{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy\nA.\n2\nx =\nB.\n3\nx =\nC.\n4\nx =\nD.\n5\nx =\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n10\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach\npod treścią zadania.\nŚrednia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy A. x=2, B. x=3, C. x=4, D. x=5","answer":"W","answer_text":"Zadanie 25.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nObliczanie średniej arytmetycznej\nD\nZadania otwarte\nZa prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie\nprzyznajemy maksymalną liczbę punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - mediana wynosi \\(3{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - Sortowanie i wyznaczenie mediany\n\n**Krok 1: Uporządkuj dane rosnąco.**\n\nMamy liczby: \\(6, 3, 1, 4\\). Po posortowaniu:\n\\[1, \\quad 3, \\quad 4, \\quad 6\\]\n\n**Krok 2: Ustal, jak liczyć medianę dla parzystej liczby danych.**\n\nMamy \\(n = 4\\) liczby (liczba parzysta). Mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów**.\n\nŚrodkowe wyrazy to wyraz 2. i 3. w ciągu uporządkowanym, czyli \\(3\\) i \\(4\\).\n\n**Krok 3: Oblicz medianę.**\n\\[Me = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5\\]\n\n**Mediana wynosi \\(3{,}5\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie definicji mediany\n\nMediana to wartość, która **dzieli zbiór danych (posortowanych) na dwie równoliczne połowy**.\n\nPosortowane dane: \\(1, \\quad 3 \\quad | \\quad 4, \\quad 6\\)\n\n- Dwie liczby poniżej \\(3{,}5\\): są to \\(1\\) i \\(3\\) ✓\n- Dwie liczby powyżej \\(3{,}5\\): są to \\(4\\) i \\(6\\) ✓\n\nWartość \\(3{,}5\\) rzeczywiście leży dokładnie \"w środku\" zbioru - definicja mediany jest spełniona. Wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana to środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\) - po uprzednim **posortowaniu danych rosnąco**.\n\nW tym zadaniu: \\(n = 4\\) (parzyste), więc:\n\\[Me = \\frac{a_2 + a_3}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Podanie mediany jako \\(3\\) - uczeń bierze tylko jeden środkowy wyraz (wyraz 2.), zapominając o wyraz 3. |\n| B | Podanie mediany jako \\(4\\) - uczeń bierze tylko jeden środkowy wyraz (wyraz 3.) zamiast uśredniać oba środkowe |\n| C | Wyliczenie **średniej arytmetycznej** zamiast mediany: \\(\\frac{1+3+4+6}{4} = \\frac{14}{4} = 3{,}5\\) - tu przypadkowo wynik jest taki sam, ale w ogólności średnia ≠ mediana; za tę odpowiedź może kryć się inna wartość jeśli dane są inne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Medianę liczymy ZAWSZE po posortowaniu danych - kolejność podania liczb w zadaniu nie ma znaczenia. Wielu uczniów próbuje brać \"środkowe\" elementy z nieposortowanego zbioru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla **parzystej** liczby danych mediana to **średnia dwóch środkowych wyrazów** - może być liczbą, której w zbiorze w ogóle nie ma (tutaj \\(3{,}5\\) nie jest wynikiem żadnego rzutu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić mediany ze średnią! Tu wyniki są takie same (\\(3{,}5\\)), ale to czysty przypadek - w ogólności to dwie różne statystyki.\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - mediana wynosi \\(3{,}5\\).\n\n### Sposób 1 - Definicja mediany\nDla próby \\(\\{6, 3, 1, 4\\}\\) sortujemy rosnąco: \\(1, 3, 4, 6\\).\nPoniewaz liczba elementów jest parzysta (\\(n=4\\)), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości:\n\\[\\text{Me}=\\dfrac{3+4}{2}=\\dfrac{7}{2}=3{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku\n1. Posortuj: \\(1, 3, 4, 6\\).\n2. Znajdź środkowe (2. i 3. pozycja): \\(3\\) i \\(4\\).\n3. Średnia: \\(\\dfrac{3+4}{2}=3{,}5\\).\n\n### Uwaga dydaktyczna\nDla \\(n\\) nieparzystego mediana to środkowy element. Dla \\(n\\) parzystego - średnia dwóch środkowych.\n\n### Weryfikacja\nSortowanie: \\(\\{1,3,4,6\\}\\). Dwie najniższe to \\(\\{1,3\\}\\), dwie najwyższe \\(\\{4,6\\}\\). Mediana \"między\" - średnia \\(3\\) i \\(4\\) daje \\(3{,}5\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=2\\): brak uzasadnienia, niepoprawna interpretacja.\n- B \\(=2{,}5\\): być może \\(\\tfrac{1+4}{2}\\) lub inne błędne pary.\n- C \\(=5\\): \\(\\tfrac{4+6}{2}=5\\) - wzięto niepoprawną parę (nie środkowe).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (1 pkt)
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy
A.
2
x =
B.
3
x =
C.
4
x =
D.
5
x =

