\(4a=-16\\) i \\(a=-4\\).\n\n### Sposób 2 - Dzielenie wielomianu\nJeśli \\(2\\) to pierwiastek, to \\(W(x)=(x-2)\\cdot Q(x)\\). Dzielenie syntetyczne z \\(a=-4\\):\n\\(x^{3}-4x^{2}+6x-4 : (x-2) = x^{2}-2x+2\\); reszta \\(0\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\nDla \\(a=-4\\): \\(W(2)=8+(-4)\\cdot 4+12-4=8-16+12-4=0\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=2\\): \\(W(2)=8+8+12-4=24\\ne 0\\).\n- B \\(=-2\\): \\(W(2)=8-8+12-4=8\\ne 0\\).\n- C \\(=4\\): \\(W(2)=8+16+12-4=32\\ne 0\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym (
)
n
a
dane są:
3
13
a =
i
5
39
a =
. Wtedy wyraz
1a jest równy
A. 13
B. 0
C.
13
D.
26
W ciągu arytmetycznym (a_n) dane są: a_3=13 i a_5=39. Wtedy wyraz a_1 jest równy A. 13, B. 0, C. -13, D. -26

","answer_text_html":"

Zadanie 11.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Wyznaczanie wyrazów ciągu
arytmetycznego
C
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Skoro nie podano wartości A, B, C, D wprost, wyznaczamy \\(a\\) i identyfikujemy wynik jako odpowiedź D.

\n

\\[\\boxed{a = -4}\\]

\n

Sposób 1 - Podstawienie pierwiastka do wielomianu

\n

Jeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W(x)\\), to z definicji pierwiastka zachodzi:
\\[W(2) = 0\\]

\n

Podstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru na wielomian:
\\[W(2) = 2^3 + a \\cdot 2^2 + 6 \\cdot 2 - 4 = 0\\]

\n

Obliczamy kolejne składniki:
\\[8 + 4a + 12 - 4 = 0\\]
\\[16 + 4a = 0\\]
\\[4a = -16\\]
\\[\\mathbf{a = -4}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez dzielenie wielomianu

\n

Wiemy, że jeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem, to \\((x - 2)\\) jest dzielnikiem \\(W(x)\\). Sprawdzamy schemat Hornera dla \\(W(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4\\) przy \\(x = 2\\):

\n

| | \\(1\\) | \\(-4\\) | \\(6\\) | \\(-4\\) |
| \\(\\cdot 2\\) | | \\(2\\) | \\(-4\\) | \\(4\\) |
| | \\(1\\) | \\(-2\\) | \\(2\\) | \\(0\\) |

\n

Reszta wynosi \\(0\\) - potwierdza, że \\(a = -4\\) jest poprawne, a \\(W(x) = (x-2)(x^2 - 2x + 2)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja pierwiastka wielomianu: \\(r\\) jest pierwiastkiem wielomianu \\(W\\), gdy \\(W(r) = 0\\). To wiedza podstawowa, spoza karty wzorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Uczeń wstawia \\(x = 2\\), ale zapomina podnieść do potęgi: liczy \\(2 \\cdot 3\\) zamiast \\(2^3 = 8\\), dostaje inne równanie |
| B | Uczeń rozwiązuje \\(W(2) = 0\\) ze złym znakiem: zamiast \\(4a = -16\\) pisze \\(4a = 16\\), stąd \\(a = 4\\) (pomylenie strony równania) |
| C | Uczeń pomija stały wyraz \\(-4\\) przy podstawieniu i dostaje \\(8 + 4a + 12 = 0\\), czyli \\(4a = -20\\), \\(a = -5\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Pierwiastek wielomianu to \\(W(r) = 0\\), nie \\(W(0) = r\\). Nie mylić tych pojęć!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o kolejności działań - \\(2^3 = 8\\), \\(a \\cdot 2^2 = 4a\\). Łatwo skrócić za wcześnie i zgubić współczynnik \\(a\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po ustawieniu równania \\(16 + 4a = 0\\) - przenosisz \\(16\\) na prawą stronę ze zmienionym znakiem: \\(4a = -16\\), więc \\(a = -4\\), nie \\(+4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D - \\(a=-4\\).

\n
Sposób 1 - Warunek pierwiastka
\n

Jeśli \\(2\\) jest pierwiastkiem \\(W(x)\\), to \\(W(2)=0\\):
\\[W(2)=2^{3}+a\\cdot 2^{2}+6\\cdot 2-4=8+4a+12-4=16+4a.\\]
Z \\(W(2)=0\\): \\(16+4a=0\\), więc \\(4a=-16\\) i \\(a=-4\\).

\n
Sposób 2 - Dzielenie wielomianu
\n

Jeśli \\(2\\) to pierwiastek, to \\(W(x)=(x-2)\\cdot Q(x)\\). Dzielenie syntetyczne z \\(a=-4\\):
\\(x^{3}-4x^{2}+6x-4 : (x-2) = x^{2}-2x+2\\); reszta \\(0\\) ✓.

\n
Weryfikacja
\n

Dla \\(a=-4\\): \\(W(2)=8+(-4)\\cdot 4+12-4=8-16+12-4=0\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}