{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nLiczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa\nA. 7\nB. 14\nC. 21\nD. 28\nLiczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa A. 7, B. 14, C. 21, D. 28","answer":"W","answer_text":"Zadanie 13.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczania liczby przekątnych\nwielokąta\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiór rozwiązań to \\(x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\), czyli \\(x \\leq -3\\) lub \\(x \\geq 2\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** lewej strony nierówności:\n\\[(x-2)(x+3) = 0\\]\n\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2\\]\n\\[x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]\n\nLiczby \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Sprawdzamy znak iloczynu w każdym z nich:\n\n| Przedział | \\((x-2)\\) | \\((x+3)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -3\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-3 < x < 2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 2\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nSzukamy miejsc, gdzie iloczyn jest **nieujemny** (czyli \\(\\geq 0\\)), więc zaznaczamy ✓.\n\n**Wynik:**\n\\[x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja funkcji kwadratowej (metoda paraboli)\n\nRozwijamy nawias, by zobaczyć postać trójmianu:\n\\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\\]\n\nJest to funkcja kwadratowa \\(f(x) = x^2 + x - 6\\) z **dodatnim współczynnikiem** \\(a = 1 > 0\\) - parabola ma ramiona skierowane **ku górze** (otwarta ku górze).\n\nMiejsca zerowe to \\(x_1 = -3\\) i \\(x_2 = 2\\) (wyliczone jak w Sposobie 1).\n\nParabola otwarta ku górze jest:\n- **nad osią \\(Ox\\)** (wartości dodatnie) na zewnątrz miejsc zerowych: \\(x < -3\\) i \\(x > 2\\)\n- **na osi \\(Ox\\)** (wartości zerowe) dokładnie w \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\)\n- **pod osią \\(Ox\\)** (wartości ujemne) między miejscami zerowymi: \\(-3 < x < 2\\)\n\nSzukamy \\(f(x) \\geq 0\\), czyli parabola nad osią lub na osi:\n\\[x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy tego do odczytania miejsc zerowych wprost z zapisu \\((x-2)(x+3)\\) bez rozwijania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowa wartość | Błąd |\n| A | \\(x \\in \\langle -3, 2 \\rangle\\) | Uczeń szuka, gdzie iloczyn jest ujemny zamiast nieujemny - **odwraca sens nierówności** |\n| B | \\(x \\in (-\\infty, -3) \\cup (2, +\\infty)\\) | Poprawny kierunek, ale **pominięto punkty zerowe** \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) - nierówność jest \\(\\geq 0\\), więc granice należą do rozwiązania |\n| D | \\(x \\in (-3, 2)\\) | Podwójny błąd: zły kierunek **i** brak granic (otwarte przedziały) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\geq 0\\) oznacza, że miejsca zerowe (\\(x = -3\\) i \\(x = 2\\)) **należą** do rozwiązania - stosujemy nawiasy domknięte \\(\\langle \\rangle\\). Gdyby było \\(> 0\\), wykluczamy je.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta ku górze (\\(a > 0\\)) jest nieujemna **na zewnątrz** miejsc zerowych. Uczniowie często mylą to z odcinkiem **między** miejscami zerowymi - to błąd zamiany \"większy\" na \"mniejszy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba rozwijać iloczynu do postaci \\(x^2 + x - 6\\)! Postać iloczynowa od razu daje miejsca zerowe - zaoszczędź czas na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\((-\\infty,-3\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Wykres paraboli\nFunkcja \\(f(x)=(x-2)(x+3)\\) to parabola o ramionach skierowanych w górę z pierwiastkami \\(x=-3\\) i \\(x=2\\). Nierówność \\(f(x)\\geq 0\\) jest spełniona poza przedziałem pierwiastków (włącznie z końcami).\nStąd \\(x\\leq -3\\) lub \\(x\\geq 2\\), czyli \\(x\\in(-\\infty,-3\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza znaków\n\\begin{array}{|c|c|c|c|}\\hline & x<-3 & -32 \\\\\\hline x-2 & - & - & + \\\\ x+3 & - & + & + \\\\ (x-2)(x+3) & + & - & + \\\\\\hline\\end{array}\nNierówność \\(\\geq 0\\) spełniona dla \\(x\\leq -3\\) lub \\(x\\geq 2\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=3\\): \\((3-2)(3+3)=6\\geq 0\\) ✓.\n- \\(x=-4\\): \\((-4-2)(-4+3)=(-6)(-1)=6\\geq 0\\) ✓.\n- \\(x=0\\): \\((0-2)(0+3)=-6<0\\) - poza zbiorem.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A i B: to zbiory dla nierówności \\(\\leq 0\\) (wnętrze przedziału).\n- D: zamieniono końce \\(-3\\) i \\(2\\) na \\(-2\\) i \\(3\\) - błąd odczytu pierwiastków.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa
A. 7
B. 14
C. 21
D. 28
Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa A. 7, B. 14, C. 21, D. 28

","answer_text_html":"

Zadanie 13.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczania liczby przekątnych
wielokąta
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Zbiór rozwiązań to \\(x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\), czyli \\(x \\leq -3\\) lub \\(x \\geq 2\\).

