{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nTrójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku\n(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD\nBE\nA\nB\nC\nD\nE\nNr zadania\n26.\n27.\n28.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n12\nTrójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD|=|BE|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nRozumowania\ni argumentacji\nPrzeprowadzenie dowodu geometrycznego\nskładającego się z niewielkiej liczby kroków\nRozwiązanie\nDorysowujemy odcinki AD i BE. Pokazujemy, że trójkąty ACD i BCE są przystające:\nAC\nBC\n, bo trójkąt ABC jest równoramienny\nCD\nCE\n, bo trójkąt CDE jest równoramienny\n90\nACD\nDCB\nBCE\n°-\n\n\n\n• Stosujemy cechę przystawania bkb\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• napisze, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże AD\nBE\nalbo\n• zapisze, że AC\nBC\n, CD\nCE\ni\nACD\nBCE\n\n\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy poprawnie uzasadni, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,\nże AD\nBE\n. Wymagamy udowodnienia równości kątów ACD i BCE.\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n10","solution":"## Poprawna odpowiedź: przyprostokątne mają długości \\(9\\) cm i \\(40\\) cm, przeciwprostokątna - \\(41\\) cm.\n\n## Sposób 1 - Układanie równania i twierdzenie Pitagorasa\n\n**Oznaczenia.** Niech:\n- \\(c\\) - długość przeciwprostokątnej (w cm),\n- \\(a\\) - dłuższa przyprostokątna,\n- \\(b\\) - krótsza przyprostokątna.\n\n**Tłumaczenie treści na równania.** Przeciwprostokątna jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o \\(1\\), a od drugiej o \\(32\\):\n\\[c = a + 1 \\implies a = c - 1\\]\n\\[c = b + 32 \\implies b = c - 32\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\\[(c-1)^2 + (c-32)^2 = c^2\\]\n\n**Rozwijamy kwadraty (wzory skróconego mnożenia):**\n\\[c^2 - 2c + 1 + c^2 - 64c + 1024 = c^2\\]\n\\[2c^2 - 66c + 1025 = c^2\\]\n\\[c^2 - 66c + 1025 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = (-66)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1025 = 4356 - 4100 = 256\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 16\\]\n\n**Pierwiastki:**\n\\[c_1 = \\frac{66 + 16}{2} = \\frac{82}{2} = 41\\]\n\\[c_2 = \\frac{66 - 16}{2} = \\frac{50}{2} = 25\\]\n\n**Sprawdzamy oba przypadki - czy długości boków są dodatnie:**\n\nDla \\(c_1 = 41\\):\n\\[a = 41 - 1 = 40, \\quad b = 41 - 32 = 9\\]\nObie wartości są dodatnie - **rozwiązanie geometrycznie poprawne** ✓\n\nDla \\(c_2 = 25\\):\n\\[a = 25 - 1 = 24, \\quad b = 25 - 32 = -7\\]\nUjemna długość boku - **rozwiązanie odrzucamy** ✗\n\n**Odpowiedź:** Boki trójkąta mają długości \\(\\mathbf{9 \\text{ cm}, \\ 40 \\text{ cm}, \\ 41 \\text{ cm}}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa)\n\nSprawdzamy, czy trójkąt \\(9, 40, 41\\) jest prostokątny:\n\\[9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2\\]\n\\[41^2 = 1681 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy warunki z treści:\n- Przeciwprostokątna dłuższa od \\(40\\) o \\(1\\): \\(\\quad 41 - 40 = 1\\) ✓\n- Przeciwprostokątna dłuższa od \\(9\\) o \\(32\\): \\(\\quad 41 - 9 = 32\\) ✓\n\nRozwiązanie jest poprawne. Trójkąt \\(9\\text{-}40\\text{-}41\\) to jedna z klasycznych pitagorejskich trójek liczb całkowitych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do zbudowania równania i w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(c^2 - 66c + 1025 = 0\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyte przy rozwijaniu \\((c-1)^2\\) i \\((c-32)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy oba rozwiązania równania kwadratowego są geometrycznie sensowne - długości boków muszą być **dodatnie**. Tu \\(c = 25\\) daje \\(b = -7\\), więc je odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że przeciwprostokątna jest **największym** bokiem trójkąta prostokątnego. Zatem \\(c > a\\) i \\(c > b\\) - różnice muszą być nieujemne. To szybki test po otrzymaniu wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozwijając \\((c-32)^2\\), łatwo o błąd w środkowym wyrazie: \\((c-32)^2 = c^2 - 64c + 1024\\), nie \\(c^2 - 32c + 1024\\). Sprawdź dwukrotnie mnożenie \\(2 \\cdot c \\cdot 32 = 64c\\).\n\n**Odpowiedź: boki \\(9\\) cm, \\(40\\) cm i \\(41\\) cm.**\n\n### Sposób 1 - Oznaczenia z przeciwprostokątną \\(x\\)\nNiech \\(x\\) - długość przeciwprostokątnej. Wtedy:\n- pierwsza przyprostokątna: \\(x-1\\),\n- druga przyprostokątna: \\(x-32\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (\\(x>32\\)):\n\\[(x-1)^{2}+(x-32)^{2}=x^{2}.\\]\nRozwijamy:\n\\[x^{2}-2x+1+x^{2}-64x+1024=x^{2}\\]\n\\[x^{2}-66x+1025=0.\\]\n\\[\\Delta=66^{2}-4\\cdot 1025=4356-4100=256.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta}=16.\\]\n\\[x_{1}=\\dfrac{66-16}{2}=25, \\qquad x_{2}=\\dfrac{66+16}{2}=41.\\]\nWarunek \\(x>32\\) spełnia tylko \\(x=41\\).\n\n### Obliczenia boków\n- przeciwprostokątna: \\(41\\) cm,\n- pierwsza przyprostokątna: \\(41-1=40\\) cm,\n- druga przyprostokątna: \\(41-32=9\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Oznaczenia z przyprostokątną \\(x\\)\nNiech druga przyprostokątna wynosi \\(x\\). Wtedy przeciwprostokątna \\(x+32\\), pierwsza przyprostokątna \\(x+31\\).\n\\[x^{2}+(x+31)^{2}=(x+32)^{2}\\]\n\\[x^{2}-2x-63=0.\\]\n\\[\\Delta=4+252=256;\\ x=\\dfrac{2\\pm 16}{2}.\\]\n\\(x=9\\) (bo \\(x>0\\)). Boki: \\(9\\), \\(40\\), \\(41\\).\n\n### Weryfikacja (twierdzenie Pitagorasa)\n\\(9^{2}+40^{2}=81+1600=1681=41^{2}\\) ✓.\n\nWarunki zadania:\n- \\(41-40=1\\) ✓\n- \\(41-9=32\\) ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{\\text{Boki trójkąta: } 9\\text{ cm},\\ 40\\text{ cm},\\ 41\\text{ cm.}}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku
(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD
BE
A
B
C
D
E
Nr zadania
26.
27.
28.
Maks. liczba pkt
2
2
2
Wypełnia
egzaminator Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
12
Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że |AD|=|BE|.

