{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie\notrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.\nWynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.\n\nPoziom podstawowy\n17\nOdpowiedź:\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nModelowanie\nmatematyczne\nObliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem\nklasycznej definicji prawdopodobieństwa\nRozwiązanie (model klasyczny)\nΩ jest zbiorem wszystkich par (\n)\n,a b takich, że\n{\n}\n,\n1,2,3,4,5,6\na b∈\n. Mamy model klasyczny.\n36\nΩ=\nZdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n2,6 , 4,3 , 4,6 , 6,2 , 6,4 , 6,6\nZatem\n6\nA =\ni stąd\n( )\n6\n1\n36\n6\nA\nP A =\nΩ\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający zapisze, że\n36\nΩ=\ni na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający zapisze, że\n36\nΩ=\noraz, że\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n2,6 , 4,3 , 4,6 , 6,2 , 6,4 , 6,6\nA =\ni na tym\nzakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze, że\n36\nΩ=\noraz obliczy\n6\nA =\ni na tym zakończy lub dalej rozwiązuje\nbłędnie.\nUwaga\nJeżeli zdający wypisze bezbłędnie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A,\nale błędnie zapisze ich liczbę (np.\n5\nA =\nalbo\n7\nA =\n) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje 3 punkty.\nRozwiązanie bezbłędne 4 pkt\nObliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:\n( )\n1\n6\nP A =\nUwaga\nJeśli zdający ograniczy swoje rozwiązanie do zapisu\n36\nΩ=\n;\n6\nA =\noraz\n( )\n1\n6\nP A =\n,\nto otrzymuje 1 pkt.\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n19","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(|BD| = 2\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie prostej i punkt przecięcia\n\n**Krok 1: Równanie prostej AB**\n\nMamy \\(A = (1, 5)\\), \\(B = (14, 31)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a_{AB} = \\frac{31 - 5}{14 - 1} = \\frac{26}{13} = 2\\]\n\nRównanie prostej AB (przez punkt \\(A\\)):\n\\[y - 5 = 2(x - 1) \\implies y = 2x + 3\\]\n\n**Krok 2: Równanie wysokości z \\(C\\)**\n\nWysokość z \\(C\\) jest **prostopadła** do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_{CD} = -\\frac{1}{a_{AB}} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nRównanie wysokości przez \\(C = (4, 31)\\):\n\\[y - 31 = -\\frac{1}{2}(x - 4) \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 33\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie punktu D - przecięcia obu prostych**\n\n\\[2x + 3 = -\\frac{1}{2}x + 33\\]\n\\[2x + \\frac{1}{2}x = 30\\]\n\\[\\frac{5}{2}x = 30 \\implies x = 12\\]\n\\[y = 2 \\cdot 12 + 3 = 27\\]\n\nZatem \\(D = (12, 27)\\).\n\n**Krok 4: Długość odcinka BD**\n\n\\[|BD| = \\sqrt{(14-12)^2 + (31-27)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja ortogonalności przez iloczyn skalarny\n\nSprawdzamy, że \\(CD \\perp AB\\) przez wektory.\n\n\\[\\vec{AB} = [14-1,\\ 31-5] = [13,\\ 26]\\]\n\\[\\vec{CD} = [12-4,\\ 27-31] = [8,\\ -4]\\]\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{CD} = 13 \\cdot 8 + 26 \\cdot (-4) = 104 - 104 = 0 \\checkmark\\]\n\nWektory są prostopadłe - punkt \\(D = (12, 27)\\) jest poprawnie wyznaczony.\n\nDługość \\(BD\\):\n\\[|BD| = \\sqrt{(14-12)^2 + (31-27)^2} = \\sqrt{4+16} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|BD| = \\sqrt{(x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2}\\]\nUżyte w kroku 4 do obliczenia \\(|BD|\\).\n\nWarunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte w kroku 2 - ze współczynnika \\(a_{AB} = 2\\) wyznaczyliśmy \\(a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte - poniżej typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Niepoprawny wynik |\n| Przyjęcie współczynnika wysokości jako równego \\(a_{AB}\\) (zamiast \\(-\\frac{1}{a_{AB}}\\)) | Zły punkt D, błędna długość |\n| Pomylenie wierzchołków - liczenie wysokości z B zamiast z C | Inny punkt przecięcia |\n| Błąd w \\(\\sqrt{20}\\) - zapisanie wyniku jako \\(\\sqrt{20}\\) bez uproszczenia | \\(\\sqrt{20}\\) zamiast \\(2\\sqrt{5}\\) |\n| Pomylenie kolejności odejmowania współrzędnych w \\(|BD|\\) (ale i tak wynik pod pierwiastkiem jest ten sam) | Brak błędu (bezpieczne) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej **prostopadłej** to \\(-\\frac{1}{a}\\), nie \\(-a\\) ani \\(\\frac{1}{a}\\). Sprawdź zawsze, czy iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\) - upraszczaj pierwiastek do końca, bo na maturze niezuplikowany wynik może nie być punktowany.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **wysokości** (prostopadłej do boku) z **medianą** (do środka boku) - to częsty błąd przy zadaniach z trójkątem w układzie współrzędnych.\n\n**Odpowiedź: \\(|BD|=2\\sqrt{5}\\).**\n\n### Sposób 1 - Przez równania prostych\n\n**Krok 1. Równanie prostej \\(AB\\).**\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a_{AB}=\\dfrac{31-5}{14-1}=\\dfrac{26}{13}=2\\).\nRównanie: \\(y-5=2(x-1)\\implies y=2x+3\\).\n\n**Krok 2. Równanie wysokości \\(CD\\) z \\(C=(4,31)\\).**\nWysokość jest prostopadła do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy: \\(a_{CD}=-\\dfrac{1}{2}\\).\nRównanie: \\(y-31=-\\dfrac{1}{2}(x-4)\\implies y=-\\dfrac{1}{2}x+33\\).\n\n**Krok 3. Punkt \\(D\\) - przecięcie.**\n\\[2x+3=-\\dfrac{1}{2}x+33\\]\n\\[\\dfrac{5}{2}x=30 \\implies x=12, \\quad y=2\\cdot 12+3=27.\\]\nStąd \\(D=(12,27)\\).\n\n**Krok 4. Długość \\(|BD|\\).**\n\\[|BD|=\\sqrt{(14-12)^{2}+(31-27)^{2}}=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Odległość punktu od prostej\nProsta \\(AB\\): \\(2x-y+3=0\\). Odległość \\(C=(4,31)\\) od \\(AB\\):\n\\[|CD|=\\dfrac{|2\\cdot 4-31+3|}{\\sqrt{4+1}}=\\dfrac{|-20|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{20}{\\sqrt{5}}=4\\sqrt{5}.\\]\n\nDługość \\(CB\\): \\(|CB|=\\sqrt{(14-4)^{2}+(31-31)^{2}}=10\\).\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(CDB\\) (prostokątnym w \\(D\\)):\n\\[|CB|^{2}=|CD|^{2}+|BD|^{2}\\]\n\\[100=(4\\sqrt{5})^{2}+|BD|^{2}=80+|BD|^{2}\\]\n\\[|BD|^{2}=20 \\implies |BD|=2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 3 - Wzór na odległość \\(B\\) od prostej \\(CD\\)\nProsta \\(CD\\): \\(x+2y-66=0\\). Odległość \\(B=(14,31)\\):\n\\[|BD|=\\dfrac{|14+2\\cdot 31-66|}{\\sqrt{1+4}}=\\dfrac{|10|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{10}{\\sqrt{5}}=2\\sqrt{5}.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(|BD|^{2}=20\\); sprawdzenie przez Pitagorasa: \\(|CD|^{2}+|BD|^{2}=80+20=100=|CB|^{2}\\) ✓.\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{|BD|=2\\sqrt{5}\\approx 4{,}47.}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie
otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12.
Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

