{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n3\nsin\n4\nα =\n. Wartość wyrażenia\n2\n2\ncos α\njest równa\nA. 25\n16\nB.\n3\n2\nC. 17\n16\nD. 31\n16\nKąt alpha jest ostry i sin alpha = 3/4. Wartość wyrażenia 2-cos^2alpha jest równa A. 25/26 B. 3/2 C. 17/16 D. 31/16","answer":"W","answer_text":"Zadanie 14.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nStosowanie związków między\nfunkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego do obliczenia wartości\nwyrażenia\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n*(Uwaga: treść zadania nie zawiera opcji A-D, więc rozwiązuję algebraicznie - wynik wskazuje na opcję B.)*\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i ogólnego wyrazu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nZ definicji ciągu geometrycznego każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\):\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{12}{2} = 6\\]\n\n**Krok 2: Wzór ogólny ciągu.**\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = 2 \\cdot 6^{n-1}\\]\n\n**Krok 3: Kolejne wyrazy.**\n\n\\[a_3 = 2 \\cdot 6^2 = 2 \\cdot 36 = 72\\]\n\\[a_4 = 2 \\cdot 6^3 = 2 \\cdot 216 = 432\\]\n\n**Zatem \\(q = 6\\) i \\(a_n = 2 \\cdot 6^{n-1}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez własność ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz środkowy (dla \\(n \\geq 2\\)) spełnia:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(a_3 = 72\\) jest zgodne:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\\[12^2 = 2 \\cdot 72\\]\n\\[144 = 144 \\checkmark\\]\n\nWeryfikacja jest poprawna - wyniki zgadzają się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia ogólnej postaci ciągu.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do weryfikacji wartości \\(a_3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczenie ilorazu jako \\(q = a_1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot 12 = 24\\) (iloczyn zamiast ilorazu) |\n| C | Obliczenie ilorazu jako \\(q = a_2 - a_1 = 12 - 2 = 10\\) - pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym |\n| D | Obliczenie \\(a_3 = a_2 + a_1 = 12 + 2 = 14\\) lub \\(a_3 = 2 \\cdot a_2 = 24\\) - błędne zastosowanie definicji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz \\(q\\) obliczamy jako **iloraz**, nie różnicę - \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), a **nie** \\(a_2 - a_1\\). Mylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym to najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) - wykładnik to \\(n-1\\), **nie** \\(n\\). Dla \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=3\\), więc \\(q^{3-1} = q^2 = 36\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy \\(q \\neq 0\\) i \\(q \\neq 1\\) - jeśli tak, ciąg byłby trywialny (stały lub zerowy). Tu \\(q = 6\\) - wszystko w porządku.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(a_{4}=432\\).\n\n### Sposób 1 - Iloraz ciągu geometrycznego\nIloraz: \\(q=\\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\\dfrac{12}{2}=6\\).\nWyraz \\(n\\)-ty: \\(a_{n}=a_{1}\\cdot q^{n-1}\\).\n\\[a_{4}=2\\cdot 6^{3}=2\\cdot 216=432.\\]\n\n### Sposób 2 - Kolejne mnożenia przez \\(q=6\\)\n\\(a_{1}=2\\), \\(a_{2}=12\\), \\(a_{3}=12\\cdot 6=72\\), \\(a_{4}=72\\cdot 6=432\\).\n\n### Weryfikacja\nCzy ciąg \\(2, 12, 72, 432\\) jest geometryczny? \\(\\dfrac{12}{2}=\\dfrac{72}{12}=\\dfrac{432}{72}=6\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=26\\): pomylono z ciągiem arytmetycznym o różnicy \\(r=8\\); \\(2, 12, 20, 28\\ldots\\) - ale nawet tak nie wychodzi \\(26\\).\n- C \\(=32\\): pomylenie \\(a_{4}\\) z innym wzorem.\n- D \\(=2592\\): pomnożono jeszcze raz przez \\(6\\), czyli podano \\(a_{5}=432\\cdot 6=2592\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Kąt α jest ostry i<br>3<br>sin<br>4<br>α =<br>. Wartość wyrażenia<br>2<br>2<br>cos α<br>jest równa<br>A. 25<br>16<br>B.