{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nSpodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?\nA. 163,80 zł\nB. 180 zł\nC. 294 zł\nD. 420 zł\nSpodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką? A. 163,80 zł, B. 180 zł, C. 294 zł, D. 420 zł","answer":"M","answer_text":"Zadanie 2.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nModelowanie\nmatematyczne\nWykonywanie obliczeń procentowych\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nZbiór rozwiązań to \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\), czyli \\((-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) - dwa promienie skierowane na zewnątrz, z wypełnionymi punktami w \\(-1\\) i \\(5\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na nierówność z wartością bezwzględną\n\nZ karty wzorów (Dział 1) wiemy, że:\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]\n\nTutaj \\(a = 2\\), \\(r = 3\\), więc:\n\n\\[|x - 2| \\geq 3 \\iff x \\leq 2 - 3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 2 + 3\\]\n\n\\[x \\leq -1 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 5\\]\n\n**Zbiór rozwiązań:** \\((-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\nNa osi liczbowej: dwa promienie skierowane **na zewnątrz** (w przeciwne strony), z zaznaczonymi (wypełnionymi) punktami \\(-1\\) i \\(5\\) - bo nierówność jest niestroga (\\(\\geq\\)).\n\n## Sposób 2 - definicja wartości bezwzględnej (rozbicie na przypadki)\n\nWyrażenie \\(|x - 2|\\) mierzy **odległość liczby \\(x\\) od liczby \\(2\\)** na osi liczbowej.\n\nNierówność \\(|x - 2| \\geq 3\\) pyta: **kiedy \\(x\\) jest oddalone od \\(2\\) o co najmniej \\(3\\)?**\n\n- Szukamy liczb \\(x\\) leżących w odległości \\(\\geq 3\\) od punktu \\(2\\).\n- W prawo od \\(2\\): \\(2 + 3 = 5\\), więc \\(x \\geq 5\\).\n- W lewo od \\(2\\): \\(2 - 3 = -1\\), więc \\(x \\leq -1\\).\n\nWynik ten sam: \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - nierówność z \\(|\\cdot|\\):\n\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]\nTo dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1 z \\(a = 2\\), \\(r = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Jak wygląda rysunek | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Jeden przedział domknięty \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) (środek) | Uczeń pomylił kierunek: zastosował wzór dla \\(\\leq\\) zamiast \\(\\geq\\) |\n| C | Dwa promienie, ale z **otwartymi** punktami w \\(-1\\) i \\(5\\) | Uczeń dobrze rozwiązał nierówność, ale nie zauważył że \\(\\geq\\) daje domknięte przedziały |\n| D | Jeden promień lub inny zbiór | Rozwiązanie tylko jednego przypadku (np. tylko \\(x \\geq 5\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(|x-2| \\geq 3\\) to NIE to samo co \\(|x-2| \\leq 3\\)! Nierówność \\(\\leq\\) daje przedział (środek), nierówność \\(\\geq\\) daje dwa promienie (zewnętrze). Łatwo je zamienić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności nieostrej (\\(\\geq\\), \\(\\leq\\)) punkty graniczne \\(-1\\) i \\(5\\) należą do zbioru rozwiązań - zaznaczamy je **wypełnionym punktem** na osi liczbowej. Pusty punkt = nierówność ostra (\\(>\\), \\(<\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek przedziału to \\(a = 2\\), a nie \\(0\\)! Wielu uczniów myśli o \\(|x| \\geq 3\\) i liczy \\(-3\\) i \\(3\\), zapominając o przesunięciu o \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - zbiór rozwiązań: \\((-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej\n\\[|x-2|\\geq 3 \\iff x-2\\geq 3 \\ \\text{lub}\\ x-2\\leq -3\\]\n\\[\\iff x\\geq 5 \\ \\text{lub}\\ x\\leq -1.\\]\nStąd \\(x\\in(-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,\\infty)\\) - rysunek **B**.\n\n### Sposób 2 - Interpretacja geometryczna\n\\(|x-2|\\) to odległość \\(x\\) od \\(2\\). Warunek \\(|x-2|\\geq 3\\) oznacza, że \\(x\\) jest oddalony od \\(2\\) o co najmniej \\(3\\). Czyli \\(x\\leq 2-3=-1\\) lub \\(x\\geq 2+3=5\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=5\\): \\(|5-2|=3\\geq 3\\) ✓.\n- \\(x=-1\\): \\(|-1-2|=3\\geq 3\\) ✓.\n- \\(x=0\\): \\(|0-2|=2\\not\\geq 3\\) - poza zbiorem.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: zbiór \\(\\langle -1,5\\rangle\\) - to byłoby \\(|x-2|\\leq 3\\) (przeciwny kierunek).\n- C: początek \\(3\\) - błąd, \\(3\\) to wartość prawa, nie koniec przedziału.\n- D: tylko jedna gałąź - brak lewej części zbioru.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (1 pkt)
Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
A. 163,80 zł
B. 180 zł
C. 294 zł
D. 420 zł
Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126 zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką? A. 163,80 zł, B. 180 zł, C. 294 zł, D. 420 zł

