{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n7\n4\n28\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n11\nRozwiąż równanie x^3-7x^2-4x+28=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nRozwiązanie równania wielomianowego\nI sposób rozwiązania (metoda grupowania)\nPrzedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n7\n4\n0\nx x\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n4\n7\n0\nx\nx\nx\n(\n)(\n)\n2\n7\n4\n0\nx\nx\nStąd\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n7\n4\n0\nx x\nx\nlub\n(\n)\n(\n)\n2\n7\n4\n7\n0\nx\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłąd\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nII sposób rozwiązania (metoda dzielenia)\nStwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n5\n14\nx\nx\nZapisujemy równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n5\n14\n0\nx\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\ni\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nalbo\nStwierdzamy, że liczba 2\n- jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx +\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n9\n14\nx\nx\nZapisujemy równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n2\n9\n14\n0\nx\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n7\n0\nx\nx\nx\ni\n2\nx = - lub\n2\nx =\nlub\n7\nx =\nalbo\nStwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n7\nx -\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n4\nx -\nZapisujemy równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n7\n4\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n7\n2\n2\n0\nx\nx\nx\ni\n7\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n2\nx =\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n9\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx\n, otrzyma iloraz\n(\n)\n2\n5\n14\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx +\n, otrzyma iloraz\n(\n)\n2\n9\n14\nx\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n7\nx\n, otrzyma iloraz (\n)\n2\n4\nx\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n7\n4\n28\nx\nx\nx\nprzez trójmian np. (\n)(\n)\n2\n7\nx\nx\ni na tym\npoprzestanie lub dalej popełni błąd.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\n• wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:\n2,\n2,\n7\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)\n\nZauważamy, że wielomian \\(x^3 + 2x^2 - 5x - 10\\) ma **cztery wyrazy** - to sygnał, żeby spróbować grupowania.\n\nGrupujemy po dwa wyrazy:\n\n\\[x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = (x^3 + 2x^2) + (-5x - 10)\\]\n\nWyłączamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\n\\[= x^2(x + 2) - 5(x + 2)\\]\n\nTeraz **oba składniki mają wspólny czynnik** \\((x + 2)\\) - wyłączamy go:\n\n\\[= (x + 2)(x^2 - 5)\\]\n\nRównanie przybiera postać:\n\n\\[(x + 2)(x^2 - 5) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[x + 2 = 0 \\implies x = -2\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[x^2 - 5 = 0 \\implies x^2 = 5 \\implies x = \\sqrt{5} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Zgadnięcie pierwiastka wymiernego + dzielenie wielomianów\n\n**Krok 1: Szukamy pierwiastka wymiernego.**\n\nJeśli wielomian \\(w(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\\) ma pierwiastek wymierny, to musi to być dzielnik wyrazu wolnego \\(-10\\):\n\nKandydaci: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 5, \\pm 10\\)\n\nSprawdzamy \\(x = -2\\):\n\n\\[w(-2) = (-2)^3 + 2 \\cdot (-2)^2 - 5 \\cdot (-2) - 10 = -8 + 8 + 10 - 10 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\((x + 2)\\) jest czynnikiem wielomianu.**\n\n**Krok 2: Dzielenie wielomianu przez \\((x + 2)\\) - schemat Hornera.**\n\nWspółczynniki: \\(1, \\quad 2, \\quad -5, \\quad -10\\), pierwiastek \\(-2\\):\n\n| | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(-5\\) | \\(-10\\) |\n| | \\(\\downarrow\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) | \\(10\\) |\n| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-5\\) | \\(0\\) |\n\nIloraz to \\(x^2 + 0x - 5 = x^2 - 5\\), reszta \\(= 0\\).\n\nZatem:\n\\[x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = (x+2)(x^2 - 5)\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy \\(x^2 - 5 = 0\\):**\n\n\\[x^2 = 5 \\implies x = \\pm\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:\n- Własność iloczynu: jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\)\n- Podstawowa własność potęg: \\(x^2 = a \\implies x = \\pm\\sqrt{a}\\)\n\nSchemat Hornera nie jest umieszczony na karcie wzorów, ale jest standardową techniką kursu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu pamiętaj o znaku! Z grupy \\((-5x - 10)\\) wyłączamy \\(-5\\), co daje \\(-5(x + 2)\\) - nie \\(-5(x - 2)\\). Sprawdź przez rozwinięcie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 - 5 = 0\\) to **nie** to samo co \\(x^2 = -5\\) (brak rozwiązań rzeczywistych). Tu mamy \\(x^2 = 5 > 0\\), więc są dwa pierwiastki: \\(x = \\sqrt{5}\\) i \\(x = -\\sqrt{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie stopnia 3 ma **zawsze co najmniej jedno** rozwiązanie rzeczywiste (i co najwyżej trzy). Nie kończ na jednym pierwiastku - zawsze rozkładaj dalej!\n\n**Odpowiedź: \\(x\\in\\{-\\sqrt{5},\\ -2,\\ \\sqrt{5}\\}\\).**\n\n### Sposób 1 - Metoda grupowania wyrazów\nGrupujemy wyrazy parami:\n\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10=x^{2}(x+2)-5(x+2)=(x+2)(x^{2}-5).\\]\nRównanie \\((x+2)(x^{2}-5)=0\\) jest spełnione, gdy \\(x+2=0\\) lub \\(x^{2}-5=0\\):\n\\[x=-2 \\quad\\text{lub}\\quad x^{2}=5 \\implies x=\\pm\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Metoda dzielenia wielomianu\nSprawdzamy, że \\(-2\\) jest pierwiastkiem:\n\\(W(-2)=-8+8+10-10=0\\) ✓.\nDzielimy \\(x^{3}+2x^{2}-5x-10\\) przez \\(x+2\\):\n\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10 = (x+2)(x^{2}-5).\\]\nRozkładamy \\(x^{2}-5=(x-\\sqrt{5})(x+\\sqrt{5})\\).\n\n### Sposób 3 - Pełny rozkład\n\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10=(x+2)(x-\\sqrt{5})(x+\\sqrt{5})=0.\\]\nStąd trzy pierwiastki: \\(x=-2, \\sqrt{5}, -\\sqrt{5}\\).\n\n### Weryfikacja\n- \\(x=-2\\): \\(-8+8+10-10=0\\) ✓\n- \\(x=\\sqrt{5}\\): \\(5\\sqrt{5}+10-5\\sqrt{5}-10=0\\) ✓\n- \\(x=-\\sqrt{5}\\): \\(-5\\sqrt{5}+10+5\\sqrt{5}-10=0\\) ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{x=-2 \\ \\text{lub}\\ x=-\\sqrt{5} \\ \\text{lub}\\ x=\\sqrt{5}.}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
7
4
28
0
x
x
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
11
Rozwiąż równanie x^3-7x^2-4x+28=0.

