{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPodstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość\nopuszczona na podstawę ma długość\nA. 3\nB. 4\nC.\n34\nD.\n61\nPodstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość A. 3, B. 4, C. pierwiastek z 34, D. pierwiastek z 61","answer":"W","answer_text":"Zadanie 16.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWykorzystanie twierdzenia Pitagorasa\ndo wyznaczenia wysokości tego\ntrójkąta równoramiennego\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nW trójkącie prostokątnym o bokach \\(5\\), \\(12\\), \\(13\\) kąt \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym. Sprawdzamy: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) - zgadza się, to klasyczny trójkąt prostokątny, a \\(13\\) to **przeciwprostokątna**.\n\n## Sposób 1 - Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym\n\n**Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\):**\n\nNa rysunku kąt \\(\\alpha\\) leży między bokiem \\(12\\) (przyległym) a przeciwprostokątną \\(13\\), zatem:\n- przyprostokątna **naprzeciwko** \\(\\alpha\\) = \\(5\\)\n- przyprostokątna **przy** \\(\\alpha\\) = \\(12\\)\n- przeciwprostokątna = \\(13\\)\n\n**Obliczamy funkcje trygonometryczne:**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{13}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległą do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{12}{13}\\]\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przyległa do }\\alpha} = \\frac{5}{12}\\]\n\n**Odpowiedź C podaje \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{5}{12}\\) - to prawidłowa wartość.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wzór \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\)\n\nUżywamy wyników z Sposobu 1:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{5}{13}}{\\frac{12}{13}} = \\frac{5}{13} \\cdot \\frac{13}{12} = \\frac{5}{12}\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{5}{12}\\). ✓**\n\nDodatkowo sprawdzamy jedynkę trygonometryczną:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 + \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2 = \\frac{25}{169} + \\frac{144}{169} = \\frac{169}{169} = 1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]\ngdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\), \\(b\\) - przyległa, \\(c\\) - przeciwprostokątna.\n\nUżyliśmy tych definicji bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co podaje | Błąd |\n| A | np. \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\) | Pomylono boki - \\(\\sin\\) to stosunek boku **naprzeciwko** kąta do przeciwprostokątnej, a naprzeciwko \\(\\alpha\\) jest bok \\(5\\), nie \\(12\\) |\n| B | np. \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\) | Pomylono boki naprzeciwko i przyległy - \\(\\cos\\) to bok **przyległy** (\\(12\\)), nie naprzeciwko (\\(5\\)) |\n| D | np. \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{12}{5}\\) | Odwrócono ułamek - \\(\\operatorname{tg}\\) to **naprzeciwko/przyległa** = \\(\\frac{5}{12}\\), nie \\(\\frac{12}{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie „który bok jest naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\)\". Zawsze najpierw zidentyfikuj kąt \\(\\alpha\\) na rysunku, a dopiero potem przypisz boki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{12}{5}\\) to wartość \\(\\operatorname{tg}\\) drugiego kąta ostrego (naprzeciw boku \\(12\\)) - uczniowie często biorą go zamiast \\(\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\) to jeden z „złotych\" trójkątów prostokątnych - warto go zapamiętać obok \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\). Pozwala to od razu odczytać wartości trygonometryczne bez żadnych obliczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\cos\\alpha=\\dfrac{12}{13}\\).\n\n### Sposób 1 - Definicje funkcji trygonometrycznych\nW trójkącie prostokątnym o bokach \\(5\\), \\(12\\), \\(13\\) (piątka pitagorejska):\n- przyprostokątna przy kącie \\(\\alpha\\) (dolna, przyległa do \\(\\alpha\\)): \\(12\\).\n- przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) (górna, pionowa): \\(5\\).\n- przeciwprostokątna: \\(13\\).\n\nStąd:\n\\[\\cos\\alpha=\\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{12}{13}.\\]\n\\[\\sin\\alpha=\\dfrac{5}{13}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jedynka trygonometryczna\nSprawdzamy: \\(\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=\\left(\\dfrac{5}{13}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{12}{13}\\right)^{2}=\\dfrac{25+144}{169}=1\\) ✓.\n\n### Weryfikacja twierdzenia Pitagorasa\n\\(5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(\\cos\\alpha=\\tfrac{5}{13}\\) to wartość \\(\\sin\\alpha\\).\n- B: \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\tfrac{13}{12}\\) - stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej; niezgodne z definicją.\n- D: \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\tfrac{12}{5}\\) - odwrotność właściwej wartości (\\(\\tfrac{5}{12}\\)).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość<br>opuszczona na podstawę ma długość<br>A. 3<br>B. 4<br>C.<br>34<br>D.