\n

Sposób 1 - Analiza znaku iloczynu (metoda tabelki)

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe lewej strony nierówności:
\\[(x-2)(x+3) = 0\\]
\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2\\]
\\[x + 3 = 0 \\implies x = -3\\]

\n

Liczby \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Sprawdzamy znak iloczynu w każdym z nich:

\n

| Przedział | \\((x-2)\\) | \\((x+3)\\) | Iloczyn |
| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = -3\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-3 < x < 2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x = 2\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Szukamy miejsc, gdzie iloczyn jest nieujemny (czyli \\(\\geq 0\\)), więc zaznaczamy ✓.

\n

Wynik:
\\[x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\]

\n

Sposób 2 - Interpretacja funkcji kwadratowej (metoda paraboli)

\n

Rozwijamy nawias, by zobaczyć postać trójmianu:
\\[(x-2)(x+3) = x^2 + x - 6\\]

\n

Jest to funkcja kwadratowa \\(f(x) = x^2 + x - 6\\) z dodatnim współczynnikiem \\(a = 1 > 0\\) - parabola ma ramiona skierowane ku górze (otwarta ku górze).

\n

Miejsca zerowe to \\(x_1 = -3\\) i \\(x_2 = 2\\) (wyliczone jak w Sposobie 1).

\n

Parabola otwarta ku górze jest:

\n\n

Szukamy \\(f(x) \\geq 0\\), czyli parabola nad osią lub na osi:
\\[x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyliśmy tego do odczytania miejsc zerowych wprost z zapisu \\((x-2)(x+3)\\) bez rozwijania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowa wartość | Błąd |
| A | \\(x \\in \\langle -3, 2 \\rangle\\) | Uczeń szuka, gdzie iloczyn jest ujemny zamiast nieujemny - odwraca sens nierówności |
| B | \\(x \\in (-\\infty, -3) \\cup (2, +\\infty)\\) | Poprawny kierunek, ale pominięto punkty zerowe \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) - nierówność jest \\(\\geq 0\\), więc granice należą do rozwiązania |
| D | \\(x \\in (-3, 2)\\) | Podwójny błąd: zły kierunek i brak granic (otwarte przedziały) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nierówność \\(\\geq 0\\) oznacza, że miejsca zerowe (\\(x = -3\\) i \\(x = 2\\)) należą do rozwiązania - stosujemy nawiasy domknięte \\(\\langle \\rangle\\). Gdyby było \\(> 0\\), wykluczamy je.
\n
⚠️ Uwaga: Parabola otwarta ku górze (\\(a > 0\\)) jest nieujemna na zewnątrz miejsc zerowych. Uczniowie często mylą to z odcinkiem między miejscami zerowymi - to błąd zamiany "większy" na "mniejszy".
\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba rozwijać iloczynu do postaci \\(x^2 + x - 6\\)! Postać iloczynowa od razu daje miejsca zerowe - zaoszczędź czas na egzaminie.
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\((-\\infty,-3\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).

\n
Sposób 1 - Wykres paraboli
\n

Funkcja \\(f(x)=(x-2)(x+3)\\) to parabola o ramionach skierowanych w górę z pierwiastkami \\(x=-3\\) i \\(x=2\\). Nierówność \\(f(x)\\geq 0\\) jest spełniona poza przedziałem pierwiastków (włącznie z końcami).
Stąd \\(x\\leq -3\\) lub \\(x\\geq 2\\), czyli \\(x\\in(-\\infty,-3\\rangle\\cup\\langle 2,+\\infty)\\).

\n
Sposób 2 - Analiza znaków
\n

\\begin{array}{|c|c|c|c|}\\hline & x<-3 & -3<x<2 & x>2 \\\\\\hline x-2 & - & - & + \\\\ x+3 & - & + & + \\\\ (x-2)(x+3) & + & - & + \\\\\\hline\\end{array}
Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona dla \\(x\\leq -3\\) lub \\(x\\geq 2\\).

\n
Weryfikacja
\n\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}