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Rozumowania
i argumentacji
Przeprowadzenie dowodu geometrycznego
składającego się z niewielkiej liczby kroków
Rozwiązanie
Dorysowujemy odcinki AD i BE. Pokazujemy, że trójkąty ACD i BCE są przystające:
AC
BC
, bo trójkąt ABC jest równoramienny
CD
CE
, bo trójkąt CDE jest równoramienny
90
ACD
DCB
BCE
°-



• Stosujemy cechę przystawania bkb
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
• napisze, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,
że AD
BE
albo
• zapisze, że AC
BC
, CD
CE
i
ACD
BCE


Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy poprawnie uzasadni, że trójkąty ACD i BCE są przystające i wyprowadzi stąd wniosek,
że AD
BE
. Wymagamy udowodnienia równości kątów ACD i BCE.
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
10

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: przyprostokątne mają długości \\(9\\) cm i \\(40\\) cm, przeciwprostokątna - \\(41\\) cm.

\n

Sposób 1 - Układanie równania i twierdzenie Pitagorasa

\n

Oznaczenia. Niech:

\n\n

Tłumaczenie treści na równania. Przeciwprostokątna jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o \\(1\\), a od drugiej o \\(32\\):
\\[c = a + 1 \\implies a = c - 1\\]
\\[c = b + 32 \\implies b = c - 32\\]

\n

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
\\[(c-1)^2 + (c-32)^2 = c^2\\]

\n

Rozwijamy kwadraty (wzory skróconego mnożenia):
\\[c^2 - 2c + 1 + c^2 - 64c + 1024 = c^2\\]
\\[2c^2 - 66c + 1025 = c^2\\]
\\[c^2 - 66c + 1025 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = (-66)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1025 = 4356 - 4100 = 256\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 16\\]

