{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nOkrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa\nA. 4 2\nB. 2 2\nC. 8\nD. 4\nOkrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa A. 4 pierwiastki z 2, B. 2 pierwiastki z 2, C. 8, D. 4","answer":"W","answer_text":"Zadanie 15.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWyznaczanie długości boku kwadratu\nwpisanego w okrąg\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(S_{20} = 100\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz\n\nBezpośrednio korzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nMamy dane: \\(a_1 = 3\\), \\(a_{20} = 7\\), \\(n = 20\\).\n\nPodstawiamy wprost:\n\n\\[S_{20} = \\frac{a_1 + a_{20}}{2} \\cdot 20\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{3 + 7}{2} \\cdot 20\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{10}{2} \\cdot 20 = 5 \\cdot 20\\]\n\n\\[\\boxed{S_{20} = 100}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez różnicę ciągu\n\nNajpierw wyznaczamy różnicę \\(r\\), używając wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nDla \\(n = 20\\):\n\n\\[a_{20} = a_1 + 19r\\]\n\n\\[7 = 3 + 19r \\implies 19r = 4 \\implies r = \\frac{4}{19}\\]\n\nTeraz korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{2 \\cdot 3 + 19 \\cdot \\frac{4}{19}}{2} \\cdot 20\\]\n\n\\[S_{20} = \\frac{6 + 4}{2} \\cdot 20 = \\frac{10}{2} \\cdot 20 = \\boxed{100}\\]\n\nWynik zgodny - **Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy** w tego typu zadaniach, bo nie trzeba liczyć \\(r\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - bezpośrednio z \\(a_1\\) i \\(a_{20}\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia różnicy \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Dodano \\(a_1 + a_{20} = 3 + 7 = 10\\) - zapomniano o \\(\\cdot n\\) i \\(\\div 2\\) |\n| B | Wzięto \\(S_{20} = a_1 \\cdot n = 3 \\cdot 20 = 60\\) - użyto wzoru dla ciągu geometrycznego lub po prostu przemnożono pierwszy wyraz |\n| C | Policzono \\(S_{20} = \\frac{a_1 + a_{20}}{2} \\cdot 10 = 50\\) - pomylono \\(n = 20\\) z \\(n = 10\\) (wzięto połowę) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) to średnia dwóch skrajnych wyrazów razy **liczba wyrazów** - łatwo zapomnieć o mnożeniu przez \\(n\\) i zatrzymać się na \\(\\frac{a_1 + a_n}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba znać różnicy \\(r\\), żeby policzyć sumę - wystarczy pierwszy i ostatni wyraz! Jeśli zadanie podaje \\(a_1\\) i \\(a_n\\), użyj krótkiego wzoru i nie trać czasu na wyznaczanie \\(r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma \\(S_{20}\\) zawiera \\(20\\) wyrazów: od \\(a_1\\) do \\(a_{20}\\) włącznie. Niektórzy błędnie myślą, że indeks 20 oznacza 19 wyrazów (liczą \"odstępy\", nie wyrazy).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(S_{20}=100\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\\[S_{n}=\\dfrac{(a_{1}+a_{n})\\cdot n}{2}.\\]\n\\[S_{20}=\\dfrac{(3+7)\\cdot 20}{2}=\\dfrac{10\\cdot 20}{2}=\\dfrac{200}{2}=100.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie różnicy i suma\nZ \\(a_{20}=a_{1}+19r\\): \\(7=3+19r\\Rightarrow r=\\dfrac{4}{19}\\).\n\\(S_{20}=20a_{1}+\\dfrac{20\\cdot 19}{2}r=60+190\\cdot\\dfrac{4}{19}=60+40=100\\).\n\n### Weryfikacja\nŚrednia wyrazów: \\(\\dfrac{a_{1}+a_{20}}{2}=\\dfrac{3+7}{2}=5\\). Suma = średnia × liczba wyrazów = \\(5\\cdot 20=100\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=95\\): \\(S_{19}\\) (pominięto ostatni wyraz).\n- B \\(=200\\): \\((3+7)\\cdot 20\\) - pominięto dzielenie przez \\(2\\).\n- C \\(=230\\): błąd w obliczeniach.