{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nOdcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe\n1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 6\nOdcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3, 9. Długość odcinka AD jest równa A. 2, B. 3, C. 5, D. 6","answer":"W","answer_text":"Zadanie 17.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nPosługiwanie się własnościami figur\npodobnych do obliczania długości\nodcinków\nA\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\sqrt{5}\\) m\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa wprost\n\nProstokąt o bokach \\(20\\) m i \\(40\\) m. Przekątna łączy dwa przeciwległe narożniki i tworzy trójkąt prostokątny, w którym:\n- jedna przyprostokątna = \\(20\\) m\n- druga przyprostokątna = \\(40\\) m\n- szukana przekątna = \\(d\\)\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = 20^2 + 40^2\\]\n\\[d^2 = 400 + 1600\\]\n\\[d^2 = 2000\\]\n\nWyciągamy pierwiastek:\n\\[d = \\sqrt{2000}\\]\n\nUpraszczamy, rozkładając \\(2000 = 400 \\cdot 5\\):\n\\[d = \\sqrt{400 \\cdot 5} = \\sqrt{400} \\cdot \\sqrt{5} = 20\\sqrt{5}\\]\n\n**Odległość między słupkami wynosi \\(20\\sqrt{5}\\) m.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie przybliżone\n\nSprawdzamy, czy wynik \\(20\\sqrt{5}\\) jest wiarygodny:\n\\[\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\]\n\\[20\\sqrt{5} \\approx 20 \\cdot 2{,}236 = 44{,}72 \\text{ m}\\]\n\nKontrola: przekątna **musi być dłuższa niż dłuższy bok** (\\(40\\) m) i krótsza niż suma boków (\\(60\\) m). Wynik \\(\\approx 44{,}72\\) m spełnia ten warunek - \\(40 < 44{,}72 < 60\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(dla trójkąta prostokątnego, } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go do obliczenia długości przekątnej prostokąta - przekątna jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(20\\) i \\(40\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - upraszczanie pierwiastka:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy do uproszczenia \\(\\sqrt{2000} = \\sqrt{400 \\cdot 5} = 20\\sqrt{5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Dodanie boków: \\(20 + 40 = 60\\) - to obwód połowy prostokąta, nie przekątna |\n| B | Wzięcie różnicy: \\(40 - 20 = 20\\), lub obliczenie \\(\\sqrt{20^2 + 40^2}\\) z błędem arytmetycznym (np. \\(\\sqrt{2000} \\approx 45\\) bez uproszczenia) |\n| D | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{2000} = 10\\sqrt{20}\\) zamiast \\(20\\sqrt{5}\\) - poprawna wartość, ale inaczej zapisana; lub wynik \\(40\\sqrt{2} \\approx 56{,}6\\) (pomylenie boków) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostokąta to **przeciwprostokątna** trójkąta prostokątnego - nigdy nie można jej policzyć jako \\(a + b\\) ani \\(a - b\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczanie pierwiastka - szukaj największego dzielnika będącego pełnym kwadratem: \\(2000 = 400 \\cdot 5\\), więc \\(\\sqrt{2000} = 20\\sqrt{5}\\). Wynik \\(10\\sqrt{20}\\) też jest poprawny, ale niezupełnie uproszczony (bo \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **przekątnej** z **półobwodem**. \\(20 + 40 = 60\\) to suma dwóch różnych boków - częsty błąd przy nieuwadze.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - długość przekątnej jest większa niż \\(40\\) m i mniejsza niż \\(45\\) m.\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nPrzekątna prostokąta o bokach \\(a\\) i \\(b\\) ma długość:\n\\[d=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\\sqrt{20^{2}+40^{2}}=\\sqrt{400+1600}=\\sqrt{2000}.\\]\nUpraszczamy: \\(\\sqrt{2000}=\\sqrt{400\\cdot 5}=20\\sqrt{5}\\).\n\\(\\sqrt{5}\\approx 2{,}236\\), więc \\(d\\approx 44{,}72\\) m.\n\n### Sposób 2 - Szacowanie\n\\(44^{2}=1936<2000<2025=45^{2}\\), więc \\(4440\\).\nStąd \\(40Zadanie 17. (1 pkt)
Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe
1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3, 9. Długość odcinka AD jest równa A. 2, B. 3, C. 5, D. 6

