{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nPunkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara\nzaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa\nA. 120°\nB. 90°\nC. 60°\nD. 30°\nC\nD\nE\nB\nA\n9\n1\n3\nA\nB\nC\nS\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n8\nPunkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego $ASB$ jest równa A. 120 stopni, B. 90 stopni, C. 60 stopni, D. 30 stopni","answer":"W","answer_text":"Zadanie 18.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nKorzystanie ze związków między\nkątem wpisanym i środkowym do\nobliczenia miary kąta\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - wieża ma wysokość **18 m**\n\n## Sposób 1 - Proporcja z podobnych trójkątów\n\nW tej samej chwili słońce świeci pod tym samym kątem, więc stosunek wysokości do długości cienia jest taki sam dla obu obiektów.\n\n**Dane:**\n- Słupek: wysokość \\(h_1 = 90\\) cm, cień \\(c_1 = 60\\) cm\n- Wieża: cień \\(c_2 = 12 \\text{ m} = 1200\\) cm, wysokość \\(h_2 = ?\\)\n\n**Ustawiamy proporcję:**\n\n\\[\\frac{h_1}{c_1} = \\frac{h_2}{c_2}\\]\n\n\\[\\frac{90}{60} = \\frac{h_2}{1200}\\]\n\n**Obliczamy \\(h_2\\):**\n\n\\[h_2 = \\frac{90}{60} \\cdot 1200 = \\frac{3}{2} \\cdot 1200 = 1800 \\text{ cm} = \\mathbf{18 \\text{ m}}\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczenie współczynnika kąta słońca\n\nSłońce świeci pod pewnym stałym kątem. Możemy obliczyć stosunek wysokości do cienia (tangent kąta padania promieni).\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h_1}{c_1} = \\frac{90 \\text{ cm}}{60 \\text{ cm}} = 1{,}5\\]\n\nTen sam kąt \\(\\alpha\\) dotyczy wieży:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h_2}{c_2} \\implies h_2 = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot c_2 = 1{,}5 \\cdot 12 \\text{ m} = \\mathbf{18 \\text{ m}}\\]\n\nWynik zgodny - **18 m**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - twierdzenie Talesa i podobność trójkątów.\n\nSłupek i jego cień tworzą trójkąt prostokątny, wieża i jej cień tworzą drugi trójkąt prostokątny. Ponieważ kąt padania promieni słońca jest taki sam, oba trójkąty są **podobne** (kąt przy ziemi jednakowy, kąt prosty przy podstawie). Dla trójkątów podobnych o skali \\(k\\) zachodzi:\n\n\\[\\frac{h_1}{c_1} = \\frac{h_2}{c_2}\\]\n\nTo bezpośrednie zastosowanie proporcji boków w trójkątach podobnych.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jednostki! Cień słupka jest w **centymetrach** (60 cm), a cień wieży w **metrach** (12 m). Przed wpisaniem do proporcji trzeba ujednolicić jednostki - np. zamienić 12 m na 1200 cm. Wynik 1800 cm = 18 m.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcja działa tylko wtedy, gdy oba obiekty stoją pionowo i w tym **samym momencie** - co zadanie gwarantuje frazą \"w tej samej chwili\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pilnuj, co do czego przyrównujesz - wysokość do wysokości, cień do cienia. Przestawienie mianowników (np. \\(\\frac{90}{h_2} = \\frac{60}{1200}\\)) daje inny wynik \\((h_2 = 1800)\\) - tu akurat taki sam, bo proporcja jest symetryczna, ale przy innych liczbach błąd byłby wyraźny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - wieża ma \\(18\\) m wysokości.\n\n### Sposób 1 - Proporcja (podobieństwo trójkątów)\nStosunek wysokości do cienia jest taki sam dla obu obiektów (bo kąt padania promieni jest ten sam).\n\\[\\dfrac{h_{\\text{słupek}}}{c_{\\text{słupek}}}=\\dfrac{h_{\\text{wieża}}}{c_{\\text{wieża}}}.\\]\n\\[\\dfrac{90}{60}=\\dfrac{h}{1200} \\quad \\text{(wszystko w cm)}.\\]\n\\[h=\\dfrac{90\\cdot 1200}{60}=\\dfrac{108000}{60}=1800 \\text{ cm}=18 \\text{ m}.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja w tych samych jednostkach\n\\(90\\) cm \\(=0{,}9\\) m. \\(60\\) cm \\(=0{,}6\\) m.\n\\[\\dfrac{h}{12}=\\dfrac{0{,}9}{0{,}6}=1{,}5 \\implies h=1{,}5\\cdot 12=18 \\text{ m}.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowe: zamienić wszystkie dane na te same jednostki! \\(12\\) m to \\(1200\\) cm.\n\n### Weryfikacja\nSkala cienia: \\(\\tfrac{60}{90}=\\tfrac{2}{3}\\). Cień wieży \\(12\\) m \\(=\\tfrac{2}{3}\\) wysokości, czyli wysokość \\(=\\tfrac{3}{2}\\cdot 12=18\\) m ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B \\(=8\\) m: \\(\\tfrac{60}{90}\\cdot 12=8\\) - odwrócona proporcja.\n- C \\(=9\\) m: \\(\\tfrac{90}{120}\\cdot 12\\) lub podobny błąd.\n- D \\(=16\\) m: błąd rachunkowy.