\n

Poziom podstawowy
9
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
10
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania.
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x,3,1,4,1,5,1,4,1,5 jest równa 3. Wtedy A. x=2, B. x=3, C. x=4, D. x=5

","answer_text_html":"

Zadanie 25.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Obliczanie średniej arytmetycznej
D
Zadania otwarte
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie
przyznajemy maksymalną liczbę punktów.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - mediana wynosi \\(3{,}5\\)

\n

Sposób 1 - Sortowanie i wyznaczenie mediany

\n

Krok 1: Uporządkuj dane rosnąco.

\n

Mamy liczby: \\(6, 3, 1, 4\\). Po posortowaniu:
\\[1, \\quad 3, \\quad 4, \\quad 6\\]

\n

Krok 2: Ustal, jak liczyć medianę dla parzystej liczby danych.

\n

Mamy \\(n = 4\\) liczby (liczba parzysta). Mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów.

\n

Środkowe wyrazy to wyraz 2. i 3. w ciągu uporządkowanym, czyli \\(3\\) i \\(4\\).

\n

Krok 3: Oblicz medianę.
\\[Me = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5\\]

\n

Mediana wynosi \\(3{,}5\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie definicji mediany

\n

Mediana to wartość, która dzieli zbiór danych (posortowanych) na dwie równoliczne połowy.

\n

Posortowane dane: \\(1, \\quad 3 \\quad | \\quad 4, \\quad 6\\)

\n\n

Wartość \\(3{,}5\\) rzeczywiście leży dokładnie "w środku" zbioru - definicja mediany jest spełniona. Wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - definicja mediany:

\n
Mediana to środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\) - po uprzednim posortowaniu danych rosnąco.
\n

W tym zadaniu: \\(n = 4\\) (parzyste), więc:
\\[Me = \\frac{a_2 + a_3}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Podanie mediany jako \\(3\\) - uczeń bierze tylko jeden środkowy wyraz (wyraz 2.), zapominając o wyraz 3. |
| B | Podanie mediany jako \\(4\\) - uczeń bierze tylko jeden środkowy wyraz (wyraz 3.) zamiast uśredniać oba środkowe |
| C | Wyliczenie średniej arytmetycznej zamiast mediany: \\(\\frac{1+3+4+6}{4} = \\frac{14}{4} = 3{,}5\\) - tu przypadkowo wynik jest taki sam, ale w ogólności średnia ≠ mediana; za tę odpowiedź może kryć się inna wartość jeśli dane są inne |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Medianę liczymy ZAWSZE po posortowaniu danych - kolejność podania liczb w zadaniu nie ma znaczenia. Wielu uczniów próbuje brać "środkowe" elementy z nieposortowanego zbioru.
\n
⚠️ Uwaga: Dla parzystej liczby danych mediana to średnia dwóch środkowych wyrazów - może być liczbą, której w zbiorze w ogóle nie ma (tutaj \\(3{,}5\\) nie jest wynikiem żadnego rzutu).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić mediany ze średnią! Tu wyniki są takie same (\\(3{,}5\\)), ale to czysty przypadek - w ogólności to dwie różne statystyki.
\n

Poprawna odpowiedź: D - mediana wynosi \\(3{,}5\\).

\n
Sposób 1 - Definicja mediany
\n

Dla próby \\(\\{6, 3, 1, 4\\}\\) sortujemy rosnąco: \\(1, 3, 4, 6\\).
Poniewaz liczba elementów jest parzysta (\\(n=4\\)), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości:
\\[\\text{Me}=\\dfrac{3+4}{2}=\\dfrac{7}{2}=3{,}5.\\]

\n
Sposób 2 - Krok po kroku
\n
  1. Posortuj: \\(1, 3, 4, 6\\).
  2. Znajdź środkowe (2. i 3. pozycja): \\(3\\) i \\(4\\).
  3. Średnia: \\(\\dfrac{3+4}{2}=3{,}5\\).
\n
Uwaga dydaktyczna
\n

Dla \\(n\\) nieparzystego mediana to środkowy element. Dla \\(n\\) parzystego - średnia dwóch środkowych.

\n
Weryfikacja
\n

Sortowanie: \\(\\{1,3,4,6\\}\\). Dwie najniższe to \\(\\{1,3\\}\\), dwie najwyższe \\(\\{4,6\\}\\). Mediana "między" - średnia \\(3\\) i \\(4\\) daje \\(3{,}5\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}