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Rozwiązanie równania wielomianowego
I sposób rozwiązania (metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania
wyrazów
(
)
(
)
2
2
4
7
4
0
x x
x
lub
(
)
(
)
2
7
4
7
0
x
x
x
(
)(
)
2
7
4
0
x
x
Stąd
7
x =
lub
2
x = - lub
2
x =
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np.:
(
)
(
)
2
2
4
7
4
0
x x
x
lub
(
)
(
)
2
7
4
7
0
x
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błąd
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
7
x =
lub
2
x = - lub
2
x =
II sposób rozwiązania (metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
7
4
28
x
x
x
. Dzielimy
wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian (
)
2
x
. Otrzymujemy iloraz (
)
2
5
14
x
x
Zapisujemy równanie w postaci (
)(
)
2
2
5
14
0
x
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
2
2
7
0
x
x
x
i
7
x =
lub
2
x = - lub
2
x =
albo
Stwierdzamy, że liczba 2

\n\n

3
2
7
4
28
x
x
x
. Dzielimy
wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian (
)
2
x +
. Otrzymujemy iloraz (
)
2
9
14
x
x
Zapisujemy równanie w postaci (
)(
)
2
2
9
14
0
x
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
2
2
7
0
x
x
x
i
2
x = - lub
2
x =
lub
7
x =
albo
Stwierdzamy, że liczba 7 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
7
4
28
x
x
x
. Dzielimy
wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian (
)
7
x -
. Otrzymujemy iloraz (
)
2
4
x -
Zapisujemy równanie w postaci (
)(
)
2
7
4
0
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
7
2
2
0
x
x
x
i
7
x =
lub
2
x = - lub
2
x =
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
9
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian (
)
2
x
, otrzyma iloraz
(
)
2
5
14
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian (
)
2
x +
, otrzyma iloraz
(
)
2
9
14
x
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez dwumian (
)
7
x
, otrzyma iloraz (
)
2
4
x
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd
albo
• podzieli wielomian
3
2
7
4
28
x
x
x
przez trójmian np. (
)(
)
2
7
x
x
i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy
• wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:
2,
2,
7
x
x
x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja)

\n

Zauważamy, że wielomian \\(x^3 + 2x^2 - 5x - 10\\) ma cztery wyrazy - to sygnał, żeby spróbować grupowania.

