{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt α jest ostry i\n5\ntg\n12\nα =\n. Oblicz cosα .\nOdpowiedź:\nKąt alfa jest ostry i tg alfa = 5/12. Oblicz cos alfa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nUżycie i tworzenie\nstrategii\nWyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych\nkąta ostrego\nI sposób rozwiązania (jedynka trygonometryczna)\n2\n2\nsin\n5\ncos\n12\nsin\ncos\n1\nα\nα\nα\nα\n\n\n\n\n2\n2\n5\nsin\ncos\n12\n5 cos\ncos\n1\n12\nα\nα\nα\nα\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n25 cos\ncos\n1\n144\nα\nα\n2\n144\ncos\ni\ncos\n0\n169\nα\nα\n>\n12\ncos\n13\nα =\n2\n2\n12\ncos\nsin\n5\n12 sin\nsin\n1\n5\nα\nα\nα\nα\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n144 sin\nsin\n1\n25\nα\nα\n2\n25\nsin\ni\nsin\n0\n169\nα\nα\n>\n5\n12\nsin\ni st\nąd cos\n13\n13\nα\nα\nII sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)\n12x\n5x\nc\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n12\n5\nc\nx\nx\n13\nc\nx\n12\ncos\n13\nα =\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko cosα\ni wykorzysta „jedynkę trygonometryczną”, np.\n5\nsin\ncos\n12\nα\nα\n,\n2\n2\n25 cos\ncos\n1\n144\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα\ni wykorzysta „jedynkę trygonometryczną”, np.\n12\ncos\nsin\n5\nα\nα\n,\n2\n2\n144 sin\nsin\n1\n25\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd\nalbo\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα np.\n2\n2\n25\nsin\n144\n1 sin\nα\nα\nlub\n2\n2\n25\n25sin\n144sin\nα\nα\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni\nbłąd\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n11\nalbo\n• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα i tgα , np.\n2\n2\n2\ntg\ncos\ncos\n1\nα\nα\nα\n⋅\n= lub\n(\n)\n2\n2\ncos\ntg\n1\n1\nα\nα +\n= i na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błąd\nalbo\n• obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym oraz zapisze sinα i na\ntym zakończy\nalbo\n• obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych\ndługości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym i zapisze cosα\nalbo\n• narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 5 (lub ich\nwielokrotności), obliczy długość przeciwprostokątnej i zaznaczy w tym trójkącie\npoprawnie kąt α\nalbo\n• odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta α :\n22\nα ≈\n° (akceptujemy wynik\n23\nα ≈\n°)\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy\n• obliczy wartość cosα :\n12\ncos\n13\nα =\nalbo\n• obliczy przybliżoną wartość cosα : cos22\n0,9272\n° ≈\nlub cos23\n0,9205\n° ≈","solution":"## Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - dowód)\n\nCelem jest wykazanie, że punkty \\(B\\), \\(P\\) i \\(D\\) są współliniowe, czyli leżą na jednej prostej.\n\n## Sposób 1 - Kąt Talesa (kąt wpisany w półkolu)\n\n**Kluczowe narzędzie**: Jeśli punkt leży na okręgu, którego cięciwą jest średnica, to kąt zawarty w tym półkolu wynosi \\(90°\\).\n\n**Krok 1: Kąt przy \\(P\\) w okręgu o średnicy \\(AB\\)**\n\nPunkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\), więc odcinek \\(AB\\) jest średnicą tego okręgu. Z twierdzenia Talesa:\n\\[\\angle APB = 90°\\]\n\nTo znaczy: **\\(PA \\perp PB\\)** - odcinki \\(PA\\) i \\(PB\\) są prostopadłe w punkcie \\(P\\).\n\n**Krok 2: Kąt przy \\(P\\) w okręgu o średnicy \\(AD\\)**\n\nPunkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AD\\), więc odcinek \\(AD\\) jest średnicą tego okręgu. Ponownie z twierdzenia Talesa:\n\\[\\angle APD = 90°\\]\n\nTo znaczy: **\\(PA \\perp PD\\)** - odcinki \\(PA\\) i \\(PD\\) są prostopadłe w punkcie \\(P\\).\n\n**Krok 3: Wniosek o współliniowości**\n\nZ kroków 1 i 2 wynika, że zarówno prosta \\(PB\\), jak i prosta \\(PD\\) są prostopadłe do prostej \\(PA\\) w tym samym punkcie \\(P\\).\n\nW płaszczyźnie przez dany punkt do danej prostej poprowadzić można **dokładnie jedną prostopadłą**. Zatem proste \\(PB\\) i \\(PD\\) są tą samą prostą.