{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW ciągu geometrycznym (\n)\nn\na\ndane są:\n1\n3\na = i\n4\n24\na =\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA. 8\nB. 2\nC. 1\n8\nD.\n1\n2\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nW ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a_1=3 i a_4=24. Iloraz tego ciągu jest równy A. 8, B. 2, C. 1/8, D. -1/2","answer":"W","answer_text":"Zadanie 12.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWyznaczanie wyrazów ciągu\ngeometrycznego\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 1\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek funkcji stałej (zerowanie współczynnika kierunkowego)\n\nFunkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\), gdzie \\(a\\) to **współczynnik kierunkowy**, a \\(b\\) to wyraz wolny.\n\nFunkcja jest **stała** (pozioma prosta), gdy nie zależy od \\(x\\), czyli gdy:\n\\[a = 0\\]\n\nW naszym przypadku \\(f(x) = (m-1)x + 3\\), więc współczynnik kierunkowy to \\((m-1)\\).\n\nPrzyrównujemy go do zera:\n\\[m - 1 = 0\\]\n\\[m = 1\\]\n\n**Sprawdzenie:** Po podstawieniu \\(m = 1\\):\n\\[f(x) = (1-1)x + 3 = 0 \\cdot x + 3 = 3\\]\n\nRzeczywiście - \\(f(x) = 3\\) dla każdego \\(x\\). To funkcja stała. ✓\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie przez definicję funkcji stałej\n\nFunkcja stała to taka, dla której \\(f(x_1) = f(x_2)\\) dla wszystkich \\(x_1, x_2\\).\n\nWeźmy dwa różne argumenty, np. \\(x = 0\\) i \\(x = 1\\):\n\\[f(0) = (m-1) \\cdot 0 + 3 = 3\\]\n\\[f(1) = (m-1) \\cdot 1 + 3 = m + 2\\]\n\nŻeby \\(f(0) = f(1)\\):\n\\[3 = m + 2\\]\n\\[m = 1\\]\n\nTen sam wynik - **\\(m = 1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek na funkcję stałą (współczynnik kierunkowy równy zero).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń przyjął \\(m - 1 = 1\\), czyli szukał funkcji o współczynniku \\(1\\) zamiast \\(0\\) → \\(m = 2\\) |\n| C | Uczeń przyrównał wyraz wolny do zera: \\(3 = 0\\) - niemożliwe, lub pomylił warunek stałości z warunkiem zerowym |\n| D | Uczeń wziął \\(m = 0\\), wtedy \\(f(x) = -x + 3\\) - to funkcja malejąca, nie stała |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(f(x) = 0 \\cdot x + 3\\) jest stała - ale to NIE jest \"funkcja liniowa\" w węższym sensie (bo brakuje liniowości). Na maturze jednak wzór \\(f(x) = ax + b\\) z \\(a = 0\\) traktujemy właśnie jako przypadek graniczny - stałą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"funkcja stała\" (\\(a = 0\\)) z \"funkcja zerowa\" (\\(f(x) = 0\\), czyli \\(a = 0\\) i \\(b = 0\\)). Tu \\(b = 3 \\neq 0\\), więc funkcja jest stała, ale nie zerowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek stałości dotyczy **współczynnika przy \\(x\\)**, nie wyrazu wolnego. Błędem jest zerowanie \\(b\\) zamiast \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(m=1\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek stałości funkcji liniowej\nFunkcja liniowa \\(f(x)=ax+b\\) jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a=0\\). W naszym przypadku \\(a=m-1\\), więc:\n\\[m-1=0 \\implies m=1.\\]\n\nWtedy \\(f(x)=0\\cdot x+3=3\\) - funkcja stała.\n\n### Sposób 2 - Analiza wzoru\nFunkcja stała ma postać \\(f(x)=c\\). Aby nasza funkcja była stała, współczynnik przy \\(x\\) musi zniknąć. Współczynnik to \\((m-1)\\), więc \\(m-1=0\\), czyli \\(m=1\\).\n\n### Weryfikacja\nDla \\(m=1\\): \\(f(x)=0\\cdot x+3=3\\) - dla dowolnego \\(x\\) wartość to \\(3\\) - funkcja stała ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(=2\\): \\(f(x)=x+3\\) - rosnąca (\\(a=1\\)).\n- C \\(=3\\): \\(f(x)=2x+3\\) - rosnąca.\n- D \\(=-1\\): \\(f(x)=-2x+3\\) - malejąca.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
W ciągu geometrycznym (
)
n
a
dane są:
1
3
a = i
4
24
a =
. Iloraz tego ciągu jest równy
A. 8
B. 2
C. 1
8
D.
1
2

