{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nLatawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia\nzacieniowanego trójkąta jest równa\nA. 3200 cm2\nB. 6400 cm2\nC. 1600 cm2\nD. 800 cm2\nLatawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa A. 3200 cm^2, B. 6400 cm^2, C. 1600 cm^2, 800 cm^2","answer":"W","answer_text":"Zadanie 19.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie pola figury płaskiej\nz zastosowaniem funkcji\ntrygonometrycznych\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(115°\\))\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Co wiemy z rysunku:**\n\nZaznaczony kąt środkowy to kąt przy środku \\(S\\), mierzony po stronie **zewnętrznej** względem cięciwy \\(AB\\) - czyli jest to kąt środkowy **oparty na łuku większym** (łuku zawierającym punkt \\(C\\)).\n\n\\[ \\text{łuk większy } \\widehat{ACB} = 230° \\]\n\nPunkt \\(C\\) leży na **łuku mniejszym** (po drugiej stronie cięciwy \\(AB\\)).\n\n**Kluczowa zasada:**\n\nKąt wpisany \\(ACB\\) jest oparty na tym samym łuku, co zaznaczony kąt środkowy \\(230°\\) - czyli na łuku **większym**, biegnącym od \\(A\\) przez \\(C\\) do \\(B\\).\n\n\\[\n\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy (oparty na tym samym łuku)}\n\\]\n\n\\[\n\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 230° = \\mathbf{115°}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez uzupełniające kąty środkowe\n\nKąt środkowy łuku **mniejszego** (biegnącego od \\(A\\) do \\(B\\) bez \\(C\\)):\n\n\\[\n\\alpha_{\\text{mały}} = 360° - 230° = 130°\n\\]\n\nKąt wpisany oparty na łuku **mniejszym** (gdy \\(C\\) byłoby po drugiej stronie) wynosiłby \\(\\frac{130°}{2} = 65°\\).\n\nAle \\(C\\) leży na łuku **mniejszym**, więc subtenduje łuk **większy** = \\(230°\\). Mamy do czynienia z kątem wpisanym **rozwartym**:\n\n\\[\n\\angle ACB = \\frac{230°}{2} = \\mathbf{115°}\n\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\n\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\n\\]\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: kąt wpisany \\(ACB\\) subtenduje łuk \\(230°\\), stąd \\(\\angle ACB = 115°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(65°\\) | Wzięto **mniejszy** kąt środkowy \\(130°\\) i podzielono przez 2 - mylne, bo \\(C\\) leży na łuku mniejszym, więc subtenduje łuk większy |\n| B | \\(130°\\) | Obliczono tylko brakujący kąt środkowy \\(360° - 230°\\) i podano go jako wynik, bez dzielenia przez 2 |\n| D | \\(230°\\) | Bezpośrednio odczytano kąt środkowy z rysunku, zapominając o twierdzeniu |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zastosujesz wzór, sprawdź - na **którym** łuku stoi punkt \\(C\\)! Kąt wpisany subtenduje **przeciwny** łuk (ten, na którym \\(C\\) **nie** leży). To najczęstsze źródło pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt „zewnętrzny względem AB\" to kąt **refleksyjny** (większy niż \\(180°\\)). Nie myl go z kątem zewnętrznym trójkąta - to zupełnie inne pojęcie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany może być **rozwarty** (większy niż \\(90°\\)), gdy oparty jest na łuku większym niż półokrąg. Nie zakładaj z góry, że odpowiedź musi być ostra.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(\\angle ACB=115°\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym\nKąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nKąt środkowy po tej samej stronie co \\(C\\) opiera się na łuku, na którym **nie** leży \\(C\\). Pełny kąt to \\(360°\\), więc jeśli zaznaczono \\(230°\\), to łuk \\(AB\\) po stronie \\(C\\) ma \\(230°\\).\nKąt \\(ACB\\) jest wpisany i opiera się na łuku **nie zawierającym** \\(C\\), czyli łuku o mierze \\(230°\\).\n\\[\\angle ACB=\\dfrac{230°}{2}=115°.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza łuków\nKąt środkowy zaznaczony \\(230°\\) obejmuje łuk niezawierający \\(C\\). Kąt wpisany \\(ACB\\) opiera się właśnie na tym łuku, więc \\(\\angle ACB=\\tfrac{1}{2}\\cdot 230°=115°\\).\n\n### Weryfikacja\nKąt środkowy na drugim łuku (zawierającym \\(C\\)): \\(360°-230°=130°\\). Ten kąt środkowy NIE odpowiada \\(\\angle ACB\\) - odpowiada dopełnieniu.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=65°\\): \\(\\tfrac{130°}{2}=65°\\) - podzielono dopełnienie przez \\(2\\), błąd wyboru łuku.\n- B \\(=100°\\): \\(230°-130°=100°\\) - niepoprawna operacja.\n- D \\(=130°\\): zapomniano podzielić przez \\(2\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia
zacieniowanego trójkąta jest równa
A. 3200 cm2
B. 6400 cm2
C. 1600 cm2
D. 800 cm2
Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa A. 3200 cm^2, B. 6400 cm^2, C. 1600 cm^2, 800 cm^2