\n\n**Punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) leżą na jednej prostej. \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - Metoda współrzędnych (algebraiczny dowód)\n\nWprowadźmy układ współrzędnych z wierzchołkiem \\(A\\) w początku układu:\n\\[A = (0, 0),\\quad B = (a, 0),\\quad C = (a, b),\\quad D = (0, b)\\]\n\n**Równanie okręgu o średnicy \\(AB\\):**\n\nŚrodek \\(\\left(\\frac{a}{2}, 0\\right)\\), promień \\(\\frac{a}{2}\\):\n\\[\\left(x - \\frac{a}{2}\\right)^2 + y^2 = \\frac{a^2}{4}\\]\n\\[x^2 + y^2 = ax \\quad \\text{ (1)}\\]\n\n**Równanie okręgu o średnicy \\(AD\\):**\n\nŚrodek \\(\\left(0, \\frac{b}{2}\\right)\\), promień \\(\\frac{b}{2}\\):\n\\[x^2 + \\left(y - \\frac{b}{2}\\right)^2 = \\frac{b^2}{4}\\]\n\\[x^2 + y^2 = by \\quad \\text{ (2)}\\]\n\n**Punkt \\(P\\)** spełnia oba równania. Z (1) i (2):\n\\[ax = by \\implies x = \\frac{by}{a}\\]\n\nPodstawiamy do (1) (wykluczając \\(P = A\\), czyli \\(y = 0\\)):\n\\[\\frac{b^2y^2}{a^2} + y^2 = ay \\cdot \\frac{b}{a} \\implies y \\cdot \\frac{a^2 + b^2}{a^2} = b \\implies y = \\frac{a^2 b}{a^2 + b^2}\\]\n\\[x = \\frac{ab^2}{a^2 + b^2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = \\left(\\frac{ab^2}{a^2+b^2},\\; \\frac{a^2 b}{a^2+b^2}\\right)\\]\n\n**Sprawdzamy, czy \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\):**\n\nRównanie prostej przez \\(B = (a, 0)\\) i \\(D = (0, b)\\):\n\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1 \\iff bx + ay = ab\\]\n\nPodstawiamy współrzędne \\(P\\):\n\\[b \\cdot \\frac{ab^2}{a^2+b^2} + a \\cdot \\frac{a^2 b}{a^2+b^2} = \\frac{ab^3 + a^3b}{a^2+b^2} = \\frac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = ab \\checkmark\\]\n\n**Punkt \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\), zatem \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe. \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)** - twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półkole:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu wynosi \\(90°\\).\n\nFormalnie: jeśli \\(AB\\) jest średnicą okręgu i \\(P\\) leży na tym okręgu (\\(P \\neq A, B\\)), to:\n\\[\\angle APB = 90°\\]\n\nUżyliśmy tego twierdzenia dwukrotnie - dla okręgu o średnicy \\(AB\\) i okręgu o średnicy \\(AD\\).\n\nW Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na **równanie okręgu** (**Dział 11, Geometria analityczna, s. 24**):\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo stwierdzenie \"\\(\\angle APB = 90°\\) i \\(\\angle APD = 90°\\)\" nie wystarczy - trzeba **wyjaśnić, dlaczego** z tego wynika współliniowość. Kluczowy argument: przez punkt \\(P\\) do prostej \\(PA\\) można poprowadzić tylko jedną prostopadłą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt Talesa dotyczy tylko punktów leżących **na** okręgu z daną średnicą - nie można go stosować do dowolnych punktów wewnątrz lub na zewnątrz okręgu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 należy zadbać o to, że \\(P \\neq A\\) - punkt \\(A\\) też leży na obu okręgach, ale to \\(P\\) jest drugim punktem przecięcia, dla którego teza ma sens.\n\n**Teza: punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe.**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy (Thales)\nJeśli bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego, to przeciwległy kąt wpisany ma miarę \\(90°\\) (twierdzenie Thalesa).\n\n**Krok 1.** Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AD\\).\nKąt wpisany \\(\\angle APD\\) oparty jest na średnicy \\(AD\\), więc:\n\\[|\\angle APD|=90°.\\]\n\n**Krok 2.** Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\).\nKąt wpisany \\(\\angle APB\\) oparty jest na średnicy \\(AB\\), więc:\n\\[|\\angle APB|=90°.\\]\n\n**Krok 3.** Suma tych kątów:\n\\[|\\angle DPB|=|\\angle APD|+|\\angle APB|=90°+90°=180°.\\]\n\nKąt \\(180°\\) między odcinkami \\(PD\\) i \\(PB\\) oznacza, że punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) leżą na jednej prostej.