{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nOstrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa\nA. 11\nB. 18\nC. 27\nD. 34\nOstrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A. 11, B. 18, C. 27, D. 34","answer":"W","answer_text":"Zadanie 24.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nObliczanie liczby krawędzi\nwielościanu\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **20 sposobów**\n\n## Sposób 1 - Reguła mnożenia (zasada iloczynu)\n\n**Kluczowa zasada:** Jeśli wyboru A możemy dokonać na \\(m\\) sposobów, a niezależnie od tego wyboru B - na \\(n\\) sposobów, to obu wyborów łącznie dokonamy na \\(m \\cdot n\\) sposobów.\n\n**Krok 1:** Wybieramy zupę - mamy do dyspozycji \\(5\\) zup, więc \\(5\\) możliwości.\n\n**Krok 2:** Niezależnie od wybranej zupy, wybieramy drugie danie - mamy \\(4\\) opcje.\n\n**Krok 3:** Każdej zupie możemy przyporządkować dowolne drugie danie:\n\n\\[\n\\text{Liczba obiadów} = 5 \\cdot 4 = 20\n\\]\n\n**Odpowiedź: 20 sposobów.**\n\n## Sposób 2 - Wyliczenie (tabliczka wszystkich kombinacji)\n\nOznaczmy zupy jako \\(Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5\\) i drugie dania jako \\(D_1, D_2, D_3, D_4\\).\n\nDla każdej zupy tworzymy listę możliwych obiadów:\n\n| Zupa | Możliwe obiady |\n| \\(Z_1\\) | \\((Z_1, D_1),\\ (Z_1, D_2),\\ (Z_1, D_3),\\ (Z_1, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_2\\) | \\((Z_2, D_1),\\ (Z_2, D_2),\\ (Z_2, D_3),\\ (Z_2, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_3\\) | \\((Z_3, D_1),\\ (Z_3, D_2),\\ (Z_3, D_3),\\ (Z_3, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_4\\) | \\((Z_4, D_1),\\ (Z_4, D_2),\\ (Z_4, D_3),\\ (Z_4, D_4)\\) - **4 obiady** |\n| \\(Z_5\\) | \\((Z_5, D_1),\\ (Z_5, D_2),\\ (Z_5, D_3),\\ (Z_5, D_4)\\) - **4 obiady** |\n\nŁącznie: \\(5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\) różnych obiadów - wynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami / reguła mnożenia:\n\nChoć karta wzorów nie nazywa wprost „reguły mnożenia\", to jest ona podstawą całej kombinatoryki. W tym zadaniu korzystamy z najprostszej jej postaci:\n\n\\[\n\\text{Liczba par} = m \\cdot n = 5 \\cdot 4 = 20\n\\]\n\nTo szczególny przypadek liczby wariacji z powtórzeniami \\(n^k\\) (gdyby obie liczby były równe), ale tutaj po prostu mnożymy dwie różne liczności zbiorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(9\\)) | Dodano zamiast pomnożyć: \\(5 + 4 = 9\\) - błąd polegający na użyciu reguły dodawania zamiast mnożenia |\n| C (\\(40\\)) | Pomylono kolejność lub podwojono wynik, np. \\(5 \\cdot 4 \\cdot 2 = 40\\) albo liczono obiady w obie strony |\n| D (\\(120\\)) | Zastosowano permutacje: \\(5! = 120\\) - niepotrzebnie, bo tu nie układamy wszystkich elementów w kolejności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **dodawanie zamiast mnożenia** - \\(5 + 4 = 9\\). Dodajemy, gdy wybieramy JEDNO z dwóch rozłącznych zbiorów (np. „zupę LUB drugie danie\"). Mnożymy, gdy wybieramy JEDNO z każdego zbioru jednocześnie (zupę ORAZ drugie danie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wybory są **niezależne** - wybór zupy nie ogranicza wyboru drugiego dania. Zawsze upewnij się, że oba wybory są niezależne, zanim zastosujesz regułę mnożenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma tu znaczenia kolejność (tj. „najpierw zupa, potem danie\" to to samo co „najpierw danie, potem zupa\") - wynik \\(4 \\cdot 5 = 20\\) jest oczywiście taki sam.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(20\\) sposobów.\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nWybór zupy: \\(5\\) możliwości. Wybór drugiego dania: \\(4\\) możliwości. Każdą zupę możemy połączyć z każdym daniem:\n\\[5\\cdot 4=20 \\text{ kombinacji}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyliczenie\nPary (zupa, drugie danie): dla każdej z \\(5\\) zup powstaje \\(4\\) pary, łącznie \\(5\\cdot 4=20\\) par.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nTo klasyczny przykład reguły mnożenia w kombinatoryce: dla niezależnych wyborów \\(n_{1}, n_{2}, \\ldots, n_{k}\\) łączna liczba kombinacji to \\(n_{1}\\cdot n_{2}\\cdots n_{k}\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=25=5^{2}\\): błędne, sugeruje że wybór robimy z \\(5\\) rzeczy dwa razy.\n- C \\(=16=4^{2}\\): analogiczny błąd.\n- D \\(=9=5+4\\): dodawanie zamiast mnożenia - błąd reguły.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 24. (1 pkt)
Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A. 11
B. 18
C. 27
D. 34
Ostrosłup ma 18 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A. 11, B. 18, C. 27, D. 34

","answer_text_html":"

Zadanie 24.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Obliczanie liczby krawędzi
wielościanu
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - 20 sposobów

\n

Sposób 1 - Reguła mnożenia (zasada iloczynu)

\n

Kluczowa zasada: Jeśli wyboru A możemy dokonać na \\(m\\) sposobów, a niezależnie od tego wyboru B - na \\(n\\) sposobów, to obu wyborów łącznie dokonamy na \\(m \\cdot n\\) sposobów.

