{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nWskaż równanie okręgu o promieniu 6.\nA.\n2\n2\n3\nx\ny\nB.\n2\n2\n6\nx\ny\nC.\n2\n2\n12\nx\ny\nD.\n2\n2\n36\nx\ny\nWskaż równanie okręgu o promieniu 6. A. x^2+y^2=3, B. x^2+y^2=6, C. x^2+y^2=12, D. x^2+y^2=36","answer":"W","answer_text":"Zadanie 21.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWskazanie równania okręgu o podanej\ndługości promienia\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProste **nie są równoległe ani prostopadłe** - przecinają się pod kątem ostrym (nie prostym).\n\n## Sposób 1 - Analiza współczynników kierunkowych\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych z postaci \\(y = ax + b\\):\n\n\\[y = 2x + 3 \\implies a_1 = 2\\]\n\\[y = -\\frac{1}{3}x + 2 \\implies a_2 = -\\frac{1}{3}\\]\n\n**Sprawdzamy równoległość:**\n\nProste są równoległe \\(\\iff a_1 = a_2\\)\n\n\\[2 \\neq -\\frac{1}{3} \\implies \\text{proste NIE są równoległe}\\]\n\n**Sprawdzamy prostopadłość:**\n\nProste są prostopadłe \\(\\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -\\frac{2}{3}\\]\n\n\\[-\\frac{2}{3} \\neq -1 \\implies \\text{proste NIE są prostopadłe}\\]\n\n**Wniosek:** Mają różne współczynniki kierunkowe, więc się przecinają - ale iloczyn tych współczynników ≠ \\(-1\\), więc nie jest to przecięcie pod kątem prostym. **Odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie punktu przecięcia (weryfikacja, że proste nie są równoległe)\n\nGdyby proste były równoległe lub tożsame, układ równań nie miałby jedynego rozwiązania. Sprawdzamy:\n\n\\[\\begin{cases} y = 2x + 3 \\\\ y = -\\dfrac{1}{3}x + 2 \\end{cases}\\]\n\nPrzyrównujemy prawe strony:\n\n\\[2x + 3 = -\\frac{1}{3}x + 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(3\\):\n\n\\[6x + 9 = -x + 6\\]\n\n\\[7x = -3\\]\n\n\\[x = -\\frac{3}{7}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[y = 2 \\cdot \\left(-\\frac{3}{7}\\right) + 3 = -\\frac{6}{7} + \\frac{21}{7} = \\frac{15}{7}\\]\n\nProste przecinają się w punkcie \\(\\left(-\\dfrac{3}{7},\\ \\dfrac{15}{7}\\right)\\) - jedyny punkt przecięcia istnieje, więc proste nie są równoległe. Potwierdzamy, że nie są prostopadłe (iloczyn współczynników = \\(-\\dfrac{2}{3} \\neq -1\\)).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunki na wzajemne położenie prostych w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\):\n\n\\[\\text{równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]\n\\[\\text{prostopadłe} \\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nUżyliśmy obu warunków, by wykluczyć równoległość i prostopadłość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń myli warunek prostopadłości z równoległością - widzi ujemny współczynnik \\(-\\frac{1}{3}\\) i stwierdza „różne znaki → prostopadłe\" |\n| B | Uczeń liczy \\(a_1 \\cdot a_2 = -\\frac{2}{3}\\) i myli \\(-\\frac{2}{3}\\) z \\(-1\\), albo nie zna warunku \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) |\n| D | Uczeń nie rozważa tej opcji, ale mogłoby się mylić - tożsamość prostych wymaga \\(a_1 = a_2\\) **i** \\(b_1 = b_2\\), tu ani jedno, ani drugie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to dokładnie \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie „jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego\". Tutaj \\(\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{3}\\), więc proste nie są prostopadłe mimo że jeden ze współczynników jest ujemny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy, że iloczyn jest ujemny - musi wynosić **dokładnie** \\(-1\\). Tu wynosi \\(-\\frac{2}{3}\\), co jest częstym źródłem pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać \\(y = ax + b\\) daje od razu współczynnik kierunkowy jako współczynnik przy \\(x\\) - nie trzeba nic przekształcać. Korzystaj z tego.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.\n\n### Sposób 1 - Analiza współczynników kierunkowych\nWspółczynniki: \\(a_{1}=2\\), \\(a_{2}=-\\dfrac{1}{3}\\).\n- **Równoległość**: wymaga \\(a_{1}=a_{2}\\). \\(2\\ne -\\dfrac{1}{3}\\) - nie są równoległe.\n- **Prostopadłość**: wymaga \\(a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\). \\(2\\cdot(-\\dfrac{1}{3})=-\\dfrac{2}{3}\\ne -1\\) - nie są prostopadłe.\n- **Pokrywanie**: wymaga równości obu współczynników i wyrazu wolnego. Nie pokrywają się.\n\nSkoro nie są ani równoległe, ani prostopadłe, a jednak są prostymi (niezwiązanymi) - przecinają się pod kątem innym niż prosty.\n\n### Sposób 2 - Znalezienie punktu przecięcia\n\\[2x+3=-\\dfrac{1}{3}x+2 \\implies 2x+\\dfrac{1}{3}x=-1 \\implies \\dfrac{7}{3}x=-1 \\implies x=-\\dfrac{3}{7}.\\]\nPunkt przecięcia istnieje w jednym miejscu, więc proste przecinają się. Kąt nie jest prosty (z warunku iloczynu \\(-\\tfrac{2}{3}\\ne -1\\)).\n\n### Weryfikacja\nDla prostopadłości potrzeba \\(a_{2}=-\\dfrac{1}{2}\\), a mamy \\(-\\dfrac{1}{3}\\) - bliskie, ale niezgodne.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: współczynniki kierunkowe różne → nie są równoległe.\n- B: \\(2\\cdot(-\\tfrac{1}{3})=-\\tfrac{2}{3}\\ne -1\\) → nie są prostopadłe.\n- D: nie pokrywają się, bo współczynniki różne.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.
A.
2
2
3
x
y
B.
2
2
6
x
y
C.
2
2
12
x
y
D.
2
2
36
x
y
Wskaż równanie okręgu o promieniu 6. A. x^2+y^2=3, B. x^2+y^2=6, C. x^2+y^2=12, D. x^2+y^2=36

","answer_text_html":"

Zadanie 21.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wskazanie równania okręgu o podanej
długości promienia
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Proste nie są równoległe ani prostopadłe - przecinają się pod kątem ostrym (nie prostym).