\n\n\\[\\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Metoda analityczna\nUstawiamy układ współrzędnych: \\(A=(0,0)\\), \\(B=(2a,0)\\), \\(D=(0,2b)\\), \\(C=(2a,2b)\\).\n\nOkrąg o średnicy \\(AB\\): środek \\((a,0)\\), promień \\(a\\): \\((x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\\).\nOkrąg o średnicy \\(AD\\): środek \\((0,b)\\), promień \\(b\\): \\(x^{2}+(y-b)^{2}=b^{2}\\).\n\nRozwiązując układ (odejmując równania), otrzymujemy współrzędne \\(P\\):\n\\[P=\\left(\\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},\\ \\dfrac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}\\right).\\]\n\nPrzekątna \\(BD\\): \\(\\dfrac{x}{2a}+\\dfrac{y}{2b}=1\\).\n\nPodstawiamy współrzędne \\(P\\):\n\\[\\dfrac{1}{2a}\\cdot\\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\\dfrac{1}{2b}\\cdot\\dfrac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}=\\dfrac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1.\\]\n\nWięc \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\), czyli punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Intuicja\nPunkt \\(P\\) jest rzutem prostopadłym \\(A\\) na przekątną \\(BD\\) prostokąta - bo jest jednoczesnym \"spodkiem\" obu średnic.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (2 pkt)<br>Kąt α jest ostry i<br>5<br>tg<br>12<br>α =<br>. Oblicz cosα .<br>Odpowiedź:<br>Kąt alfa jest ostry i tg alfa = 5/12. Oblicz cos alfa.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Użycie i tworzenie<br>strategii<br>Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych<br>kąta ostrego<br>I sposób rozwiązania (jedynka trygonometryczna)<br>2<br>2<br>sin<br>5<br>cos<br>12<br>sin<br>cos<br>1<br>α<br>α<br>α<br>α<br><br><br><br><br>2<br>2<br>5<br>sin<br>cos<br>12<br>5 cos<br>cos<br>1<br>12<br>α<br>α<br>α<br>α<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>2<br>2<br>25 cos<br>cos<br>1<br>144<br>α<br>α<br>2<br>144<br>cos<br>i<br>cos<br>0<br>169<br>α<br>α</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>12<br>cos<br>13<br>α =<br>2<br>2<br>12<br>cos<br>sin<br>5<br>12 sin<br>sin<br>1<br>5<br>α<br>α<br>α<br>α<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>2<br>2<br>144 sin<br>sin<br>1<br>25<br>α<br>α<br>2<br>25<br>sin<br>i<br>sin<br>0<br>169<br>α<br>α</p>\n<blockquote></blockquote>\n<p>5<br>12<br>sin<br>i st<br>ąd cos<br>13<br>13<br>α<br>α<br>II sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)<br>12x<br>5x<br>c<br>(<br>)<br>(<br>)<br>2<br>2<br>2<br>12<br>5<br>c<br>x<br>x<br>13<br>c<br>x<br>12<br>cos<br>13<br>α =<br>Schemat oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 pkt<br>gdy<br>• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko cosα<br>i wykorzysta „jedynkę trygonometryczną”, np.<br>5<br>sin<br>cos<br>12<br>α<br>α<br>,<br>2<br>2<br>25 cos<br>cos<br>1<br>144<br>α<br>α<br>i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd<br>albo<br>• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα<br>i wykorzysta „jedynkę trygonometryczną”, np.<br>12<br>cos<br>sin<br>5<br>α<br>α<br>,<br>2<br>2<br>144 sin<br>sin<br>1<br>25<br>α<br>α<br>i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd<br>albo<br>• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα np.<br>2<br>2<br>25<br>sin<br>144<br>1 sin<br>α<br>α<br>lub<br>2<br>2<br>25<br>25sin<br>144sin<br>α<br>α<br>i na tym poprzestanie lub dalej popełni<br>błąd<br>Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy<br>11<br>albo<br>• przekształci dane wyrażenie do postaci wyrażenia zawierającego tylko sinα i tgα , np.