\n

Krok 1: Wybieramy zupę - mamy do dyspozycji \\(5\\) zup, więc \\(5\\) możliwości.

\n

Krok 2: Niezależnie od wybranej zupy, wybieramy drugie danie - mamy \\(4\\) opcje.

\n

Krok 3: Każdej zupie możemy przyporządkować dowolne drugie danie:

\n

\\[
\\text{Liczba obiadów} = 5 \\cdot 4 = 20
\\]

\n

Odpowiedź: 20 sposobów.

\n

Sposób 2 - Wyliczenie (tabliczka wszystkich kombinacji)

\n

Oznaczmy zupy jako \\(Z_1, Z_2, Z_3, Z_4, Z_5\\) i drugie dania jako \\(D_1, D_2, D_3, D_4\\).

\n

Dla każdej zupy tworzymy listę możliwych obiadów:

\n

| Zupa | Możliwe obiady |
| \\(Z_1\\) | \\((Z_1, D_1),\\ (Z_1, D_2),\\ (Z_1, D_3),\\ (Z_1, D_4)\\) - 4 obiady |
| \\(Z_2\\) | \\((Z_2, D_1),\\ (Z_2, D_2),\\ (Z_2, D_3),\\ (Z_2, D_4)\\) - 4 obiady |
| \\(Z_3\\) | \\((Z_3, D_1),\\ (Z_3, D_2),\\ (Z_3, D_3),\\ (Z_3, D_4)\\) - 4 obiady |
| \\(Z_4\\) | \\((Z_4, D_1),\\ (Z_4, D_2),\\ (Z_4, D_3),\\ (Z_4, D_4)\\) - 4 obiady |
| \\(Z_5\\) | \\((Z_5, D_1),\\ (Z_5, D_2),\\ (Z_5, D_3),\\ (Z_5, D_4)\\) - 4 obiady |

\n

Łącznie: \\(5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\) różnych obiadów - wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje z powtórzeniami / reguła mnożenia:

\n

Choć karta wzorów nie nazywa wprost „reguły mnożenia", to jest ona podstawą całej kombinatoryki. W tym zadaniu korzystamy z najprostszej jej postaci:

\n

\\[
\\text{Liczba par} = m \\cdot n = 5 \\cdot 4 = 20
\\]

\n

To szczególny przypadek liczby wariacji z powtórzeniami \\(n^k\\) (gdyby obie liczby były równe), ale tutaj po prostu mnożymy dwie różne liczności zbiorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(9\\)) | Dodano zamiast pomnożyć: \\(5 + 4 = 9\\) - błąd polegający na użyciu reguły dodawania zamiast mnożenia |
| C (\\(40\\)) | Pomylono kolejność lub podwojono wynik, np. \\(5 \\cdot 4 \\cdot 2 = 40\\) albo liczono obiady w obie strony |
| D (\\(120\\)) | Zastosowano permutacje: \\(5! = 120\\) - niepotrzebnie, bo tu nie układamy wszystkich elementów w kolejności |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to dodawanie zamiast mnożenia - \\(5 + 4 = 9\\). Dodajemy, gdy wybieramy JEDNO z dwóch rozłącznych zbiorów (np. „zupę LUB drugie danie"). Mnożymy, gdy wybieramy JEDNO z każdego zbioru jednocześnie (zupę ORAZ drugie danie).
\n
⚠️ Uwaga: Wybory są niezależne - wybór zupy nie ogranicza wyboru drugiego dania. Zawsze upewnij się, że oba wybory są niezależne, zanim zastosujesz regułę mnożenia.
\n
⚠️ Uwaga: Nie ma tu znaczenia kolejność (tj. „najpierw zupa, potem danie" to to samo co „najpierw danie, potem zupa") - wynik \\(4 \\cdot 5 = 20\\) jest oczywiście taki sam.
\n

Poprawna odpowiedź: B - \\(20\\) sposobów.

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Wybór zupy: \\(5\\) możliwości. Wybór drugiego dania: \\(4\\) możliwości. Każdą zupę możemy połączyć z każdym daniem:
\\[5\\cdot 4=20 \\text{ kombinacji}.\\]

\n
Sposób 2 - Wyliczenie
\n

Pary (zupa, drugie danie): dla każdej z \\(5\\) zup powstaje \\(4\\) pary, łącznie \\(5\\cdot 4=20\\) par.

\n
Uwaga dydaktyczna
\n

To klasyczny przykład reguły mnożenia w kombinatoryce: dla niezależnych wyborów \\(n_{1}, n_{2}, \\ldots, n_{k}\\) łączna liczba kombinacji to \\(n_{1}\\cdot n_{2}\\cdots n_{k}\\).

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}