{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt\nrównoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.\nOdpowiedź:\nNr zadania\n29.\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\nWypełnia\negzaminator Uzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nW trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWykorzystanie związków miarowych w trójkącie\nprostokątnym i równobocznym\nRozwiązanie\nA\nB\nC\nD\nE\nProwadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego\nABC.\nWówczas\n3\nAE =\ni stąd\n3\nCD\nAE\nNastępnie zapisujemy, że\n6\nBC\nAB\noraz\n6 3\n3 3\n2\nDA\nCE\nStąd obwód trapezu jest równy\n6\n6\n3\n3 3\n1 5 3 3\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy\n• prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy długość krótszej podstawy\ntrapezu (\n3\nDC =\n) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu\nobwodu trapezu\nalbo\n• prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy wysokość trapezu\n(\n3 3\nh =\n) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu\ntrapezu\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy poprawnie obwód trapezu: 15\n3 3","solution":"## Poprawna odpowiedź: **500**\n\n## Sposób 1 - Reguła mnożenia (zasada mnożenia zdarzeń)\n\nLiczymy niezależnie możliwości dla każdej cyfry czterocyfrowej liczby \\(\\overline{abcd}\\).\n\n**Cyfra pierwsza \\(a\\)** - parzysta i niezerowa (bo to pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej):\n\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) - ale \\(0\\) odpada (liczba byłaby trzycyfrowa).\n\nZatem \\(a \\in \\{2, 4, 6, 8\\}\\) - **4 możliwości**.\n\n**Cyfry \\(b, c, d\\)** - każda nieparzysta:\n\nCyfry nieparzyste: \\(1, 3, 5, 7, 9\\) - **5 możliwości** dla każdej z nich.\n\n**Stosujemy regułę mnożenia:**\n\n\\[\nN = 4 \\cdot 5 \\cdot 5 \\cdot 5\n\\]\n\n\\[\nN = 4 \\cdot 125 = \\mathbf{500}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie rozpisanie przedziałów\n\nSprawdzamy, że dobrze zidentyfikowaliśmy zbiory cyfr.\n\n**Cyfry parzyste (jako pierwsza cyfra):**\n\\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - istotnie 4 elementy. (\\(0\\) wykluczone, bo \\(0bcd\\) to nie jest liczba czterocyfrowa.)\n\n**Cyfry nieparzyste:**\n\\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - istotnie 5 elementów. (\\(0\\) nie jest nieparzyste - jest parzyste, więc nie wchodzi tutaj w rachubę tak czy inaczej.)\n\n**Przykładowe liczby spełniające warunek:**\n- \\(2111, 2113, \\ldots, 8999\\) - pierwsza cyfra z \\(\\{2,4,6,8\\}\\), pozostałe z \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\).\n\n**Zliczamy inaczej - jako iloczyn kartezjański:**\n\nZbiór możliwych wartości \\((a, b, c, d)\\):\n\\[\n|\\{2,4,6,8\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}|\n= 4 \\times 5^3 = 4 \\times 125 = \\mathbf{500}\n\\]\n\nWynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami: \\(n^k\\)\n\nCyfry \\(b, c, d\\) wybieramy niezależnie ze zbioru 5 cyfr nieparzystych (powtórzenia dozwolone):\n\\[\n5^3 = 125\n\\]\n\n**Reguła mnożenia** (zasada iloczynu) - jeśli zdarzenie A może zajść na \\(m\\) sposobów, a niezależne od niego zdarzenie B na \\(n\\) sposobów, to oba łącznie na \\(m \\cdot n\\) sposobów. Użyliśmy jej czterokrotnie dla czterech pozycji cyfr.