","answer_text_html":"

Zadanie 19.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie pola figury płaskiej
z zastosowaniem funkcji
trygonometrycznych
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (\\(115°\\))

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym

\n

Co wiemy z rysunku:

\n

Zaznaczony kąt środkowy to kąt przy środku \\(S\\), mierzony po stronie zewnętrznej względem cięciwy \\(AB\\) - czyli jest to kąt środkowy oparty na łuku większym (łuku zawierającym punkt \\(C\\)).

\n

\\[ \\text{łuk większy } \\widehat{ACB} = 230° \\]

\n

Punkt \\(C\\) leży na łuku mniejszym (po drugiej stronie cięciwy \\(AB\\)).

\n

Kluczowa zasada:

\n

Kąt wpisany \\(ACB\\) jest oparty na tym samym łuku, co zaznaczony kąt środkowy \\(230°\\) - czyli na łuku większym, biegnącym od \\(A\\) przez \\(C\\) do \\(B\\).

\n

\\[
\\text{kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy (oparty na tym samym łuku)}
\\]

\n

\\[
\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 230° = \\mathbf{115°}
\\]

\n

Sposób 2 - Przez uzupełniające kąty środkowe

\n

Kąt środkowy łuku mniejszego (biegnącego od \\(A\\) do \\(B\\) bez \\(C\\)):

\n

\\[
\\alpha_{\\text{mały}} = 360° - 230° = 130°
\\]

\n

Kąt wpisany oparty na łuku mniejszym (gdy \\(C\\) byłoby po drugiej stronie) wynosiłby \\(\\frac{130°}{2} = 65°\\).

\n

Ale \\(C\\) leży na łuku mniejszym, więc subtenduje łuk większy = \\(230°\\). Mamy do czynienia z kątem wpisanym rozwartym:

\n

\\[
\\angle ACB = \\frac{230°}{2} = \\mathbf{115°}
\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

\\[
\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}
\\]

\n

Użyliśmy tego bezpośrednio: kąt wpisany \\(ACB\\) subtenduje łuk \\(230°\\), stąd \\(\\angle ACB = 115°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(65°\\) | Wzięto mniejszy kąt środkowy \\(130°\\) i podzielono przez 2 - mylne, bo \\(C\\) leży na łuku mniejszym, więc subtenduje łuk większy |
| B | \\(130°\\) | Obliczono tylko brakujący kąt środkowy \\(360° - 230°\\) i podano go jako wynik, bez dzielenia przez 2 |
| D | \\(230°\\) | Bezpośrednio odczytano kąt środkowy z rysunku, zapominając o twierdzeniu |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zanim zastosujesz wzór, sprawdź - na którym łuku stoi punkt \\(C\\)! Kąt wpisany subtenduje przeciwny łuk (ten, na którym \\(C\\) nie leży). To najczęstsze źródło pomyłek.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt „zewnętrzny względem AB" to kąt refleksyjny (większy niż \\(180°\\)). Nie myl go z kątem zewnętrznym trójkąta - to zupełnie inne pojęcie!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany może być rozwarty (większy niż \\(90°\\)), gdy oparty jest na łuku większym niż półokrąg. Nie zakładaj z góry, że odpowiedź musi być ostra.
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\angle ACB=115°\\).

\n
Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym
\n

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

\n

Kąt środkowy po tej samej stronie co \\(C\\) opiera się na łuku, na którym nie leży \\(C\\). Pełny kąt to \\(360°\\), więc jeśli zaznaczono \\(230°\\), to łuk \\(AB\\) po stronie \\(C\\) ma \\(230°\\).
Kąt \\(ACB\\) jest wpisany i opiera się na łuku nie zawierającym \\(C\\), czyli łuku o mierze \\(230°\\).
\\[\\angle ACB=\\dfrac{230°}{2}=115°.\\]

\n
Sposób 2 - Analiza łuków
\n

Kąt środkowy zaznaczony \\(230°\\) obejmuje łuk niezawierający \\(C\\). Kąt wpisany \\(ACB\\) opiera się właśnie na tym łuku, więc \\(\\angle ACB=\\tfrac{1}{2}\\cdot 230°=115°\\).

\n
Weryfikacja
\n

Kąt środkowy na drugim łuku (zawierającym \\(C\\)): \\(360°-230°=130°\\). Ten kąt środkowy NIE odpowiada \\(\\angle ACB\\) - odpowiada dopełnieniu.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}