","answer_text_html":"

Zadanie 2.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Modelowanie
matematyczne
Wykonywanie obliczeń procentowych
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Zbiór rozwiązań to \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\), czyli \\((-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) - dwa promienie skierowane na zewnątrz, z wypełnionymi punktami w \\(-1\\) i \\(5\\).

\n

Sposób 1 - wzór na nierówność z wartością bezwzględną

\n

Z karty wzorów (Dział 1) wiemy, że:
\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]

\n

Tutaj \\(a = 2\\), \\(r = 3\\), więc:

\n

\\[|x - 2| \\geq 3 \\iff x \\leq 2 - 3 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 2 + 3\\]

\n

\\[x \\leq -1 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 5\\]

\n

Zbiór rozwiązań: \\((-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)

\n

Na osi liczbowej: dwa promienie skierowane na zewnątrz (w przeciwne strony), z zaznaczonymi (wypełnionymi) punktami \\(-1\\) i \\(5\\) - bo nierówność jest niestroga (\\(\\geq\\)).

\n

Sposób 2 - definicja wartości bezwzględnej (rozbicie na przypadki)

\n

Wyrażenie \\(|x - 2|\\) mierzy odległość liczby \\(x\\) od liczby \\(2\\) na osi liczbowej.

\n

Nierówność \\(|x - 2| \\geq 3\\) pyta: kiedy \\(x\\) jest oddalone od \\(2\\) o co najmniej \\(3\\)?

\n\n

Wynik ten sam: \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4) - nierówność z \\(|\\cdot|\\):
\\[|x - a| \\geq r \\iff x \\leq a - r \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq a + r\\]
To dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1 z \\(a = 2\\), \\(r = 3\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Jak wygląda rysunek | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Jeden przedział domknięty \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) (środek) | Uczeń pomylił kierunek: zastosował wzór dla \\(\\leq\\) zamiast \\(\\geq\\) |
| C | Dwa promienie, ale z otwartymi punktami w \\(-1\\) i \\(5\\) | Uczeń dobrze rozwiązał nierówność, ale nie zauważył że \\(\\geq\\) daje domknięte przedziały |
| D | Jeden promień lub inny zbiór | Rozwiązanie tylko jednego przypadku (np. tylko \\(x \\geq 5\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(|x-2| \\geq 3\\) to NIE to samo co \\(|x-2| \\leq 3\\)! Nierówność \\(\\leq\\) daje przedział (środek), nierówność \\(\\geq\\) daje dwa promienie (zewnętrze). Łatwo je zamienić.
\n
⚠️ Uwaga: Przy nierówności nieostrej (\\(\\geq\\), \\(\\leq\\)) punkty graniczne \\(-1\\) i \\(5\\) należą do zbioru rozwiązań - zaznaczamy je wypełnionym punktem na osi liczbowej. Pusty punkt = nierówność ostra (\\(>\\), \\(<\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Środek przedziału to \\(a = 2\\), a nie \\(0\\)! Wielu uczniów myśli o \\(|x| \\geq 3\\) i liczy \\(-3\\) i \\(3\\), zapominając o przesunięciu o \\(2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B - zbiór rozwiązań: \\((-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,\\infty)\\).

\n
Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej
\n

\\[|x-2|\\geq 3 \\iff x-2\\geq 3 \\ \\text{lub}\\ x-2\\leq -3\\]
\\[\\iff x\\geq 5 \\ \\text{lub}\\ x\\leq -1.\\]
Stąd \\(x\\in(-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,\\infty)\\) - rysunek B.

\n
Sposób 2 - Interpretacja geometryczna
\n

\\(|x-2|\\) to odległość \\(x\\) od \\(2\\). Warunek \\(|x-2|\\geq 3\\) oznacza, że \\(x\\) jest oddalony od \\(2\\) o co najmniej \\(3\\). Czyli \\(x\\leq 2-3=-1\\) lub \\(x\\geq 2+3=5\\).

\n
Weryfikacja
\n\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}