{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n0\nx\nx\n≤\nOdpowiedź:\nRozwiąż nierówność kwadratową x^2-x-2 <= 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nRozwiązywanie nierówności kwadratowej\nRozwiązanie\nZnajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n• obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:\n9\n∆=\n1\n1 3\n1\n2\nx\n2\n1 3\n2\n2\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n1\nx\nx\n= oraz\n1\n2\n2\nx\nx\n⋅\ni stąd\n1\n1\nx = -,\n2\n2\nx =\nalbo\n• zapisujemy nierówność w postaci (\n)(\n)\n1\n2\n0\nx\nx\n≤\n. Lewą stronę nierówności\nmożemy uzyskać np.:\no grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n7\no korzystając z postaci kanonicznej\n(\n)(\n)\n2\n1\n9\n1\n3\n1\n3\n1\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n2\nx\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\no podając postać iloczynową\nalbo\n• rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami\nzerowymi\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\nx\ny\nalbo\n• wskazujemy pierwiastki trójmianu\n1\n1\nx = -,\n2\n2\nx =\nPodajemy rozwiązanie nierówności: 1\n2\nx\n-≤\n≤\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci\niloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 1\n2\nx\n-≤\n≤\nlub\n1,2\nlub\n1,2\nx∈-\nalbo\nsporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n1\nx ≥-,\n2\nx ≤\nalbo\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów:\n2\nx\n-1\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n8","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -6, -5 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na miejsca zerowe (delta)\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(x^2 + 11x + 30\\).\n\nOdczytujemy współczynniki: \\(a = 1\\), \\(b = 11\\), \\(c = 30\\).\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 30 = 121 - 120 = 1\\]\n\n**Miejsca zerowe:**\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 - 1}{2} = \\frac{-12}{2} = -6\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 + 1}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\]\n\nParabola ma ramiona skierowane **w górę** (bo \\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest **niżej od osi \\(x\\)** (ujemny) między miejscami zerowymi.\n\nNierówność \\(\\leq 0\\) spełniona jest dla:\n\\[\\boxed{x \\in \\langle -6, -5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)\n\nSzukamy rozkładu \\(x^2 + 11x + 30 = (x + p)(x + q)\\), gdzie:\n- \\(p + q = 11\\)\n- \\(p \\cdot q = 30\\)\n\n**Myślimy:** jakie dwie liczby dają sumę 11 i iloczyn 30?\n\n\\(5 + 6 = 11\\) i \\(5 \\cdot 6 = 30\\) ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 5)(x + 6) \\leq 0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(x = -5\\) i \\(x = -6\\).\n\n**Analiza znaku iloczynu:**\n\n| Przedział | \\((x+6)\\) | \\((x+5)\\) | iloczyn |\n| \\(x < -6\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-6 < x < -5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x > -5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -6, -5 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nPodstawa Sposobu 2 - rozkład na czynniki i analiza znaku.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\leq 0\\) daje przedział **między** pierwiastkami (bo parabola jest w górę). Uczniowie często podają zły kierunek - zbiór zewnętrzny \\((-\\infty, -6\\rangle \\cup \\langle -5, +\\infty)\\) to odpowiedź dla \\(\\geq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\leq 0\\) (a nie \\(< 0\\)) granice należą do rozwiązania - przedział **domknięty** \\(\\langle -6, -5 \\rangle\\), nie otwarty. Sprawdź: w \\(x = -6\\) mamy \\(36 - 66 + 30 = 0\\) ✓.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 szukamy liczb o sumie \\(b = 11\\) i iloczynie \\(c = 30\\) - ale tylko gdy \\(a = 1\\). Gdy \\(a \\neq 1\\), ten trik wymaga modyfikacji (np. \\(a \\cdot c\\) zamiast \\(c\\)).\n\n**Odpowiedź: \\(x\\in\\langle -6,-5\\rangle\\).**\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego\nObliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^{2}+11x+30\\):\n\\[\\Delta=11^{2}-4\\cdot 1\\cdot 30=121-120=1.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta}=1.\\]\n\\[x_{1}=\\dfrac{-11-1}{2}=-6, \\qquad x_{2}=\\dfrac{-11+1}{2}=-5.\\]\nPostać iloczynowa: \\(x^{2}+11x+30=(x+6)(x+5)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nSzukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-11\\), a iloczyn \\(30\\). Są to \\(-5\\) i \\(-6\\):\n\\((-5)+(-6)=-11\\); \\((-5)\\cdot(-6)=30\\) ✓.\n\n### Sposób 3 - Postać kanoniczna\n\\[x^{2}+11x+30=\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}-\\dfrac{121}{4}+30=\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}-\\dfrac{1}{4}.\\]\nNierówność \\(\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}\\leq\\dfrac{1}{4}\\) prowadzi do \\(\\left|x+\\dfrac{11}{2}\\right|\\leq\\dfrac{1}{2}\\), czyli:\n\\[-\\dfrac{1}{2}\\leq x+\\dfrac{11}{2}\\leq \\dfrac{1}{2} \\implies -6\\leq x\\leq -5.\\]\n\n### Zbiór rozwiązań\nParabola \\(y=(x+6)(x+5)\\) ma ramiona skierowane w górę i pierwiastki w \\(-6\\) i \\(-5\\). Nierówność \\(\\leq 0\\) spełnia przedział między pierwiastkami (wraz z końcami):\n\\[\\boxed{x\\in\\langle -6,-5\\rangle.}\\]\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=-6\\): \\(36-66+30=0\\leq 0\\) ✓\n- \\(x=-5{,}5\\): \\(30{,}25-60{,}5+30=-0{,}25\\leq 0\\) ✓\n- \\(x=-4\\): \\(16-44+30=2>0\\) - poza zbiorem ✓","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
2
0
x
x
≤
Odpowiedź:
Rozwiąż nierówność kwadratową x^2-x-2 <= 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej
Rozwiązanie
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego
• obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:
9
∆=
1
1 3
1
2
x
2
1 3
2
2
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
1
2
1
x
x
= oraz
1
2
2
x
x
⋅
i stąd
1
1
x = -,
2
2
x =
albo
• zapisujemy nierówność w postaci (
)(
)
1
2
0
x
x
≤
. Lewą stronę nierówności
możemy uzyskać np.:
o grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik,
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
7
o korzystając z postaci kanonicznej
(
)(
)
2
1
9
1
3
1
3
1
2
2
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x





