{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n0\n2\n1\n1\n2\n2\n3\n2\n3\n⎛\n⎞\n⋅\n⎜\n⎟\n⋅\n⎝\n⎠\njest równa\nA. 1\nB. 4\nC. 9\nD. 36\nLiczba (2^{-2}\\c3^{-1} / 2^{-1}\\c3^{-2})^0 jest równa A. 1, B. 4, C. 9, D. 36","answer":"W","answer_text":"Zadanie 3.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nWykorzystanie w obliczeniach praw\ndziałań na potęgach\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - **24 300 zł**\n\n## Sposób 1 - Obliczanie kolejnych obniżek krok po kroku\n\n**Obniżka 1:** Cena wyjściowa to \\(30\\,000\\) zł. Obniżamy o \\(10\\%\\), czyli zostaje \\(90\\%\\) ceny:\n\n\\[30\\,000 \\cdot 0{,}9 = 27\\,000 \\text{ zł}\\]\n\n**Obniżka 2:** Teraz obniżamy cenę \\(27\\,000\\) zł o kolejne \\(10\\%\\), czyli znowu zostaje \\(90\\%\\):\n\n\\[27\\,000 \\cdot 0{,}9 = 24\\,300 \\text{ zł}\\]\n\n**Zatem po obu obniżkach samochód kosztuje \\(24\\,300\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Jeden wzór z mnożnikami procentowymi\n\nKażda obniżka o \\(10\\%\\) to pomnożenie przez współczynnik \\(0{,}9\\). Dwie takie obniżki to:\n\n\\[30\\,000 \\cdot 0{,}9 \\cdot 0{,}9 = 30\\,000 \\cdot (0{,}9)^2\\]\n\n\\[30\\,000 \\cdot 0{,}81 = 24\\,300 \\text{ zł}\\]\n\nCałkowita obniżka wyniosła:\n\n\\[30\\,000 - 24\\,300 = 5\\,700 \\text{ zł}\\]\n\nCo stanowi:\n\n\\[\\frac{5\\,700}{30\\,000} \\cdot 100\\% = 19\\% \\text{ ceny wyjściowej}\\]\n\n- nie \\(20\\%\\)! To ważna obserwacja (patrz pułapki).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nTutaj \\(K_0 = 30\\,000\\), zmiana to obniżka, więc \\(p = -10\\), \\(n = 2\\):\n\n\\[K_2 = 30\\,000 \\cdot \\left(1 - \\frac{10}{100}\\right)^2 = 30\\,000 \\cdot (0{,}9)^2 = 30\\,000 \\cdot 0{,}81 = 24\\,300\\]\n\nTo dokładnie ta sama sytuacja co procent składany - wielokrotne mnożenie przez ten sam współczynnik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Dwie obniżki po \\(10\\%\\) zsumowano jako jedna obniżka \\(20\\%\\): \\(30\\,000 \\cdot 0{,}80 = 24\\,000\\) zł - **BŁĄD**, bo \\(10\\% + 10\\% \\neq 20\\%\\) przy kolejnych obniżkach |\n| B | Policzono \\(10\\%\\) z \\(30\\,000\\) dwukrotnie i odjęto: \\(30\\,000 - 3\\,000 - 3\\,000 = 24\\,000\\) lub podobne błędne działanie |\n| C | Obliczono tylko jedną obniżkę: \\(30\\,000 \\cdot 0{,}9 = 27\\,000\\) zł - pominięto drugą obniżkę |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie obniżki po \\(10\\%\\) to **nie** to samo co jedna obniżka o \\(20\\%\\)! Po pierwszej obniżce podstawa jest mniejsza, więc drugie \\(10\\%\\) liczymy od mniejszej kwoty. Łączna obniżka wynosi tylko \\(19\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze przeliczaj obniżkę procentową jako mnożenie przez współczynnik (\\(0{,}9\\) przy \\(-10\\%\\), \\(1{,}1\\) przy \\(+10\\%\\)). Unikniesz błędu \"od której kwoty liczę procent\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kilku kolejnych zmianach procentowych stosuj wzór \\(K_0 \\cdot (0{,}9)^n\\) - każde mnożenie przez \\(0{,}9\\) to kolejna obniżka o \\(10\\%\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(24300\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Dwukrotne mnożenie przez \\(0{,}9\\)\nPo obniżce o \\(10\\%\\) pozostaje \\(90\\%\\) ceny.\n\\[30000\\cdot 0{,}9=27000 \\text{ zł} \\quad\\text{(po pierwszej obniżce)}.\\]\n\\[27000\\cdot 0{,}9=24300 \\text{ zł} \\quad\\text{(po drugiej obniżce)}.\\]\n\n### Sposób 2 - Łączny mnożnik\n\\[30000\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}9=30000\\cdot 0{,}81=24300 \\text{ zł}.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\nDwukrotna obniżka o \\(10\\%\\) nie jest równa jednej obniżce o \\(20\\%\\) (byłoby \\(24000\\) zł). Druga obniżka liczona jest od już pomniejszonej ceny.\n\n### Weryfikacja\n\\(30000-24300=5700\\); to \\(19\\%\\) z \\(30000\\) - zgodne z tym, że \\(1-0{,}81=0{,}19\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(=24400\\): błąd rachunkowy.\n- B \\(=24700\\): pomyłka w obliczeniach.\n- C \\(=24000\\): błędne potraktowanie jako jedna obniżka o \\(20\\%\\).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba
0
2
1
1
2
2
3
2
3
⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
jest równa
A. 1
B. 4
C. 9
D. 36
Liczba (2^{-2}\\c3^{-1} / 2^{-1}\\c3^{-2})^0 jest równa A. 1, B. 4, C. 9, D. 36