\n

Poziom podstawowy
5
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
6
W ciągu geometrycznym (a_n) dane są: a_1=3 i a_4=24. Iloraz tego ciągu jest równy A. 8, B. 2, C. 1/8, D. -1/2

","answer_text_html":"

Zadanie 12.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Wyznaczanie wyrazów ciągu
geometrycznego
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 1\\))

\n

Sposób 1 - Warunek funkcji stałej (zerowanie współczynnika kierunkowego)

\n

Funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\), gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy, a \\(b\\) to wyraz wolny.

\n

Funkcja jest stała (pozioma prosta), gdy nie zależy od \\(x\\), czyli gdy:
\\[a = 0\\]

\n

W naszym przypadku \\(f(x) = (m-1)x + 3\\), więc współczynnik kierunkowy to \\((m-1)\\).

\n

Przyrównujemy go do zera:
\\[m - 1 = 0\\]
\\[m = 1\\]

\n

Sprawdzenie: Po podstawieniu \\(m = 1\\):
\\[f(x) = (1-1)x + 3 = 0 \\cdot x + 3 = 3\\]

\n

Rzeczywiście - \\(f(x) = 3\\) dla każdego \\(x\\). To funkcja stała. ✓

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie przez definicję funkcji stałej

\n

Funkcja stała to taka, dla której \\(f(x_1) = f(x_2)\\) dla wszystkich \\(x_1, x_2\\).

\n

Weźmy dwa różne argumenty, np. \\(x = 0\\) i \\(x = 1\\):
\\[f(0) = (m-1) \\cdot 0 + 3 = 3\\]
\\[f(1) = (m-1) \\cdot 1 + 3 = m + 2\\]

\n

Żeby \\(f(0) = f(1)\\):
\\[3 = m + 2\\]
\\[m = 1\\]

\n

Ten sam wynik - \\(m = 1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek na funkcję stałą (współczynnik kierunkowy równy zero).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Uczeń przyjął \\(m - 1 = 1\\), czyli szukał funkcji o współczynniku \\(1\\) zamiast \\(0\\) → \\(m = 2\\) |
| C | Uczeń przyrównał wyraz wolny do zera: \\(3 = 0\\) - niemożliwe, lub pomylił warunek stałości z warunkiem zerowym |
| D | Uczeń wziął \\(m = 0\\), wtedy \\(f(x) = -x + 3\\) - to funkcja malejąca, nie stała |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Funkcja \\(f(x) = 0 \\cdot x + 3\\) jest stała - ale to NIE jest "funkcja liniowa" w węższym sensie (bo brakuje liniowości). Na maturze jednak wzór \\(f(x) = ax + b\\) z \\(a = 0\\) traktujemy właśnie jako przypadek graniczny - stałą.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić "funkcja stała" (\\(a = 0\\)) z "funkcja zerowa" (\\(f(x) = 0\\), czyli \\(a = 0\\) i \\(b = 0\\)). Tu \\(b = 3 \\neq 0\\), więc funkcja jest stała, ale nie zerowa.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek stałości dotyczy współczynnika przy \\(x\\), nie wyrazu wolnego. Błędem jest zerowanie \\(b\\) zamiast \\(a\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A - \\(m=1\\).

\n
Sposób 1 - Warunek stałości funkcji liniowej
\n

Funkcja liniowa \\(f(x)=ax+b\\) jest stała wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a=0\\). W naszym przypadku \\(a=m-1\\), więc:
\\[m-1=0 \\implies m=1.\\]

\n

Wtedy \\(f(x)=0\\cdot x+3=3\\) - funkcja stała.

\n
Sposób 2 - Analiza wzoru
\n

Funkcja stała ma postać \\(f(x)=c\\). Aby nasza funkcja była stała, współczynnik przy \\(x\\) musi zniknąć. Współczynnik to \\((m-1)\\), więc \\(m-1=0\\), czyli \\(m=1\\).

\n
Weryfikacja
\n

Dla \\(m=1\\): \\(f(x)=0\\cdot x+3=3\\) - dla dowolnego \\(x\\) wartość to \\(3\\) - funkcja stała ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}