","answer_text_html":"

Zadanie 17.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Posługiwanie się własnościami figur
podobnych do obliczania długości
odcinków
A
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\sqrt{5}\\) m

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa wprost

\n

Prostokąt o bokach \\(20\\) m i \\(40\\) m. Przekątna łączy dwa przeciwległe narożniki i tworzy trójkąt prostokątny, w którym:

\n\n

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\\[d^2 = 20^2 + 40^2\\]
\\[d^2 = 400 + 1600\\]
\\[d^2 = 2000\\]

\n

Wyciągamy pierwiastek:
\\[d = \\sqrt{2000}\\]

\n

Upraszczamy, rozkładając \\(2000 = 400 \\cdot 5\\):
\\[d = \\sqrt{400 \\cdot 5} = \\sqrt{400} \\cdot \\sqrt{5} = 20\\sqrt{5}\\]

\n

Odległość między słupkami wynosi \\(20\\sqrt{5}\\) m.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie przybliżone

\n

Sprawdzamy, czy wynik \\(20\\sqrt{5}\\) jest wiarygodny:
\\[\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\]
\\[20\\sqrt{5} \\approx 20 \\cdot 2{,}236 = 44{,}72 \\text{ m}\\]

\n

Kontrola: przekątna musi być dłuższa niż dłuższy bok (\\(40\\) m) i krótsza niż suma boków (\\(60\\) m). Wynik \\(\\approx 44{,}72\\) m spełnia ten warunek - \\(40 < 44{,}72 < 60\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(dla trójkąta prostokątnego, } \\gamma = 90°\\text{)}\\]
Użyliśmy go do obliczenia długości przekątnej prostokąta - przekątna jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(20\\) i \\(40\\).

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - upraszczanie pierwiastka:
\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]
Użyliśmy do uproszczenia \\(\\sqrt{2000} = \\sqrt{400 \\cdot 5} = 20\\sqrt{5}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Dodanie boków: \\(20 + 40 = 60\\) - to obwód połowy prostokąta, nie przekątna |
| B | Wzięcie różnicy: \\(40 - 20 = 20\\), lub obliczenie \\(\\sqrt{20^2 + 40^2}\\) z błędem arytmetycznym (np. \\(\\sqrt{2000} \\approx 45\\) bez uproszczenia) |
| D | Błąd przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{2000} = 10\\sqrt{20}\\) zamiast \\(20\\sqrt{5}\\) - poprawna wartość, ale inaczej zapisana; lub wynik \\(40\\sqrt{2} \\approx 56{,}6\\) (pomylenie boków) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna prostokąta to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego - nigdy nie można jej policzyć jako \\(a + b\\) ani \\(a - b\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Upraszczanie pierwiastka - szukaj największego dzielnika będącego pełnym kwadratem: \\(2000 = 400 \\cdot 5\\), więc \\(\\sqrt{2000} = 20\\sqrt{5}\\). Wynik \\(10\\sqrt{20}\\) też jest poprawny, ale niezupełnie uproszczony (bo \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić przekątnej z półobwodem. \\(20 + 40 = 60\\) to suma dwóch różnych boków - częsty błąd przy nieuwadze.
\n

Poprawna odpowiedź: C - długość przekątnej jest większa niż \\(40\\) m i mniejsza niż \\(45\\) m.

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa
\n

Przekątna prostokąta o bokach \\(a\\) i \\(b\\) ma długość:
\\[d=\\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\\sqrt{20^{2}+40^{2}}=\\sqrt{400+1600}=\\sqrt{2000}.\\]
Upraszczamy: \\(\\sqrt{2000}=\\sqrt{400\\cdot 5}=20\\sqrt{5}\\).
\\(\\sqrt{5}\\approx 2{,}236\\), więc \\(d\\approx 44{,}72\\) m.

\n
Sposób 2 - Szacowanie
\n

\\(44^{2}=1936<2000<2025=45^{2}\\), więc \\(44<d<45\\). Ponadto \\(40^{2}=1600<2000\\), więc \\(d>40\\).
Stąd \\(40<d<45\\) - spełnia warunek C.

\n
Weryfikacja
\n

\\(20\\sqrt{5}\\approx 44{,}72\\) m - mieści się w przedziale \\((40,45)\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}