<br>2<br>2<br>2<br>tg<br>cos<br>cos<br>1<br>α<br>α<br>α<br>⋅<br>= lub<br>(<br>)<br>2<br>2<br>cos<br>tg<br>1<br>1<br>α<br>α +<br>= i na tym poprzestanie lub dalej<br>popełni błąd<br>albo<br>• obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych<br>długości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym oraz zapisze sinα i na<br>tym zakończy<br>albo<br>• obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych<br>długości 12 i 5 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym i zapisze cosα<br>albo<br>• narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 5 (lub ich<br>wielokrotności), obliczy długość przeciwprostokątnej i zaznaczy w tym trójkącie<br>poprawnie kąt α<br>albo<br>• odczyta z tablic przybliżoną wartość kąta α :<br>22<br>α ≈<br>° (akceptujemy wynik<br>23<br>α ≈<br>°)<br>i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy<br>Zdający otrzymuje 2 pkt<br>gdy<br>• obliczy wartość cosα :<br>12<br>cos<br>13<br>α =<br>albo<br>• obliczy przybliżoną wartość cosα : cos22<br>0,9272<br>° ≈<br>lub cos23<br>0,9205<br>° ≈</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - dowód)</h4>\n<p>Celem jest wykazanie, że punkty \\(B\\), \\(P\\) i \\(D\\) są współliniowe, czyli leżą na jednej prostej.</p>\n<h4>Sposób 1 - Kąt Talesa (kąt wpisany w półkolu)</h4>\n<p><strong>Kluczowe narzędzie</strong>: Jeśli punkt leży na okręgu, którego cięciwą jest średnica, to kąt zawarty w tym półkolu wynosi \\(90°\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Kąt przy \\(P\\) w okręgu o średnicy \\(AB\\)</strong></p>\n<p>Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\), więc odcinek \\(AB\\) jest średnicą tego okręgu. Z twierdzenia Talesa:<br>\\[\\angle APB = 90°\\]</p>\n<p>To znaczy: <strong>\\(PA \\perp PB\\)</strong> - odcinki \\(PA\\) i \\(PB\\) są prostopadłe w punkcie \\(P\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Kąt przy \\(P\\) w okręgu o średnicy \\(AD\\)</strong></p>\n<p>Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AD\\), więc odcinek \\(AD\\) jest średnicą tego okręgu. Ponownie z twierdzenia Talesa:<br>\\[\\angle APD = 90°\\]</p>\n<p>To znaczy: <strong>\\(PA \\perp PD\\)</strong> - odcinki \\(PA\\) i \\(PD\\) są prostopadłe w punkcie \\(P\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Wniosek o współliniowości</strong></p>\n<p>Z kroków 1 i 2 wynika, że zarówno prosta \\(PB\\), jak i prosta \\(PD\\) są prostopadłe do prostej \\(PA\\) w tym samym punkcie \\(P\\).</p>\n<p>W płaszczyźnie przez dany punkt do danej prostej poprowadzić można <strong>dokładnie jedną prostopadłą</strong>. Zatem proste \\(PB\\) i \\(PD\\) są tą samą prostą.</p>\n<p><strong>Punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) leżą na jednej prostej. \\(\\blacksquare\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Metoda współrzędnych (algebraiczny dowód)</h4>\n<p>Wprowadźmy układ współrzędnych z wierzchołkiem \\(A\\) w początku układu:<br>\\[A = (0, 0),\\quad B = (a, 0),\\quad C = (a, b),\\quad D = (0, b)\\]</p>\n<p><strong>Równanie okręgu o średnicy \\(AB\\):</strong></p>\n<p>Środek \\(\\left(\\frac{a}{2}, 0\\right)\\), promień \\(\\frac{a}{2}\\):<br>\\[\\left(x - \\frac{a}{2}\\right)^2 + y^2 = \\frac{a^2}{4}\\]<br>\\[x^2 + y^2 = ax \\quad \\text{ (1)}\\]</p>\n<p><strong>Równanie okręgu o średnicy \\(AD\\):</strong></p>\n<p>Środek \\(\\left(0, \\frac{b}{2}\\right)\\), promień \\(\\frac{b}{2}\\):<br>\\[x^2 + \\left(y - \\frac{b}{2}\\right)^2 = \\frac{b^2}{4}\\]<br>\\[x^2 + y^2 = by \\quad \\text{ (2)}\\]</p>\n<p><strong>Punkt \\(P\\)</strong> spełnia oba równania. Z (1) i (2):<br>\\[ax = by \\implies x = \\frac{by}{a}\\]</p>\n<p>Podstawiamy do (1) (wykluczając \\(P = A\\), czyli \\(y = 0\\)):<br>\\[\\frac{b^2y^2}{a^2} + y^2 = ay \\cdot \\frac{b}{a} \\implies y \\cdot \\frac{a^2 + b^2}{a^2} = b \\implies y = \\frac{a^2 b}{a^2 + b^2}\\]<br>\\[x = \\frac{ab^2}{a^2 + b^2}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[P = \\left(\\frac{ab^2}{a^2+b^2},\\; \\frac{a^2 b}{a^2+b^2}\\right)\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\):</strong></p>\n<p>Równanie prostej przez \\(B = (a, 0)\\) i \\(D = (0, b)\\):<br>\\[\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1 \\iff bx + ay = ab\\]</p>\n<p>Podstawiamy współrzędne \\(P\\):<br>\\[b \\cdot \\frac{ab^2}{a^2+b^2} + a \\cdot \\frac{a^2 b}{a^2+b^2} = \\frac{ab^3 + a^3b}{a^2+b^2} = \\frac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2} = ab \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Punkt \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\), zatem \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe. \\(\\blacksquare\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)</strong> - twierdzenie Talesa o kącie wpisanym w półkole:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu wynosi \\(90°\\).