<br>61<br>Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość A. 3, B. 4, C. pierwiastek z 34, D. pierwiastek z 61</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji<br>Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa<br>do wyznaczenia wysokości tego<br>trójkąta równoramiennego<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>W trójkącie prostokątnym o bokach \\(5\\), \\(12\\), \\(13\\) kąt \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym. Sprawdzamy: \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) - zgadza się, to klasyczny trójkąt prostokątny, a \\(13\\) to <strong>przeciwprostokątna</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p><strong>Identyfikujemy boki względem kąta \\(\\alpha\\):</strong></p>\n<p>Na rysunku kąt \\(\\alpha\\) leży między bokiem \\(12\\) (przyległym) a przeciwprostokątną \\(13\\), zatem:</p>\n<ul><li>przyprostokątna <strong>naprzeciwko</strong> \\(\\alpha\\) = \\(5\\)</li><li>przyprostokątna <strong>przy</strong> \\(\\alpha\\) = \\(12\\)</li><li>przeciwprostokątna = \\(13\\)</li></ul>\n<p><strong>Obliczamy funkcje trygonometryczne:</strong></p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{13}\\]</p>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległą do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{12}{13}\\]</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przyległa do }\\alpha} = \\frac{5}{12}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź C podaje \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{5}{12}\\) - to prawidłowa wartość.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez wzór \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\)</h4>\n<p>Używamy wyników z Sposobu 1:</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{5}{13}}{\\frac{12}{13}} = \\frac{5}{13} \\cdot \\frac{13}{12} = \\frac{5}{12}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{5}{12}\\). ✓</strong></p>\n<p>Dodatkowo sprawdzamy jedynkę trygonometryczną:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 + \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2 = \\frac{25}{169} + \\frac{144}{169} = \\frac{169}{169} = 1 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b}\\]<br>gdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\), \\(b\\) - przyległa, \\(c\\) - przeciwprostokątna.</p>\n<p>Użyliśmy tych definicji bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Co podaje | Błąd |<br>| A | np. \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\) | Pomylono boki - \\(\\sin\\) to stosunek boku <strong>naprzeciwko</strong> kąta do przeciwprostokątnej, a naprzeciwko \\(\\alpha\\) jest bok \\(5\\), nie \\(12\\) |<br>| B | np. \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\) | Pomylono boki naprzeciwko i przyległy - \\(\\cos\\) to bok <strong>przyległy</strong> (\\(12\\)), nie naprzeciwko (\\(5\\)) |<br>| D | np. \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{12}{5}\\) | Odwrócono ułamek - \\(\\operatorname{tg}\\) to <strong>naprzeciwko/przyległa</strong> = \\(\\frac{5}{12}\\), nie \\(\\frac{12}{5}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pomylenie „który bok jest naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\)&quot;. Zawsze najpierw zidentyfikuj kąt \\(\\alpha\\) na rysunku, a dopiero potem przypisz boki.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{12}{5}\\) to wartość \\(\\operatorname{tg}\\) drugiego kąta ostrego (naprzeciw boku \\(12\\)) - uczniowie często biorą go zamiast \\(\\alpha\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójkąt \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\) to jeden z „złotych&quot; trójkątów prostokątnych - warto go zapamiętać obok \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\). Pozwala to od razu odczytać wartości trygonometryczne bez żadnych obliczeń.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong> - \\(\\cos\\alpha=\\dfrac{12}{13}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Definicje funkcji trygonometrycznych</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym o bokach \\(5\\), \\(12\\), \\(13\\) (piątka pitagorejska):</p>\n<ul><li>przyprostokątna przy kącie \\(\\alpha\\) (dolna, przyległa do \\(\\alpha\\)): \\(12\\).</li><li>przyprostokątna naprzeciw \\(\\alpha\\) (górna, pionowa): \\(5\\).</li><li>przeciwprostokątna: \\(13\\).</li></ul>\n<p>Stąd:<br>\\[\\cos\\alpha=\\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{12}{13}.\\]<br>\\[\\sin\\alpha=\\dfrac{5}{13}, \\quad \\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\dfrac{5}{12}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Jedynka trygonometryczna</h5>\n<p>Sprawdzamy: \\(\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=\\left(\\dfrac{5}{13}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{12}{13}\\right)^{2}=\\dfrac{25+144}{169}=1\\) ✓.</p>\n<h5>Weryfikacja twierdzenia Pitagorasa</h5>\n<p>\\(5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A: \\(\\cos\\alpha=\\tfrac{5}{13}\\) to wartość \\(\\sin\\alpha\\).</li><li>B: \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\tfrac{13}{12}\\) - stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej; niezgodne z definicją.</li><li>D: \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha=\\tfrac{12}{5}\\) - odwrotność właściwej wartości (\\(\\tfrac{5}{12}\\)).</li></ul>"}]}