\n

Poziom podstawowy
17
Odpowiedź:
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
18
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Modelowanie
matematyczne
Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem
klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Rozwiązanie (model klasyczny)
Ω jest zbiorem wszystkich par (
)
,a b takich, że
{
}
,
1,2,3,4,5,6
a b∈
. Mamy model klasyczny.
36
Ω=
Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
2,6 , 4,3 , 4,6 , 6,2 , 6,4 , 6,6
Zatem
6
A =
i stąd
( )
6
1
36
6
A
P A =
Ω
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zdający zapisze, że
36
Ω=
i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający zapisze, że
36
Ω=
oraz, że
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
}
2,6 , 4,3 , 4,6 , 6,2 , 6,4 , 6,6
A =
i na tym
zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zdający zapisze, że
36
Ω=
oraz obliczy
6
A =
i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje
błędnie.
Uwaga
Jeżeli zdający wypisze bezbłędnie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A,
ale błędnie zapisze ich liczbę (np.
5
A =
albo
7
A =
) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do
końca, to otrzymuje 3 punkty.
Rozwiązanie bezbłędne 4 pkt
Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A:
( )
1
6
P A =
Uwaga
Jeśli zdający ograniczy swoje rozwiązanie do zapisu
36
Ω=
;
6
A =
oraz
( )
1
6
P A =
,
to otrzymuje 1 pkt.
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
19