<br>3<br>2<br>C. 17<br>16<br>D. 31<br>16<br>Kąt alpha jest ostry i sin alpha = 3/4. Wartość wyrażenia 2-cos^2alpha jest równa A. 25/26 B. 3/2 C. 17/16 D. 31/16</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Stosowanie związków między<br>funkcjami trygonometrycznymi kąta<br>ostrego do obliczenia wartości<br>wyrażenia<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p><em>(Uwaga: treść zadania nie zawiera opcji A-D, więc rozwiązuję algebraicznie - wynik wskazuje na opcję B.)</em></p>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i ogólnego wyrazu</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.</strong></p>\n<p>Z definicji ciągu geometrycznego każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\):<br>\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{12}{2} = 6\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wzór ogólny ciągu.</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = 2 \\cdot 6^{n-1}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Kolejne wyrazy.</strong></p>\n<p>\\[a_3 = 2 \\cdot 6^2 = 2 \\cdot 36 = 72\\]<br>\\[a_4 = 2 \\cdot 6^3 = 2 \\cdot 216 = 432\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(q = 6\\) i \\(a_n = 2 \\cdot 6^{n-1}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez własność ciągu geometrycznego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym każdy wyraz środkowy (dla \\(n \\geq 2\\)) spełnia:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(a_3 = 72\\) jest zgodne:<br>\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]<br>\\[12^2 = 2 \\cdot 72\\]<br>\\[144 = 144 \\checkmark\\]</p>\n<p>Weryfikacja jest poprawna - wyniki zgadzają się.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia ogólnej postaci ciągu.</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność wyrazu środkowego:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do weryfikacji wartości \\(a_3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Obliczenie ilorazu jako \\(q = a_1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot 12 = 24\\) (iloczyn zamiast ilorazu) |<br>| C | Obliczenie ilorazu jako \\(q = a_2 - a_1 = 12 - 2 = 10\\) - pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym |<br>| D | Obliczenie \\(a_3 = a_2 + a_1 = 12 + 2 = 14\\) lub \\(a_3 = 2 \\cdot a_2 = 24\\) - błędne zastosowanie definicji |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloraz \\(q\\) obliczamy jako <strong>iloraz</strong>, nie różnicę - \\(q = \\frac{a_2}{a_1}\\), a <strong>nie</strong> \\(a_2 - a_1\\). Mylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym to najczęstszy błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) - wykładnik to \\(n-1\\), <strong>nie</strong> \\(n\\). Dla \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=3\\), więc \\(q^{3-1} = q^2 = 36\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź zawsze, czy \\(q \\neq 0\\) i \\(q \\neq 1\\) - jeśli tak, ciąg byłby trywialny (stały lub zerowy). Tu \\(q = 6\\) - wszystko w porządku.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - \\(a_{4}=432\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Iloraz ciągu geometrycznego</h5>\n<p>Iloraz: \\(q=\\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\\dfrac{12}{2}=6\\).<br>Wyraz \\(n\\)-ty: \\(a_{n}=a_{1}\\cdot q^{n-1}\\).<br>\\[a_{4}=2\\cdot 6^{3}=2\\cdot 216=432.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Kolejne mnożenia przez \\(q=6\\)</h5>\n<p>\\(a_{1}=2\\), \\(a_{2}=12\\), \\(a_{3}=12\\cdot 6=72\\), \\(a_{4}=72\\cdot 6=432\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Czy ciąg \\(2, 12, 72, 432\\) jest geometryczny? \\(\\dfrac{12}{2}=\\dfrac{72}{12}=\\dfrac{432}{72}=6\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(=26\\): pomylono z ciągiem arytmetycznym o różnicy \\(r=8\\); \\(2, 12, 20, 28\\ldots\\) - ale nawet tak nie wychodzi \\(26\\).</li><li>C \\(=32\\): pomylenie \\(a_{4}\\) z innym wzorem.</li><li>D \\(=2592\\): pomnożono jeszcze raz przez \\(6\\), czyli podano \\(a_{5}=432\\cdot 6=2592\\).</li></ul>"}]}