{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nWspółczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu\n3\n5\ny\nx\n+ jest równy:\nA.\n1\n3\nB.\n3\nC. 1\n3\nD. 3\nWspółczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y=-3x+5 jest równy: A. -1/3, B. -3, C. 1/3, D. 3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 20.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWskazanie współczynnika\nkierunkowego prostej równoległej do\ndanej prostej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie okręgu: \\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\\]\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i podstawienie do wzoru\n\nOkrąg ma środek \\(S=(2,1)\\) i przechodzi przez \\(M=(6,4)\\), więc promień \\(r\\) to odległość \\(|SM|\\).\n\n**Krok 1:** Oblicz promień ze wzoru na odległość między punktami:\n\n\\[r = |SM| = \\sqrt{(x_M - x_S)^2 + (y_M - y_S)^2}\\]\n\n\\[r = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-1)^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n**Krok 2:** Podstaw do kanonicznego równania okręgu o środku \\(S=(a,b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\n\\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5^2\\]\n\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie, że M leży na okręgu\n\nMamy równanie \\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\\). Podstawmy współrzędne punktu \\(M=(6,4)\\):\n\n\\[(6-2)^2 + (4-1)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(M\\) spełnia równanie, więc leży na okręgu. Odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość między punktami:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do obliczenia długości promienia \\(r = |SM|\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 24)** - kanoniczne równanie okręgu:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\nTo główny wzór zadania - środek \\((a,b)\\) i promień \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobne równanie | Błąd |\n| A | \\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 5\\) | Wstawiono \\(r\\) zamiast \\(r^2\\) - promień \\(5\\), a nie \\(25\\) |\n| C | \\((x+2)^2 + (y+1)^2 = 25\\) | Pomylono znaki - wzór ma \\((x - a)\\), nie \\((x + a)\\) |\n| D | \\((x-6)^2 + (y-4)^2 = 25\\) | Wzięto \\(M\\) jako środek zamiast \\(S\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu okręgu stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\)! Policzysz \\(r=5\\), ale wpisujesz \\(25\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znaki we wzorze \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) są **odwrotne** niż współrzędne środka - środek \\(S=(2,1)\\) daje \\((x-2)^2 + (y-1)^2\\), a nie \\((x+2)^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl środka okręgu z punktem na okręgu - \\(S\\) to środek, \\(M\\) to tylko punkt, przez który okrąg przechodzi (wyznacza promień, ale nie trafia do równania wprost).\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór kanoniczny okręgu\nOkrąg o środku \\((x_{0},y_{0})\\) i promieniu \\(r\\) ma równanie:\n\\[(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.\\]\nŚrodek: \\(S=(2,1)\\). Promień: \\(r=|SM|=\\sqrt{(6-2)^{2}+(4-1)^{2}}=\\sqrt{16+9}=\\sqrt{25}=5\\).\nStąd \\(r^{2}=25\\) i:\n\\[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25.\\]\n\n### Sposób 2 - Podstawienie punktu\nSprawdzamy, czy \\(M=(6,4)\\) spełnia równanie B:\n\\[(6-2)^{2}+(4-1)^{2}=16+9=25=r^{2}\\] ✓.\n\n### Weryfikacja\nOdległość \\(M\\) od \\(S\\) jest równa \\(\\sqrt{25}=5\\) - to długość promienia ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(r^{2}=5\\) - błędne (to byłoby \\(r=\\sqrt{5}\\), nie \\(5\\)).\n- C: środek w punkcie \\(M\\), nie w \\(S\\).\n- D: środek w \\(M\\) z \\(r^{2}=25\\) - błędnie zidentyfikowany środek.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 20. (1 pkt)
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu
3
5
y
x

\n\n

A.
1
3
B.
3
C. 1
3
D. 3
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y=-3x+5 jest równy: A. -1/3, B. -3, C. 1/3, D. 3

","answer_text_html":"

Zadanie 20.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wskazanie współczynnika
kierunkowego prostej równoległej do
danej prostej
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Równanie okręgu: \\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\\]

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie promienia i podstawienie do wzoru

\n

Okrąg ma środek \\(S=(2,1)\\) i przechodzi przez \\(M=(6,4)\\), więc promień \\(r\\) to odległość \\(|SM|\\).

\n

Krok 1: Oblicz promień ze wzoru na odległość między punktami:

\n

\\[r = |SM| = \\sqrt{(x_M - x_S)^2 + (y_M - y_S)^2}\\]

\n

\\[r = \\sqrt{(6-2)^2 + (4-1)^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n

Krok 2: Podstaw do kanonicznego równania okręgu o środku \\(S=(a,b)\\) i promieniu \\(r\\):

\n

\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]

\n

\\[(x-2)^2 + (y-1)^2 = 5^2\\]

\n

\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie, że M leży na okręgu

\n

Mamy równanie \\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 25\\). Podstawmy współrzędne punktu \\(M=(6,4)\\):

\n

\\[(6-2)^2 + (4-1)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \\checkmark\\]

\n

Punkt \\(M\\) spełnia równanie, więc leży na okręgu. Odpowiedź B jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - odległość między punktami:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
Użyliśmy do obliczenia długości promienia \\(r = |SM|\\).

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 24) - kanoniczne równanie okręgu:
\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]
To główny wzór zadania - środek \\((a,b)\\) i promień \\(r\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Prawdopodobne równanie | Błąd |
| A | \\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 5\\) | Wstawiono \\(r\\) zamiast \\(r^2\\) - promień \\(5\\), a nie \\(25\\) |
| C | \\((x+2)^2 + (y+1)^2 = 25\\) | Pomylono znaki - wzór ma \\((x - a)\\), nie \\((x + a)\\) |
| D | \\((x-6)^2 + (y-4)^2 = 25\\) | Wzięto \\(M\\) jako środek zamiast \\(S\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W równaniu okręgu stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\)! Policzysz \\(r=5\\), ale wpisujesz \\(25\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Znaki we wzorze \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) są odwrotne niż współrzędne środka - środek \\(S=(2,1)\\) daje \\((x-2)^2 + (y-1)^2\\), a nie \\((x+2)^2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl środka okręgu z punktem na okręgu - \\(S\\) to środek, \\(M\\) to tylko punkt, przez który okrąg przechodzi (wyznacza promień, ale nie trafia do równania wprost).
\n

Poprawna odpowiedź: B - \\((x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25\\).

\n
Sposób 1 - Wzór kanoniczny okręgu
\n

Okrąg o środku \\((x_{0},y_{0})\\) i promieniu \\(r\\) ma równanie:
\\[(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.\\]
Środek: \\(S=(2,1)\\). Promień: \\(r=|SM|=\\sqrt{(6-2)^{2}+(4-1)^{2}}=\\sqrt{16+9}=\\sqrt{25}=5\\).
Stąd \\(r^{2}=25\\) i:
\\[(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25.\\]

\n
Sposób 2 - Podstawienie punktu
\n

Sprawdzamy, czy \\(M=(6,4)\\) spełnia równanie B:
\\[(6-2)^{2}+(4-1)^{2}=16+9=25=r^{2}\\] ✓.

\n
Weryfikacja
\n

Odległość \\(M\\) od \\(S\\) jest równa \\(\\sqrt{25}=5\\) - to długość promienia ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}