\n

Grupujemy po dwa wyrazy:

\n

\\[x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = (x^3 + 2x^2) + (-5x - 10)\\]

\n

Wyłączamy wspólny czynnik z każdej grupy:

\n

\\[= x^2(x + 2) - 5(x + 2)\\]

\n

Teraz oba składniki mają wspólny czynnik \\((x + 2)\\) - wyłączamy go:

\n

\\[= (x + 2)(x^2 - 5)\\]

\n

Równanie przybiera postać:

\n

\\[(x + 2)(x^2 - 5) = 0\\]

\n

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem:

\n

Czynnik 1:
\\[x + 2 = 0 \\implies x = -2\\]

\n

Czynnik 2:
\\[x^2 - 5 = 0 \\implies x^2 = 5 \\implies x = \\sqrt{5} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{5}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 2 - Zgadnięcie pierwiastka wymiernego + dzielenie wielomianów

\n

Krok 1: Szukamy pierwiastka wymiernego.

\n

Jeśli wielomian \\(w(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\\) ma pierwiastek wymierny, to musi to być dzielnik wyrazu wolnego \\(-10\\):

\n

Kandydaci: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 5, \\pm 10\\)

\n

Sprawdzamy \\(x = -2\\):

\n

\\[w(-2) = (-2)^3 + 2 \\cdot (-2)^2 - 5 \\cdot (-2) - 10 = -8 + 8 + 10 - 10 = 0 \\checkmark\\]

\n

Zatem \\((x + 2)\\) jest czynnikiem wielomianu.

\n

Krok 2: Dzielenie wielomianu przez \\((x + 2)\\) - schemat Hornera.

\n

Współczynniki: \\(1, \\quad 2, \\quad -5, \\quad -10\\), pierwiastek \\(-2\\):

\n

| | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(-5\\) | \\(-10\\) |
| | \\(\\downarrow\\) | \\(-2\\) | \\(0\\) | \\(10\\) |
| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-5\\) | \\(0\\) |

\n

Iloraz to \\(x^2 + 0x - 5 = x^2 - 5\\), reszta \\(= 0\\).

\n

Zatem:
\\[x^3 + 2x^2 - 5x - 10 = (x+2)(x^2 - 5)\\]

\n

Krok 3: Rozwiązujemy \\(x^2 - 5 = 0\\):

\n

\\[x^2 = 5 \\implies x = \\pm\\sqrt{5}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x = -2\\) lub \\(x = \\sqrt{5}\\) lub \\(x = -\\sqrt{5}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą:

\n\n

Schemat Hornera nie jest umieszczony na karcie wzorów, ale jest standardową techniką kursu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy grupowaniu pamiętaj o znaku! Z grupy \\((-5x - 10)\\) wyłączamy \\(-5\\), co daje \\(-5(x + 2)\\) - nie \\(-5(x - 2)\\). Sprawdź przez rozwinięcie.
\n
⚠️ Uwaga: \\(x^2 - 5 = 0\\) to nie to samo co \\(x^2 = -5\\) (brak rozwiązań rzeczywistych). Tu mamy \\(x^2 = 5 > 0\\), więc są dwa pierwiastki: \\(x = \\sqrt{5}\\) i \\(x = -\\sqrt{5}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Równanie stopnia 3 ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (i co najwyżej trzy). Nie kończ na jednym pierwiastku - zawsze rozkładaj dalej!
\n

Odpowiedź: \\(x\\in\\{-\\sqrt{5},\\ -2,\\ \\sqrt{5}\\}\\).

\n
Sposób 1 - Metoda grupowania wyrazów
\n

Grupujemy wyrazy parami:
\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10=x^{2}(x+2)-5(x+2)=(x+2)(x^{2}-5).\\]
Równanie \\((x+2)(x^{2}-5)=0\\) jest spełnione, gdy \\(x+2=0\\) lub \\(x^{2}-5=0\\):
\\[x=-2 \\quad\\text{lub}\\quad x^{2}=5 \\implies x=\\pm\\sqrt{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Metoda dzielenia wielomianu
\n

Sprawdzamy, że \\(-2\\) jest pierwiastkiem:
\\(W(-2)=-8+8+10-10=0\\) ✓.
Dzielimy \\(x^{3}+2x^{2}-5x-10\\) przez \\(x+2\\):
\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10 = (x+2)(x^{2}-5).\\]
Rozkładamy \\(x^{2}-5=(x-\\sqrt{5})(x+\\sqrt{5})\\).

\n
Sposób 3 - Pełny rozkład
\n

\\[x^{3}+2x^{2}-5x-10=(x+2)(x-\\sqrt{5})(x+\\sqrt{5})=0.\\]
Stąd trzy pierwiastki: \\(x=-2, \\sqrt{5}, -\\sqrt{5}\\).

\n
Weryfikacja
\n\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{x=-2 \\ \\text{lub}\\ x=-\\sqrt{5} \\ \\text{lub}\\ x=\\sqrt{5}.}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 7$ lub $x = -2$ lub $x = 2$

"}]}