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa<br>A. 4 2<br>B. 2 2<br>C. 8<br>D. 4<br>Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa A. 4 pierwiastki z 2, B. 2 pierwiastki z 2, C. 8, D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji<br>Wyznaczanie długości boku kwadratu<br>wpisanego w okrąg<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(S_{20} = 100\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz</h4>\n<p>Bezpośrednio korzystamy ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:</p>\n<p>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Mamy dane: \\(a_1 = 3\\), \\(a_{20} = 7\\), \\(n = 20\\).</p>\n<p>Podstawiamy wprost:</p>\n<p>\\[S_{20} = \\frac{a_1 + a_{20}}{2} \\cdot 20\\]</p>\n<p>\\[S_{20} = \\frac{3 + 7}{2} \\cdot 20\\]</p>\n<p>\\[S_{20} = \\frac{10}{2} \\cdot 20 = 5 \\cdot 20\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{S_{20} = 100}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez różnicę ciągu</h4>\n<p>Najpierw wyznaczamy różnicę \\(r\\), używając wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:</p>\n<p>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]</p>\n<p>Dla \\(n = 20\\):</p>\n<p>\\[a_{20} = a_1 + 19r\\]</p>\n<p>\\[7 = 3 + 19r \\implies 19r = 4 \\implies r = \\frac{4}{19}\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:</p>\n<p>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>\\[S_{20} = \\frac{2 \\cdot 3 + 19 \\cdot \\frac{4}{19}}{2} \\cdot 20\\]</p>\n<p>\\[S_{20} = \\frac{6 + 4}{2} \\cdot 20 = \\frac{10}{2} \\cdot 20 = \\boxed{100}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy</strong> w tego typu zadaniach, bo nie trzeba liczyć \\(r\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:</p>\n<p>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Użyliśmy go w Sposobie 1 - bezpośrednio z \\(a_1\\) i \\(a_{20}\\).</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz:</p>\n<p>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]</p>\n<p>Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia różnicy \\(r\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Dodano \\(a_1 + a_{20} = 3 + 7 = 10\\) - zapomniano o \\(\\cdot n\\) i \\(\\div 2\\) |<br>| B | Wzięto \\(S_{20} = a_1 \\cdot n = 3 \\cdot 20 = 60\\) - użyto wzoru dla ciągu geometrycznego lub po prostu przemnożono pierwszy wyraz |<br>| C | Policzono \\(S_{20} = \\frac{a_1 + a_{20}}{2} \\cdot 10 = 50\\) - pomylono \\(n = 20\\) z \\(n = 10\\) (wzięto połowę) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) to średnia dwóch skrajnych wyrazów razy <strong>liczba wyrazów</strong> - łatwo zapomnieć o mnożeniu przez \\(n\\) i zatrzymać się na \\(\\frac{a_1 + a_n}{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie trzeba znać różnicy \\(r\\), żeby policzyć sumę - wystarczy pierwszy i ostatni wyraz! Jeśli zadanie podaje \\(a_1\\) i \\(a_n\\), użyj krótkiego wzoru i nie trać czasu na wyznaczanie \\(r\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Suma \\(S_{20}\\) zawiera \\(20\\) wyrazów: od \\(a_1\\) do \\(a_{20}\\) włącznie. Niektórzy błędnie myślą, że indeks 20 oznacza 19 wyrazów (liczą &quot;odstępy&quot;, nie wyrazy).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong> - \\(S_{20}=100\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>\\[S_{n}=\\dfrac{(a_{1}+a_{n})\\cdot n}{2}.\\]<br>\\[S_{20}=\\dfrac{(3+7)\\cdot 20}{2}=\\dfrac{10\\cdot 20}{2}=\\dfrac{200}{2}=100.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie różnicy i suma</h5>\n<p>Z \\(a_{20}=a_{1}+19r\\): \\(7=3+19r\\Rightarrow r=\\dfrac{4}{19}\\).<br>\\(S_{20}=20a_{1}+\\dfrac{20\\cdot 19}{2}r=60+190\\cdot\\dfrac{4}{19}=60+40=100\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Średnia wyrazów: \\(\\dfrac{a_{1}+a_{20}}{2}=\\dfrac{3+7}{2}=5\\). Suma = średnia × liczba wyrazów = \\(5\\cdot 20=100\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(=95\\): \\(S_{19}\\) (pominięto ostatni wyraz).</li><li>B \\(=200\\): \\((3+7)\\cdot 20\\) - pominięto dzielenie przez \\(2\\).</li><li>C \\(=230\\): błąd w obliczeniach.</li></ul>"}]}