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest parzysta! Łatwo ją wliczyć do pierwszej cyfry i dostać \\(5 \\cdot 5^3 = 625\\) - błędny wynik. Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) nie jest nieparzysta - nie należy do \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\), więc nie pojawia się wśród pozostałych cyfr. Nie trzeba jej osobno wykluczać - po prostu jej tam nie ma.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry na pozycjach \\(b, c, d\\) mogą się powtarzać - zadanie tego nie zabrania. Gdyby zabraniało powtórzeń, musielibyśmy liczyć inaczej: \\(5 \\cdot 4 \\cdot 3 = 60\\), a wynik wyniósłby \\(4 \\cdot 60 = 240\\).\n\n**Odpowiedź: \\(500\\) liczb.**\n\n### Rozwiązanie - reguła mnożenia\n\n**Pierwsza cyfra** (tysiące): musi być parzysta i niezerowa (bo liczba czterocyfrowa). Parzyste cyfry: \\(0, 2, 4, 6, 8\\). Wyłączamy \\(0\\):\n\\[\\text{pierwsza cyfra} \\in \\{2, 4, 6, 8\\} \\implies 4 \\text{ możliwości}.\\]\n\n**Druga, trzecia, czwarta cyfra**: nieparzyste. Cyfry nieparzyste: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\):\n\\[\\text{każda} \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\} \\implies 5 \\text{ możliwości na pozycję}.\\]\n\n### Obliczenie\nPrzez regułę mnożenia (wybory niezależne):\n\\[4\\cdot 5\\cdot 5\\cdot 5=4\\cdot 5^{3}=4\\cdot 125=500.\\]\n\n### Uwaga dydaktyczna\n- Parzystych cyfr jest \\(5\\): \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\). Na pierwszej pozycji **nie** może być \\(0\\), więc pozostaje \\(4\\) możliwości.\n- Gdyby \"pierwsza cyfra\" była rozumiana bez ograniczenia (niemożliwe - liczba czterocyfrowa), byłoby \\(5^{4}=625\\).\n\n### Weryfikacja przykładami\n- \\(2111\\): pierwsza cyfra \\(2\\) (parzysta), pozostałe \\(1\\) (nieparzyste) ✓.\n- \\(8999\\): pierwsza \\(8\\) (parzysta), pozostałe \\(9\\) (nieparzyste) ✓.\n- \\(4357\\): \\(4\\) parzysta, \\(3,5,7\\) nieparzyste ✓.\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{500}\\] liczb naturalnych czterocyfrowych spełnia warunki zadania.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"planimetria","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt
równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
Odpowiedź:
Nr zadania
29.
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
2
Wypełnia
egzaminator Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
14
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Wykorzystanie związków miarowych w trójkącie
prostokątnym i równobocznym
Rozwiązanie
A
B
C
D
E
Prowadzimy wysokość CE trójkąta równobocznego
ABC.
Wówczas
3
AE =
i stąd
3
CD
AE
Następnie zapisujemy, że
6
BC
AB
oraz
6 3
3 3
2
DA
CE
Stąd obwód trapezu jest równy
6
6
3
3 3
1 5 3 3
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 pkt
gdy
• prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy długość krótszej podstawy
trapezu (
3
DC =
) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu
obwodu trapezu
albo
• prawidłowo podzieli trapez na trójkąty i poprawnie obliczy wysokość trapezu
(
3 3
h =
) i na tym zakończy lub popełni błędy rachunkowe przy obliczaniu obwodu
trapezu
Zdający otrzymuje 2 pkt
gdy obliczy poprawnie obwód trapezu: 15
3 3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 500

