{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 3 4\n× × jest równe\nA. 94\nB. 60\nC. 47\nD. 20\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4 jest równe A. 94, B. 60, C. 47, D. 20","answer":"W","answer_text":"Zadanie 23.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nObliczanie pola powierzchni\nwielościanu\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n*(Zadanie dotyczy wyznaczenia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego przy danym \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7}\\). Poniżej pełne obliczenia.)*\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\n**Co wiemy:** kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7}\\).\n\n**Krok 1 - wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:**\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{3}{7}\\right)^2 = 1 - \\frac{9}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{9}{49} = \\frac{40}{49}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym**, to \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{40}{49}} = \\frac{\\sqrt{40}}{7} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}\\]\n\n**Krok 2 - wyznaczamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\):**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}}{\\dfrac{3}{7}} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7} \\cdot \\frac{7}{3} = \\boxed{\\dfrac{2\\sqrt{10}}{3}}\\]\n\n**Podsumowanie wyników:**\n- \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\)\n- \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{3}\\)\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7} = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\), możemy narysować trójkąt prostokątny, w którym:\n- przyprostokątna przyległa do kąta \\(\\alpha\\): \\(b = 3\\)\n- przeciwprostokątna: \\(c = 7\\)\n\n**Szukamy brakującej przyprostokątnej** \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[a^2 = c^2 - b^2 = 49 - 9 = 40\\]\n\n\\[a = \\sqrt{40} = 2\\sqrt{10}\\]\n\nTeraz odczytujemy wprost z trójkąta:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{2\\sqrt{10}}{3}\\]\n\nWyniki zgodne z metodą algebraiczną. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z danego \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta do obliczenia \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na podstawie wyznaczonych \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do znalezienia brakującego boku trójkąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Obliczono \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{7}\\) - zamieniono sinus z cosinusem |\n| C | Wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{3}{2\\sqrt{10}}\\) - odwrócono ułamek w definicji tangensa |\n| D | Poprawnie obliczono \\(\\sin\\alpha = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}\\), ale wzięto to za wynik końcowy, nie obliczając tangensa |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) - pamiętaj, że pierwiastek daje zawsze wynik dodatni. Znak sinus zależy od ćwiartki! Dla kąta **ostrego** zawsze \\(\\sin\\alpha > 0\\) - możesz spokojnie wziąć dodatni pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kolejności w tangensie! \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), **nie** odwrotnie. Błąd odwrócenia ułamka to jedna z najczęstszych pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{40} = \\sqrt{4 \\cdot 10} = 2\\sqrt{10}\\). Zawsze upraszczaj pierwiastki - odpowiedź w postaci \\(\\frac{\\sqrt{40}}{7}\\) nie jest uproszczona i może nie pasować do żadnej opcji odpowiedzi!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=1 \\implies \\sin^{2}\\alpha=1-\\cos^{2}\\alpha.\\]\n\\[\\sin^{2}\\alpha=1-\\left(\\dfrac{3}{7}\\right)^{2}=1-\\dfrac{9}{49}=\\dfrac{49-9}{49}=\\dfrac{40}{49}.\\]\n\\[\\sin\\alpha=\\sqrt{\\dfrac{40}{49}}=\\dfrac{\\sqrt{40}}{7}=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\] (znak \\(+\\), bo \\(\\alpha\\) jest ostry).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\\(\\cos\\alpha=\\dfrac{3}{7}\\) → przyległa \\(=3\\), przeciwprostokątna \\(=7\\).\nDruga przyprostokątna: \\(\\sqrt{7^{2}-3^{2}}=\\sqrt{49-9}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\).\n\\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(\\left(\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{3}{7}\\right)^{2}=\\dfrac{40}{49}+\\dfrac{9}{49}=\\dfrac{49}{49}=1\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: \\(\\dfrac{\\sqrt{10}}{7}\\) - zapomniano o \\(\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\).\n- C: \\(\\dfrac{4}{7}\\) - błąd \"\\(7-3=4\\)\" zamiast Pitagorasa.\n- D: \\(\\dfrac{3}{4}\\) - zupełnie niepoprawne.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5 3 4<br>× × jest równe<br>A. 94<br>B. 60<br>C. 47<br>D. 20<br>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4 jest równe A. 94, B. 60, C. 47, D. 20</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji<br>Obliczanie pola powierzchni<br>wielościanu<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p><em>(Zadanie dotyczy wyznaczenia wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego przy danym \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7}\\). Poniżej pełne obliczenia.)