{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPunkty\n(\n)\n5,2\nA = -\ni\n(\n)\n3, 2\nB =\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód\ntego trójkąta jest równy\nA. 30\nB. 4 5\nC. 12 5\nD. 36\nPunkty A=(-5,2) i B=(3,-2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy A. 30, B. 4 pierwiastki z 5, C. 12 pierwiastków 5, D. 36","answer":"W","answer_text":"Zadanie 22.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nObliczanie odległości punktów na\npłaszczyźnie\nC\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (x = 2)\n\n## Sposób 1 - Wzór na wierzchołek paraboli\n\nOś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek.\n\nDla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) odcięta wierzchołka wynosi:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nMamy \\(y = x^2 - 4x + 2010\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -4\\), \\(c = 2010\\).\n\n\\[p = -\\frac{-4}{2 \\cdot 1} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Oś symetrii:** \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu\n\nPrzekształcamy równanie paraboli do postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\):\n\n\\[y = x^2 - 4x + 2010\\]\n\\[y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2010\\]\n\\[y = (x - 2)^2 + 2006\\]\n\nZ postaci kanonicznej wyraźnie widzimy, że wierzchołek to \\(W = (2,\\ 2006)\\).\n\n**Oś symetrii:** \\(x = 2\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na odciętą wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\noraz postać kanoniczna trójmianu:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nUżyliśmy go w obu sposobach - Sposób 1 bezpośrednio, Sposób 2 przez uzupełnienie do kwadratu (co prowadzi do tego samego \\(p\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |\n| A | \\(x = -2\\) | Zapomniano o znaku minus: \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{-4}{2}\\), ale uczeń błędnie liczy \\(-\\frac{4}{2} = -2\\) |\n| B | \\(x = 1\\) lub \\(x = 4\\) | Wzięto \\(\\frac{b}{a} = -4\\) lub podzielono przez \\(2a\\) bez zmiany znaku |\n| D | \\(x = -4\\) lub inna | Utożsamienie osi symetrii z samym współczynnikiem \\(b = -4\\), bez dzielenia przez \\(2a\\) |\n\n*(Dokładne litery A-D zależą od treści arkusza - zasada błędów pozostaje ta sama.)*\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - pamiętaj o **minusie przed ułamkiem**! To najczęstszy błąd. Jeśli \\(b = -4\\), to \\(p = -\\frac{(-4)}{2} = +2\\), a nie \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(c = 2010\\) jest tutaj pułapką na rozproszenie uwagi - do wzoru na oś symetrii \\(c\\) w ogóle nie wchodzi. Nie komplikuj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \\(x = \\text{const}\\), nigdy pozioma. Jeśli widzisz odpowiedź w formie \\(y = \\ldots\\) - od razu ją odrzuć.\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - \\(x=2\\).\n\n### Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\nDla paraboli \\(y=ax^{2}+bx+c\\) oś symetrii to \\(x=-\\dfrac{b}{2a}\\).\nTu \\(a=1\\), \\(b=-4\\), więc:\n\\[x=-\\dfrac{-4}{2\\cdot 1}=\\dfrac{4}{2}=2.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[y=x^{2}-4x+2010=(x^{2}-4x+4)+2006=(x-2)^{2}+2006.\\]\nWierzchołek: \\((2,2006)\\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, więc \\(x=2\\).\n\n### Weryfikacja\nSprawdzamy symetrię: \\(f(0)=2010\\), \\(f(4)=16-16+2010=2010\\). Punkty \\((0,2010)\\) i \\((4,2010)\\) są symetryczne względem \\(x=2\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(x=4\\): błędne zastosowanie wzoru bez dzielenia przez \\(2\\).\n- B \\(x=-4\\): zapomniano o znaku minus (\\(-\\tfrac{b}{2a}\\)).\n- D \\(x=-2\\): błąd znaku.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 22. (1 pkt)
Punkty
(
)
5,2
A = -
i
(
)
3, 2
B =
są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód
tego trójkąta jest równy
A. 30
B. 4 5
C. 12 5
D. 36
Punkty A=(-5,2) i B=(3,-2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy A. 30, B. 4 pierwiastki z 5, C. 12 pierwiastków 5, D. 36

","answer_text_html":"

Zadanie 22.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Obliczanie odległości punktów na
płaszczyźnie
C
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (x = 2)

\n

Sposób 1 - Wzór na wierzchołek paraboli

\n

Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek.

\n

Dla trójmianu \\(ax^2 + bx + c\\) odcięta wierzchołka wynosi:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]

\n

Mamy \\(y = x^2 - 4x + 2010\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -4\\), \\(c = 2010\\).

\n

\\[p = -\\frac{-4}{2 \\cdot 1} = \\frac{4}{2} = 2\\]

\n

Oś symetrii: \\(x = 2\\)

\n

Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu

\n

Przekształcamy równanie paraboli do postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\):

\n

\\[y = x^2 - 4x + 2010\\]
\\[y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 2010\\]
\\[y = (x - 2)^2 + 2006\\]

\n

Z postaci kanonicznej wyraźnie widzimy, że wierzchołek to \\(W = (2,\\ 2006)\\).

\n

Oś symetrii: \\(x = 2\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na odciętą wierzchołka paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
oraz postać kanoniczna trójmianu:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]

\n

Użyliśmy go w obu sposobach - Sposób 1 bezpośrednio, Sposób 2 przez uzupełnienie do kwadratu (co prowadzi do tego samego \\(p\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |
| A | \\(x = -2\\) | Zapomniano o znaku minus: \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{-4}{2}\\), ale uczeń błędnie liczy \\(-\\frac{4}{2} = -2\\) |
| B | \\(x = 1\\) lub \\(x = 4\\) | Wzięto \\(\\frac{b}{a} = -4\\) lub podzielono przez \\(2a\\) bez zmiany znaku |
| D | \\(x = -4\\) lub inna | Utożsamienie osi symetrii z samym współczynnikiem \\(b = -4\\), bez dzielenia przez \\(2a\\) |

\n

(Dokładne litery A-D zależą od treści arkusza - zasada błędów pozostaje ta sama.)

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - pamiętaj o minusie przed ułamkiem! To najczęstszy błąd. Jeśli \\(b = -4\\), to \\(p = -\\frac{(-4)}{2} = +2\\), a nie \\(-2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny \\(c = 2010\\) jest tutaj pułapką na rozproszenie uwagi - do wzoru na oś symetrii \\(c\\) w ogóle nie wchodzi. Nie komplikuj!
\n
⚠️ Uwaga: Oś symetrii paraboli to zawsze prosta pionowa postaci \\(x = \\text{const}\\), nigdy pozioma. Jeśli widzisz odpowiedź w formie \\(y = \\ldots\\) - od razu ją odrzuć.
\n

Poprawna odpowiedź: C - \\(x=2\\).

\n
Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli
\n

Dla paraboli \\(y=ax^{2}+bx+c\\) oś symetrii to \\(x=-\\dfrac{b}{2a}\\).
Tu \\(a=1\\), \\(b=-4\\), więc:
\\[x=-\\dfrac{-4}{2\\cdot 1}=\\dfrac{4}{2}=2.\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

\\[y=x^{2}-4x+2010=(x^{2}-4x+4)+2006=(x-2)^{2}+2006.\\]
Wierzchołek: \\((2,2006)\\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, więc \\(x=2\\).

\n
Weryfikacja
\n

Sprawdzamy symetrię: \\(f(0)=2010\\), \\(f(4)=16-16+2010=2010\\). Punkty \\((0,2010)\\) i \\((4,2010)\\) są symetryczne względem \\(x=2\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}