\n

Sposób 1 - Reguła mnożenia (zasada mnożenia zdarzeń)

\n

Liczymy niezależnie możliwości dla każdej cyfry czterocyfrowej liczby \\(\\overline{abcd}\\).

\n

Cyfra pierwsza \\(a\\) - parzysta i niezerowa (bo to pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej):

\n

Cyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) - ale \\(0\\) odpada (liczba byłaby trzycyfrowa).

\n

Zatem \\(a \\in \\{2, 4, 6, 8\\}\\) - 4 możliwości.

\n

Cyfry \\(b, c, d\\) - każda nieparzysta:

\n

Cyfry nieparzyste: \\(1, 3, 5, 7, 9\\) - 5 możliwości dla każdej z nich.

\n

Stosujemy regułę mnożenia:

\n

\\[
N = 4 \\cdot 5 \\cdot 5 \\cdot 5
\\]

\n

\\[
N = 4 \\cdot 125 = \\mathbf{500}
\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie rozpisanie przedziałów

\n

Sprawdzamy, że dobrze zidentyfikowaliśmy zbiory cyfr.

\n

Cyfry parzyste (jako pierwsza cyfra):
\\(\\{2, 4, 6, 8\\}\\) - istotnie 4 elementy. (\\(0\\) wykluczone, bo \\(0bcd\\) to nie jest liczba czterocyfrowa.)

\n

Cyfry nieparzyste:
\\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - istotnie 5 elementów. (\\(0\\) nie jest nieparzyste - jest parzyste, więc nie wchodzi tutaj w rachubę tak czy inaczej.)

\n

Przykładowe liczby spełniające warunek:

\n\n

Zliczamy inaczej - jako iloczyn kartezjański:

\n

Zbiór możliwych wartości \\((a, b, c, d)\\):
\\[
|\\{2,4,6,8\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}| \\times |\\{1,3,5,7,9\\}|
= 4 \\times 5^3 = 4 \\times 125 = \\mathbf{500}
\\]

\n

Wynik zgodny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje z powtórzeniami: \\(n^k\\)

\n

Cyfry \\(b, c, d\\) wybieramy niezależnie ze zbioru 5 cyfr nieparzystych (powtórzenia dozwolone):
\\[
5^3 = 125
\\]

\n

Reguła mnożenia (zasada iloczynu) - jeśli zdarzenie A może zajść na \\(m\\) sposobów, a niezależne od niego zdarzenie B na \\(n\\) sposobów, to oba łącznie na \\(m \\cdot n\\) sposobów. Użyliśmy jej czterokrotnie dla czterech pozycji cyfr.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Cyfra \\(0\\) jest parzysta! Łatwo ją wliczyć do pierwszej cyfry i dostać \\(5 \\cdot 5^3 = 625\\) - błędny wynik. Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfra \\(0\\) nie jest nieparzysta - nie należy do \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\), więc nie pojawia się wśród pozostałych cyfr. Nie trzeba jej osobno wykluczać - po prostu jej tam nie ma.
\n
⚠️ Uwaga: Cyfry na pozycjach \\(b, c, d\\) mogą się powtarzać - zadanie tego nie zabrania. Gdyby zabraniało powtórzeń, musielibyśmy liczyć inaczej: \\(5 \\cdot 4 \\cdot 3 = 60\\), a wynik wyniósłby \\(4 \\cdot 60 = 240\\).
\n

Odpowiedź: \\(500\\) liczb.

\n
Rozwiązanie - reguła mnożenia
\n

Pierwsza cyfra (tysiące): musi być parzysta i niezerowa (bo liczba czterocyfrowa). Parzyste cyfry: \\(0, 2, 4, 6, 8\\). Wyłączamy \\(0\\):
\\[\\text{pierwsza cyfra} \\in \\{2, 4, 6, 8\\} \\implies 4 \\text{ możliwości}.\\]

\n

Druga, trzecia, czwarta cyfra: nieparzyste. Cyfry nieparzyste: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\):
\\[\\text{każda} \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\} \\implies 5 \\text{ możliwości na pozycję}.\\]

\n
Obliczenie
\n

Przez regułę mnożenia (wybory niezależne):
\\[4\\cdot 5\\cdot 5\\cdot 5=4\\cdot 5^{3}=4\\cdot 125=500.\\]

\n
Uwaga dydaktyczna
\n\n
Weryfikacja przykładami
\n\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{500}\\] liczb naturalnych czterocyfrowych spełnia warunki zadania.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$15 + 3\\sqrt{3}$

"}]}