</em></p>\n<h4>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + definicja tangensa</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong> kąt \\(\\alpha\\) jest ostry i \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7}\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej:</strong></p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{3}{7}\\right)^2 = 1 - \\frac{9}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{9}{49} = \\frac{40}{49}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem <strong>ostrym</strong>, to \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\), więc:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{40}{49}} = \\frac{\\sqrt{40}}{7} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - wyznaczamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\):</strong></p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}}{\\dfrac{3}{7}} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7} \\cdot \\frac{7}{3} = \\boxed{\\dfrac{2\\sqrt{10}}{3}}\\]</p>\n<p><strong>Podsumowanie wyników:</strong></p>\n<ul><li>\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\)</li><li>\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{10}}{3}\\)</li></ul>\n<h4>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)</h4>\n<p>Skoro \\(\\cos\\alpha = \\frac{3}{7} = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\), możemy narysować trójkąt prostokątny, w którym:</p>\n<ul><li>przyprostokątna przyległa do kąta \\(\\alpha\\): \\(b = 3\\)</li><li>przeciwprostokątna: \\(c = 7\\)</li></ul>\n<p><strong>Szukamy brakującej przyprostokątnej</strong> \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>\\[a^2 = c^2 - b^2 = 49 - 9 = 40\\]</p>\n<p>\\[a = \\sqrt{40} = 2\\sqrt{10}\\]</p>\n<p>Teraz odczytujemy wprost z trójkąta:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}, \\qquad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{a}{b} = \\frac{2\\sqrt{10}}{3}\\]</p>\n<p>Wyniki zgodne z metodą algebraiczną. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z danego \\(\\cos\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]<br>Użyta do obliczenia \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) na podstawie wyznaczonych \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do znalezienia brakującego boku trójkąta.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Obliczono \\(\\sin\\alpha = \\frac{3}{7}\\) - zamieniono sinus z cosinusem |<br>| C | Wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{3}{2\\sqrt{10}}\\) - odwrócono ułamek w definicji tangensa |<br>| D | Poprawnie obliczono \\(\\sin\\alpha = \\frac{2\\sqrt{10}}{7}\\), ale wzięto to za wynik końcowy, nie obliczając tangensa |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) - pamiętaj, że pierwiastek daje zawsze wynik dodatni. Znak sinus zależy od ćwiartki! Dla kąta <strong>ostrego</strong> zawsze \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\) - możesz spokojnie wziąć dodatni pierwiastek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl kolejności w tangensie! \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), <strong>nie</strong> odwrotnie. Błąd odwrócenia ułamka to jedna z najczęstszych pomyłek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{40} = \\sqrt{4 \\cdot 10} = 2\\sqrt{10}\\). Zawsze upraszczaj pierwiastki - odpowiedź w postaci \\(\\frac{\\sqrt{40}}{7}\\) nie jest uproszczona i może nie pasować do żadnej opcji odpowiedzi!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna</h5>\n<p>\\[\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha=1 \\implies \\sin^{2}\\alpha=1-\\cos^{2}\\alpha.\\]<br>\\[\\sin^{2}\\alpha=1-\\left(\\dfrac{3}{7}\\right)^{2}=1-\\dfrac{9}{49}=\\dfrac{49-9}{49}=\\dfrac{40}{49}.\\]<br>\\[\\sin\\alpha=\\sqrt{\\dfrac{40}{49}}=\\dfrac{\\sqrt{40}}{7}=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\] (znak \\(+\\), bo \\(\\alpha\\) jest ostry).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny</h5>\n<p>\\(\\cos\\alpha=\\dfrac{3}{7}\\) → przyległa \\(=3\\), przeciwprostokątna \\(=7\\).<br>Druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{7^{2}-3^{2}}=\\sqrt{49-9}=\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\).<br>\\(\\sin\\alpha=\\dfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}=\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(\\left(\\dfrac{2\\sqrt{10}}{7}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{3}{7}\\right)^{2}=\\dfrac{40}{49}+\\dfrac{9}{49}=\\dfrac{49}{49}=1\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B: \\(\\dfrac{\\sqrt{10}}{7}\\) - zapomniano o \\(\\sqrt{40}=2\\sqrt{10}\\).</li><li>C: \\(\\dfrac{4}{7}\\) - błąd &quot;\\(7-3=4\\)&quot; zamiast Pitagorasa.</li><li>D: \\(\\dfrac{3}{4}\\) - zupełnie niepoprawne.</li></ul>"}]}