\n

Sposób 1 - Analiza współczynników kierunkowych

\n

Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych z postaci \\(y = ax + b\\):

\n

\\[y = 2x + 3 \\implies a_1 = 2\\]
\\[y = -\\frac{1}{3}x + 2 \\implies a_2 = -\\frac{1}{3}\\]

\n

Sprawdzamy równoległość:

\n

Proste są równoległe \\(\\iff a_1 = a_2\\)

\n

\\[2 \\neq -\\frac{1}{3} \\implies \\text{proste NIE są równoległe}\\]

\n

Sprawdzamy prostopadłość:

\n

Proste są prostopadłe \\(\\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\)

\n

\\[a_1 \\cdot a_2 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = -\\frac{2}{3}\\]

\n

\\[-\\frac{2}{3} \\neq -1 \\implies \\text{proste NIE są prostopadłe}\\]

\n

Wniosek: Mają różne współczynniki kierunkowe, więc się przecinają - ale iloczyn tych współczynników ≠ \\(-1\\), więc nie jest to przecięcie pod kątem prostym. Odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie punktu przecięcia (weryfikacja, że proste nie są równoległe)

\n

Gdyby proste były równoległe lub tożsame, układ równań nie miałby jedynego rozwiązania. Sprawdzamy:

\n

\\[\\begin{cases} y = 2x + 3 \\\\ y = -\\dfrac{1}{3}x + 2 \\end{cases}\\]

\n

Przyrównujemy prawe strony:

\n

\\[2x + 3 = -\\frac{1}{3}x + 2\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(3\\):

\n

\\[6x + 9 = -x + 6\\]

\n

\\[7x = -3\\]

\n

\\[x = -\\frac{3}{7}\\]

\n

Podstawiamy do pierwszego równania:

\n

\\[y = 2 \\cdot \\left(-\\frac{3}{7}\\right) + 3 = -\\frac{6}{7} + \\frac{21}{7} = \\frac{15}{7}\\]

\n

Proste przecinają się w punkcie \\(\\left(-\\dfrac{3}{7},\\ \\dfrac{15}{7}\\right)\\) - jedyny punkt przecięcia istnieje, więc proste nie są równoległe. Potwierdzamy, że nie są prostopadłe (iloczyn współczynników = \\(-\\dfrac{2}{3} \\neq -1\\)).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - warunki na wzajemne położenie prostych w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\):

\n

\\[\\text{równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]
\\[\\text{prostopadłe} \\iff a_1 \\cdot a_2 = -1\\]

\n

Użyliśmy obu warunków, by wykluczyć równoległość i prostopadłość.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń myli warunek prostopadłości z równoległością - widzi ujemny współczynnik \\(-\\frac{1}{3}\\) i stwierdza „różne znaki → prostopadłe" |
| B | Uczeń liczy \\(a_1 \\cdot a_2 = -\\frac{2}{3}\\) i myli \\(-\\frac{2}{3}\\) z \\(-1\\), albo nie zna warunku \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) |
| D | Uczeń nie rozważa tej opcji, ale mogłoby się mylić - tożsamość prostych wymaga \\(a_1 = a_2\\) i \\(b_1 = b_2\\), tu ani jedno, ani drugie |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Warunek prostopadłości to dokładnie \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie „jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego". Tutaj \\(\\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{3}\\), więc proste nie są prostopadłe mimo że jeden ze współczynników jest ujemny.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy, że iloczyn jest ujemny - musi wynosić dokładnie \\(-1\\). Tu wynosi \\(-\\frac{2}{3}\\), co jest częstym źródłem pomyłek.
\n
⚠️ Uwaga: Postać \\(y = ax + b\\) daje od razu współczynnik kierunkowy jako współczynnik przy \\(x\\) - nie trzeba nic przekształcać. Korzystaj z tego.
\n

Poprawna odpowiedź: C - proste przecinają się pod kątem innym niż prosty.

\n
Sposób 1 - Analiza współczynników kierunkowych
\n

Współczynniki: \\(a_{1}=2\\), \\(a_{2}=-\\dfrac{1}{3}\\).

\n\n

Skoro nie są ani równoległe, ani prostopadłe, a jednak są prostymi (niezwiązanymi) - przecinają się pod kątem innym niż prosty.

\n
Sposób 2 - Znalezienie punktu przecięcia
\n

\\[2x+3=-\\dfrac{1}{3}x+2 \\implies 2x+\\dfrac{1}{3}x=-1 \\implies \\dfrac{7}{3}x=-1 \\implies x=-\\dfrac{3}{7}.\\]
Punkt przecięcia istnieje w jednym miejscu, więc proste przecinają się. Kąt nie jest prosty (z warunku iloczynu \\(-\\tfrac{2}{3}\\ne -1\\)).

\n
Weryfikacja
\n

Dla prostopadłości potrzeba \\(a_{2}=-\\dfrac{1}{2}\\), a mamy \\(-\\dfrac{1}{3}\\) - bliskie, ale niezgodne.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}