</blockquote>\n<p>Formalnie: jeśli \\(AB\\) jest średnicą okręgu i \\(P\\) leży na tym okręgu (\\(P \\neq A, B\\)), to:<br>\\[\\angle APB = 90°\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego twierdzenia dwukrotnie - dla okręgu o średnicy \\(AB\\) i okręgu o średnicy \\(AD\\).</p>\n<p>W Sposobie 2 skorzystaliśmy ze wzoru na <strong>równanie okręgu</strong> (<strong>Dział 11, Geometria analityczna, s. 24</strong>):<br>\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Samo stwierdzenie &quot;\\(\\angle APB = 90°\\) i \\(\\angle APD = 90°\\)&quot; nie wystarczy - trzeba <strong>wyjaśnić, dlaczego</strong> z tego wynika współliniowość. Kluczowy argument: przez punkt \\(P\\) do prostej \\(PA\\) można poprowadzić tylko jedną prostopadłą.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt Talesa dotyczy tylko punktów leżących <strong>na</strong> okręgu z daną średnicą - nie można go stosować do dowolnych punktów wewnątrz lub na zewnątrz okręgu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 1 należy zadbać o to, że \\(P \\neq A\\) - punkt \\(A\\) też leży na obu okręgach, ale to \\(P\\) jest drugim punktem przecięcia, dla którego teza ma sens.</blockquote>\n<p><strong>Teza: punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe.</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy (Thales)</h5>\n<p>Jeśli bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego, to przeciwległy kąt wpisany ma miarę \\(90°\\) (twierdzenie Thalesa).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AD\\).<br>Kąt wpisany \\(\\angle APD\\) oparty jest na średnicy \\(AD\\), więc:<br>\\[|\\angle APD|=90°.\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Punkt \\(P\\) leży na okręgu o średnicy \\(AB\\).<br>Kąt wpisany \\(\\angle APB\\) oparty jest na średnicy \\(AB\\), więc:<br>\\[|\\angle APB|=90°.\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Suma tych kątów:<br>\\[|\\angle DPB|=|\\angle APD|+|\\angle APB|=90°+90°=180°.\\]</p>\n<p>Kąt \\(180°\\) między odcinkami \\(PD\\) i \\(PB\\) oznacza, że punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) leżą na jednej prostej.</p>\n<p>\\[\\blacksquare\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Metoda analityczna</h5>\n<p>Ustawiamy układ współrzędnych: \\(A=(0,0)\\), \\(B=(2a,0)\\), \\(D=(0,2b)\\), \\(C=(2a,2b)\\).</p>\n<p>Okrąg o średnicy \\(AB\\): środek \\((a,0)\\), promień \\(a\\): \\((x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}\\).<br>Okrąg o średnicy \\(AD\\): środek \\((0,b)\\), promień \\(b\\): \\(x^{2}+(y-b)^{2}=b^{2}\\).</p>\n<p>Rozwiązując układ (odejmując równania), otrzymujemy współrzędne \\(P\\):<br>\\[P=\\left(\\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},\\ \\dfrac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}\\right).\\]</p>\n<p>Przekątna \\(BD\\): \\(\\dfrac{x}{2a}+\\dfrac{y}{2b}=1\\).</p>\n<p>Podstawiamy współrzędne \\(P\\):<br>\\[\\dfrac{1}{2a}\\cdot\\dfrac{2ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\\dfrac{1}{2b}\\cdot\\dfrac{2a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}=\\dfrac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1.\\]</p>\n<p>Więc \\(P\\) leży na prostej \\(BD\\), czyli punkty \\(B\\), \\(P\\), \\(D\\) są współliniowe. \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h5>Intuicja</h5>\n<p>Punkt \\(P\\) jest rzutem prostopadłym \\(A\\) na przekątną \\(BD\\) prostokąta - bo jest jednoczesnym &quot;spodkiem&quot; obu średnic.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\cos \\alpha = \\dfrac{12}{13}$</p>"}]}