\n

Pierwiastki:
\\[c_1 = \\frac{66 + 16}{2} = \\frac{82}{2} = 41\\]
\\[c_2 = \\frac{66 - 16}{2} = \\frac{50}{2} = 25\\]

\n

Sprawdzamy oba przypadki - czy długości boków są dodatnie:

\n

Dla \\(c_1 = 41\\):
\\[a = 41 - 1 = 40, \\quad b = 41 - 32 = 9\\]
Obie wartości są dodatnie - rozwiązanie geometrycznie poprawne ✓

\n

Dla \\(c_2 = 25\\):
\\[a = 25 - 1 = 24, \\quad b = 25 - 32 = -7\\]
Ujemna długość boku - rozwiązanie odrzucamy ✗

\n

Odpowiedź: Boki trójkąta mają długości \\(\\mathbf{9 \\text{ cm}, \\ 40 \\text{ cm}, \\ 41 \\text{ cm}}\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa)

\n

Sprawdzamy, czy trójkąt \\(9, 40, 41\\) jest prostokątny:
\\[9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2\\]
\\[41^2 = 1681 \\quad \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy warunki z treści:

\n\n

Rozwiązanie jest poprawne. Trójkąt \\(9\\text{-}40\\text{-}41\\) to jedna z klasycznych pitagorejskich trójek liczb całkowitych.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte w Sposobie 1 do zbudowania równania i w Sposobie 2 do weryfikacji.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte do rozwiązania równania \\(c^2 - 66c + 1025 = 0\\).

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyte przy rozwijaniu \\((c-1)^2\\) i \\((c-32)^2\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj, czy oba rozwiązania równania kwadratowego są geometrycznie sensowne - długości boków muszą być dodatnie. Tu \\(c = 25\\) daje \\(b = -7\\), więc je odrzucamy.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że przeciwprostokątna jest największym bokiem trójkąta prostokątnego. Zatem \\(c > a\\) i \\(c > b\\) - różnice muszą być nieujemne. To szybki test po otrzymaniu wyniku.
\n
⚠️ Uwaga: Rozwijając \\((c-32)^2\\), łatwo o błąd w środkowym wyrazie: \\((c-32)^2 = c^2 - 64c + 1024\\), nie \\(c^2 - 32c + 1024\\). Sprawdź dwukrotnie mnożenie \\(2 \\cdot c \\cdot 32 = 64c\\).
\n

Odpowiedź: boki \\(9\\) cm, \\(40\\) cm i \\(41\\) cm.

\n
Sposób 1 - Oznaczenia z przeciwprostokątną \\(x\\)
\n

Niech \\(x\\) - długość przeciwprostokątnej. Wtedy:

\n\n

Z twierdzenia Pitagorasa (\\(x>32\\)):
\\[(x-1)^{2}+(x-32)^{2}=x^{2}.\\]
Rozwijamy:
\\[x^{2}-2x+1+x^{2}-64x+1024=x^{2}\\]
\\[x^{2}-66x+1025=0.\\]
\\[\\Delta=66^{2}-4\\cdot 1025=4356-4100=256.\\]
\\[\\sqrt{\\Delta}=16.\\]
\\[x_{1}=\\dfrac{66-16}{2}=25, \\qquad x_{2}=\\dfrac{66+16}{2}=41.\\]
Warunek \\(x>32\\) spełnia tylko \\(x=41\\).

\n
Obliczenia boków
\n\n
Sposób 2 - Oznaczenia z przyprostokątną \\(x\\)
\n

Niech druga przyprostokątna wynosi \\(x\\). Wtedy przeciwprostokątna \\(x+32\\), pierwsza przyprostokątna \\(x+31\\).
\\[x^{2}+(x+31)^{2}=(x+32)^{2}\\]
\\[x^{2}-2x-63=0.\\]
\\[\\Delta=4+252=256;\\ x=\\dfrac{2\\pm 16}{2}.\\]
\\(x=9\\) (bo \\(x>0\\)). Boki: \\(9\\), \\(40\\), \\(41\\).

\n
Weryfikacja (twierdzenie Pitagorasa)
\n

\\(9^{2}+40^{2}=81+1600=1681=41^{2}\\) ✓.

\n

Warunki zadania:

\n\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{\\text{Boki trójkąta: } 9\\text{ cm},\\ 40\\text{ cm},\\ 41\\text{ cm.}}\\]

"}]}