Zadanie 30. (2 pkt)
Wykaż, że jeśli
0
a >
, to
2
1
1
1
2
a
a
a
≥
Poziom podstawowy
13
Wykaż, że jeśli a>0, to nierówność a^2+1/a+1 ≥ a+1/2 jest prawdziwa.
Zadanie 30. (0-2)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Rozumowania
i argumentacji
Wykazanie prawdziwości nierówności
I sposób rozwiązania
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny:
2
1
1
1
2
a
a
a
≥
(
)
(
)
2
2
2
1
1
a
a
≥
2
2
2
2
2
1
a
a
a
≥
2
2
1
0
a
a
(
)
2
1
0
a -
≥
co kończy dowód.
2
1
1
0
1
2
a
a
a
≥
(
) (
)
(
)
2
2
2
1
1
0
2
1
a
a
a
≥
(
)
2
2
1
0
2
1
a
a
a
(
)
(
)
2
1
0
2
1
a
a
≥
co kończy dowód.
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
12
II sposób rozwiązania
Dla każdej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność (
)
2
1
0
a -
≥
Przekształcamy tę nierówność w sposób równoważny:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
a
a
a
≥
(
)
2
2
2
2
1
a
a
≥
(
)
(
)
2
2
2
1
1
a
a
≥
Ponieważ
0
a >
, więc
2
1
1
1
2
a
a
a
≥
co kończy dowód.
III sposób rozwiązania (dowód nie wprost)
Przypuśćmy, że dla pewnego
0
a >
mamy
2
1
1
1
2
a
a
a
<
. Przekształcamy tę nierówność
tak, jak w I sposobie rozwiązania do postaci, np. (
)
2
1
0
a -
<
i stwierdzamy, że
otrzymaliśmy sprzeczność.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
• otrzyma nierówność
0
1
2
2
≥
-a
a
lub
(
)
2
2
1
0
2
1
a
a
a
i na tym poprzestanie lub
w dalszej części dowodu popełni błąd
albo
• stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność (
)
2
1
0
a -
<
i nie zapisze
żadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski
albo
• stosując II sposób rozwiązania otrzyma nierówność
(
)
2
2
2
2
1
a
a
≥
i nie zapisze
żadnych wniosków lub zapisze błędne wnioski.
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy
• zapisze nierówność
2
2
1
0
a
a
i uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają
tę nierówność
albo
• zapisze nierówność
(
)
2
2
1
0
2
1
a
a
a
i uzasadni, że wszystkie liczby dodatnie a spełniają
tę nierówność
albo
• stosując metodę dowodu nie wprost otrzyma nierówność (
)
2
1
0
a -
<
i zapisze,
że otrzymana nierówność nie zachodzi dla żadnej liczby rzeczywistej a .
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
13
Jest to zadanie otwarte - odpowiedzią jest pełny dowód implikacji. Teza do udowodnienia: jeśli \\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\\), to \\(ad=bc\\).
\nKrok 1: Rozwijamy lewą stronę.
\n\\[(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2\\]
\nKrok 2: Rozwijamy prawą stronę (wzór skróconego mnożenia \\((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\\)):
\n\\[(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2\\]
\nKrok 3: Korzystamy z założenia - obie strony są równe.
\n\\[a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2\\]
\nKrok 4: Odejmujemy od obu stron \\(a^2c^2 + b^2d^2\\).
\n\\[a^2d^2 + b^2c^2 = 2abcd\\]
\nKrok 5: Przenosimy wszystko na lewą stronę.
\n\\[a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = 0\\]
\nKrok 6: Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\\) dla \\(x = ad\\), \\(y = bc\\):
\n\\[(ad - bc)^2 = 0\\]
\nKrok 7: Wyciągamy wniosek.
\nKwadrat liczby rzeczywistej jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa zeru:
\n\\[(ad-bc)^2 = 0 \\implies ad - bc = 0 \\implies \\boxed{ad = bc}\\]
\nDowód zakończony. \\(\\square\\)
\nMetoda algebraiczna - zaczynamy od tożsamości, która jest prawdziwa zawsze:
\n\\[(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad-bc)^2\\]
\nPowyższe równanie jest tożsamością - prawdziwą dla wszystkich \\(a, b, c, d \\in \\mathbb{R}\\) (to tzw. identyczność Lagrange'a).
\nSkoro z założenia lewa strona spełnia \\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\\), to:
\n\\[(ad-bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = 0\\]
\nStąd natychmiast \\(ad - bc = 0\\), czyli \\(ad = bc\\). \\(\\square\\)
\nUwaga: Sposób 2 jest szybszy - zamiast mozolnie liczyć, od razu zapisujemy różnicę LHS i RHS i korzystamy z gotowej tożsamości. To bardziej eleganckie podejście.\n
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)
\nCały dowód opiera się wyłącznie na tych dwóch wzorach i działaniach algebraicznych.
\n⚠️ Uwaga: Nie wystarczy napisać „rozwijamy i upraszczamy" - trzeba pokazać każdy krok. W zadaniach na uzasadnienie egzaminator sprawdza, czy rozumiesz każde przejście.\n
⚠️ Uwaga: Kluczowy moment to rozpoznanie struktury \\(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2\\) jako pełnego kwadratu \\((ad-bc)^2\\). Uczniowie często widzą to wyrażenie i nie wiedzą, co z nim zrobić - zapamiętaj wzorzec \\(x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2\\).\n
⚠️ Uwaga: Wniosek \\((ad-bc)^2 = 0 \\Rightarrow ad=bc\\) wymaga krótkiego uzasadnienia: „kwadrat liczby rzeczywistej równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba równa się zero". Nie pomijaj tego zdania!\n
Teza: \\(ad=bc\\).
\nKrok 1. Rozwijamy lewą stronę:
\\[(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}.\\]
Krok 2. Rozwijamy prawą stronę:
\\[(ac+bd)^{2}=a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2}.\\]
Krok 3. Przyrównujemy strony i upraszczamy:
\\[a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=a^{2}c^{2}+2abcd+b^{2}d^{2}.\\]
\\[a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd=0.\\]
Krok 4. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\\) z \\(x=ad\\), \\(y=bc\\):
\\[(ad)^{2}-2(ad)(bc)+(bc)^{2}=(ad-bc)^{2}.\\]
Zatem \\((ad-bc)^{2}=0\\), skąd:
\\[ad-bc=0 \\implies ad=bc.\\]
\\[\\blacksquare\\]
\nTożsamość \\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}\\) to słynna tożsamość Lagrange'a (a właściwie Diofantosa-Fibonacciego). Wynika z niej, że:
\\[(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2} \\iff (ad-bc)^{2}=0 \\iff ad=bc.\\]
Warunek \\(ad=bc\\) oznacza, że wektory \\((a,b)\\) i \\((c,d)\\) są równoległe (kolinearne) - ich iloczyn wektorowy znika.
"}]}