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (1 pkt)<br>Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara<br>zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa<br>A. 120°<br>B. 90°<br>C. 60°<br>D. 30°<br>C<br>D<br>E<br>B<br>A<br>9<br>1<br>3<br>A<br>B<br>C<br>S</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>8<br>Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego $ASB$ jest równa A. 120 stopni, B. 90 stopni, C. 60 stopni, D. 30 stopni</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji<br>Korzystanie ze związków między<br>kątem wpisanym i środkowym do<br>obliczenia miary kąta<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - wieża ma wysokość <strong>18 m</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Proporcja z podobnych trójkątów</h4>\n<p>W tej samej chwili słońce świeci pod tym samym kątem, więc stosunek wysokości do długości cienia jest taki sam dla obu obiektów.</p>\n<p><strong>Dane:</strong></p>\n<ul><li>Słupek: wysokość \\(h_1 = 90\\) cm, cień \\(c_1 = 60\\) cm</li><li>Wieża: cień \\(c_2 = 12 \\text{ m} = 1200\\) cm, wysokość \\(h_2 = ?\\)</li></ul>\n<p><strong>Ustawiamy proporcję:</strong></p>\n<p>\\[\\frac{h_1}{c_1} = \\frac{h_2}{c_2}\\]</p>\n<p>\\[\\frac{90}{60} = \\frac{h_2}{1200}\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy \\(h_2\\):</strong></p>\n<p>\\[h_2 = \\frac{90}{60} \\cdot 1200 = \\frac{3}{2} \\cdot 1200 = 1800 \\text{ cm} = \\mathbf{18 \\text{ m}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Obliczenie współczynnika kąta słońca</h4>\n<p>Słońce świeci pod pewnym stałym kątem. Możemy obliczyć stosunek wysokości do cienia (tangent kąta padania promieni).</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h_1}{c_1} = \\frac{90 \\text{ cm}}{60 \\text{ cm}} = 1{,}5\\]</p>\n<p>Ten sam kąt \\(\\alpha\\) dotyczy wieży:</p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h_2}{c_2} \\implies h_2 = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot c_2 = 1{,}5 \\cdot 12 \\text{ m} = \\mathbf{18 \\text{ m}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>18 m</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)</strong> - twierdzenie Talesa i podobność trójkątów.</p>\n<p>Słupek i jego cień tworzą trójkąt prostokątny, wieża i jej cień tworzą drugi trójkąt prostokątny. Ponieważ kąt padania promieni słońca jest taki sam, oba trójkąty są <strong>podobne</strong> (kąt przy ziemi jednakowy, kąt prosty przy podstawie). Dla trójkątów podobnych o skali \\(k\\) zachodzi:</p>\n<p>\\[\\frac{h_1}{c_1} = \\frac{h_2}{c_2}\\]</p>\n<p>To bezpośrednie zastosowanie proporcji boków w trójkątach podobnych.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jednostki! Cień słupka jest w <strong>centymetrach</strong> (60 cm), a cień wieży w <strong>metrach</strong> (12 m). Przed wpisaniem do proporcji trzeba ujednolicić jednostki - np. zamienić 12 m na 1200 cm. Wynik 1800 cm = 18 m.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proporcja działa tylko wtedy, gdy oba obiekty stoją pionowo i w tym <strong>samym momencie</strong> - co zadanie gwarantuje frazą &quot;w tej samej chwili&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pilnuj, co do czego przyrównujesz - wysokość do wysokości, cień do cienia. Przestawienie mianowników (np. \\(\\frac{90}{h_2} = \\frac{60}{1200}\\)) daje inny wynik \\((h_2 = 1800)\\) - tu akurat taki sam, bo proporcja jest symetryczna, ale przy innych liczbach błąd byłby wyraźny.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - wieża ma \\(18\\) m wysokości.</p>\n<h5>Sposób 1 - Proporcja (podobieństwo trójkątów)</h5>\n<p>Stosunek wysokości do cienia jest taki sam dla obu obiektów (bo kąt padania promieni jest ten sam).<br>\\[\\dfrac{h_{\\text{słupek}}}{c_{\\text{słupek}}}=\\dfrac{h_{\\text{wieża}}}{c_{\\text{wieża}}}.\\]<br>\\[\\dfrac{90}{60}=\\dfrac{h}{1200} \\quad \\text{(wszystko w cm)}.\\]<br>\\[h=\\dfrac{90\\cdot 1200}{60}=\\dfrac{108000}{60}=1800 \\text{ cm}=18 \\text{ m}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Proporcja w tych samych jednostkach</h5>\n<p>\\(90\\) cm \\(=0{,}9\\) m. \\(60\\) cm \\(=0{,}6\\) m.<br>\\[\\dfrac{h}{12}=\\dfrac{0{,}9}{0{,}6}=1{,}5 \\implies h=1{,}5\\cdot 12=18 \\text{ m}.\\]</p>\n<h5>Uwaga dydaktyczna</h5>\n<p>Kluczowe: zamienić wszystkie dane na te same jednostki! \\(12\\) m to \\(1200\\) cm.</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Skala cienia: \\(\\tfrac{60}{90}=\\tfrac{2}{3}\\). Cień wieży \\(12\\) m \\(=\\tfrac{2}{3}\\) wysokości, czyli wysokość \\(=\\tfrac{3}{2}\\cdot 12=18\\) m ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B \\(=8\\) m: \\(\\tfrac{60}{90}\\cdot 12=8\\) - odwrócona proporcja.</li><li>C \\(=9\\) m: \\(\\tfrac{90}{120}\\cdot 12\\) lub podobny błąd.</li><li>D \\(=16\\) m: błąd rachunkowy.</li></ul>"}]}