⋅










,
o podając postać iloczynową
albo
• rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami
zerowymi
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-1
1
2
3
4
x
y
albo
• wskazujemy pierwiastki trójmianu
1
1
x = -,
2
2
x =
Podajemy rozwiązanie nierówności: 1
2
x
-≤
≤
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy wyznaczy pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci
iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 1
2
x
-≤
≤
lub
1,2
lub
1,2
x∈-
albo
sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
1
x ≥-,
2
x ≤
albo
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów:
2
x
-1
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
8

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -6, -5 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na miejsca zerowe (delta)

\n

Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 + 11x + 30\\).

\n

Odczytujemy współczynniki: \\(a = 1\\), \\(b = 11\\), \\(c = 30\\).

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 30 = 121 - 120 = 1\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 - 1}{2} = \\frac{-12}{2} = -6\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-11 + 1}{2} = \\frac{-10}{2} = -5\\]

\n

Parabola ma ramiona skierowane w górę (bo \\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest niżej od osi \\(x\\) (ujemny) między miejscami zerowymi.

\n

Nierówność \\(\\leq 0\\) spełniona jest dla:
\\[\\boxed{x \\in \\langle -6, -5 \\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)

\n

Szukamy rozkładu \\(x^2 + 11x + 30 = (x + p)(x + q)\\), gdzie:

\n\n

Myślimy: jakie dwie liczby dają sumę 11 i iloczyn 30?

\n

\\(5 + 6 = 11\\) i \\(5 \\cdot 6 = 30\\) ✓

\n

Zatem:
\\[x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(x + 5)(x + 6) \\leq 0\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(x = -5\\) i \\(x = -6\\).

\n

Analiza znaku iloczynu:

\n

| Przedział | \\((x+6)\\) | \\((x+5)\\) | iloczyn |
| \\(x < -6\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-6 < x < -5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x > -5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -6, -5 \\rangle\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Podstawa Sposobu 2 - rozkład na czynniki i analiza znaku.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nierówność \\(\\leq 0\\) daje przedział między pierwiastkami (bo parabola jest w górę). Uczniowie często podają zły kierunek - zbiór zewnętrzny \\((-\\infty, -6\\rangle \\cup \\langle -5, +\\infty)\\) to odpowiedź dla \\(\\geq 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\leq 0\\) (a nie \\(< 0\\)) granice należą do rozwiązania - przedział domknięty \\(\\langle -6, -5 \\rangle\\), nie otwarty. Sprawdź: w \\(x = -6\\) mamy \\(36 - 66 + 30 = 0\\) ✓.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 szukamy liczb o sumie \\(b = 11\\) i iloczynie \\(c = 30\\) - ale tylko gdy \\(a = 1\\). Gdy \\(a \\neq 1\\), ten trik wymaga modyfikacji (np. \\(a \\cdot c\\) zamiast \\(c\\)).
\n

Odpowiedź: \\(x\\in\\langle -6,-5\\rangle\\).

\n
Sposób 1 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego
\n

Obliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^{2}+11x+30\\):
\\[\\Delta=11^{2}-4\\cdot 1\\cdot 30=121-120=1.\\]
\\[\\sqrt{\\Delta}=1.\\]
\\[x_{1}=\\dfrac{-11-1}{2}=-6, \\qquad x_{2}=\\dfrac{-11+1}{2}=-5.\\]
Postać iloczynowa: \\(x^{2}+11x+30=(x+6)(x+5)\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(-11\\), a iloczyn \\(30\\). Są to \\(-5\\) i \\(-6\\):
\\((-5)+(-6)=-11\\); \\((-5)\\cdot(-6)=30\\) ✓.

\n
Sposób 3 - Postać kanoniczna
\n

\\[x^{2}+11x+30=\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}-\\dfrac{121}{4}+30=\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}-\\dfrac{1}{4}.\\]
Nierówność \\(\\left(x+\\dfrac{11}{2}\\right)^{2}\\leq\\dfrac{1}{4}\\) prowadzi do \\(\\left|x+\\dfrac{11}{2}\\right|\\leq\\dfrac{1}{2}\\), czyli:
\\[-\\dfrac{1}{2}\\leq x+\\dfrac{11}{2}\\leq \\dfrac{1}{2} \\implies -6\\leq x\\leq -5.\\]

\n
Zbiór rozwiązań
\n

Parabola \\(y=(x+6)(x+5)\\) ma ramiona skierowane w górę i pierwiastki w \\(-6\\) i \\(-5\\). Nierówność \\(\\leq 0\\) spełnia przedział między pierwiastkami (wraz z końcami):
\\[\\boxed{x\\in\\langle -6,-5\\rangle.}\\]

\n
Weryfikacja
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\langle -1, 2 \\rangle$

"}]}