","answer_text_html":"

Zadanie 3.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Wykorzystanie w obliczeniach praw
działań na potęgach
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - 24 300 zł

\n

Sposób 1 - Obliczanie kolejnych obniżek krok po kroku

\n

Obniżka 1: Cena wyjściowa to \\(30\\,000\\) zł. Obniżamy o \\(10\\%\\), czyli zostaje \\(90\\%\\) ceny:

\n

\\[30\\,000 \\cdot 0{,}9 = 27\\,000 \\text{ zł}\\]

\n

Obniżka 2: Teraz obniżamy cenę \\(27\\,000\\) zł o kolejne \\(10\\%\\), czyli znowu zostaje \\(90\\%\\):

\n

\\[27\\,000 \\cdot 0{,}9 = 24\\,300 \\text{ zł}\\]

\n

Zatem po obu obniżkach samochód kosztuje \\(24\\,300\\) zł.

\n

Sposób 2 - Jeden wzór z mnożnikami procentowymi

\n

Każda obniżka o \\(10\\%\\) to pomnożenie przez współczynnik \\(0{,}9\\). Dwie takie obniżki to:

\n

\\[30\\,000 \\cdot 0{,}9 \\cdot 0{,}9 = 30\\,000 \\cdot (0{,}9)^2\\]

\n

\\[30\\,000 \\cdot 0{,}81 = 24\\,300 \\text{ zł}\\]

\n

Całkowita obniżka wyniosła:

\n

\\[30\\,000 - 24\\,300 = 5\\,700 \\text{ zł}\\]

\n

Co stanowi:

\n

\\[\\frac{5\\,700}{30\\,000} \\cdot 100\\% = 19\\% \\text{ ceny wyjściowej}\\]

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - procent składany:

\n

\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]

\n

Tutaj \\(K_0 = 30\\,000\\), zmiana to obniżka, więc \\(p = -10\\), \\(n = 2\\):

\n

\\[K_2 = 30\\,000 \\cdot \\left(1 - \\frac{10}{100}\\right)^2 = 30\\,000 \\cdot (0{,}9)^2 = 30\\,000 \\cdot 0{,}81 = 24\\,300\\]

\n

To dokładnie ta sama sytuacja co procent składany - wielokrotne mnożenie przez ten sam współczynnik.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Dwie obniżki po \\(10\\%\\) zsumowano jako jedna obniżka \\(20\\%\\): \\(30\\,000 \\cdot 0{,}80 = 24\\,000\\) zł - BŁĄD, bo \\(10\\% + 10\\% \\neq 20\\%\\) przy kolejnych obniżkach |
| B | Policzono \\(10\\%\\) z \\(30\\,000\\) dwukrotnie i odjęto: \\(30\\,000 - 3\\,000 - 3\\,000 = 24\\,000\\) lub podobne błędne działanie |
| C | Obliczono tylko jedną obniżkę: \\(30\\,000 \\cdot 0{,}9 = 27\\,000\\) zł - pominięto drugą obniżkę |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Dwie obniżki po \\(10\\%\\) to nie to samo co jedna obniżka o \\(20\\%\\)! Po pierwszej obniżce podstawa jest mniejsza, więc drugie \\(10\\%\\) liczymy od mniejszej kwoty. Łączna obniżka wynosi tylko \\(19\\%\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze przeliczaj obniżkę procentową jako mnożenie przez współczynnik (\\(0{,}9\\) przy \\(-10\\%\\), \\(1{,}1\\) przy \\(+10\\%\\)). Unikniesz błędu "od której kwoty liczę procent".
\n
⚠️ Uwaga: Przy kilku kolejnych zmianach procentowych stosuj wzór \\(K_0 \\cdot (0{,}9)^n\\) - każde mnożenie przez \\(0{,}9\\) to kolejna obniżka o \\(10\\%\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D - \\(24300\\) zł.

\n
Sposób 1 - Dwukrotne mnożenie przez \\(0{,}9\\)
\n

Po obniżce o \\(10\\%\\) pozostaje \\(90\\%\\) ceny.
\\[30000\\cdot 0{,}9=27000 \\text{ zł} \\quad\\text{(po pierwszej obniżce)}.\\]
\\[27000\\cdot 0{,}9=24300 \\text{ zł} \\quad\\text{(po drugiej obniżce)}.\\]

\n
Sposób 2 - Łączny mnożnik
\n

\\[30000\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}9=30000\\cdot 0{,}81=24300 \\text{ zł}.\\]

\n
Uwaga dydaktyczna
\n

Dwukrotna obniżka o \\(10\\%\\) nie jest równa jednej obniżce o \\(20\\%\\) (byłoby \\(24000\\) zł). Druga obniżka liczona jest od już pomniejszonej ceny.

\n
Weryfikacja
\n

\\(30000-24300=5700\\); to \\(19\\%\\) z \\(30000\\) - zgodne z tym, że \\(1-0{,}81=0{,}19\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}