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(|BD| = 2\\sqrt{5}\\)

\n

Sposób 1 - Równanie prostej i punkt przecięcia

\n

Krok 1: Równanie prostej AB

\n

Mamy \\(A = (1, 5)\\), \\(B = (14, 31)\\).

\n

Współczynnik kierunkowy:
\\[a_{AB} = \\frac{31 - 5}{14 - 1} = \\frac{26}{13} = 2\\]

\n

Równanie prostej AB (przez punkt \\(A\\)):
\\[y - 5 = 2(x - 1) \\implies y = 2x + 3\\]

\n

Krok 2: Równanie wysokości z \\(C\\)

\n

Wysokość z \\(C\\) jest prostopadła do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:
\\[a_{CD} = -\\frac{1}{a_{AB}} = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Równanie wysokości przez \\(C = (4, 31)\\):
\\[y - 31 = -\\frac{1}{2}(x - 4) \\implies y = -\\frac{1}{2}x + 33\\]

\n

Krok 3: Wyznaczenie punktu D - przecięcia obu prostych

\n

\\[2x + 3 = -\\frac{1}{2}x + 33\\]
\\[2x + \\frac{1}{2}x = 30\\]
\\[\\frac{5}{2}x = 30 \\implies x = 12\\]
\\[y = 2 \\cdot 12 + 3 = 27\\]

\n

Zatem \\(D = (12, 27)\\).

\n

Krok 4: Długość odcinka BD

\n

\\[|BD| = \\sqrt{(14-12)^2 + (31-27)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja ortogonalności przez iloczyn skalarny

\n

Sprawdzamy, że \\(CD \\perp AB\\) przez wektory.

\n

\\[\\vec{AB} = [14-1,\\ 31-5] = [13,\\ 26]\\]
\\[\\vec{CD} = [12-4,\\ 27-31] = [8,\\ -4]\\]

\n

Iloczyn skalarny:
\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{CD} = 13 \\cdot 8 + 26 \\cdot (-4) = 104 - 104 = 0 \\checkmark\\]

\n

Wektory są prostopadłe - punkt \\(D = (12, 27)\\) jest poprawnie wyznaczony.

\n

Długość \\(BD\\):
\\[|BD| = \\sqrt{(14-12)^2 + (31-27)^2} = \\sqrt{4+16} = \\mathbf{2\\sqrt{5}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Długość odcinka:
\\[|BD| = \\sqrt{(x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2}\\]
Użyte w kroku 4 do obliczenia \\(|BD|\\).

\n

Warunek prostopadłości prostych:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyte w kroku 2 - ze współczynnika \\(a_{AB} = 2\\) wyznaczyliśmy \\(a_{CD} = -\\frac{1}{2}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

To zadanie otwarte - poniżej typowe błędy prowadzące do złego wyniku:

\n

| Błąd | Niepoprawny wynik |
| Przyjęcie współczynnika wysokości jako równego \\(a_{AB}\\) (zamiast \\(-\\frac{1}{a_{AB}}\\)) | Zły punkt D, błędna długość |
| Pomylenie wierzchołków - liczenie wysokości z B zamiast z C | Inny punkt przecięcia |
| Błąd w \\(\\sqrt{20}\\) - zapisanie wyniku jako \\(\\sqrt{20}\\) bez uproszczenia | \\(\\sqrt{20}\\) zamiast \\(2\\sqrt{5}\\) |
| Pomylenie kolejności odejmowania współrzędnych w \\(|BD|\\) (ale i tak wynik pod pierwiastkiem jest ten sam) | Brak błędu (bezpieczne) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\frac{1}{a}\\), nie \\(-a\\) ani \\(\\frac{1}{a}\\). Sprawdź zawsze, czy iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\) - upraszczaj pierwiastek do końca, bo na maturze niezuplikowany wynik może nie być punktowany.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić wysokości (prostopadłej do boku) z medianą (do środka boku) - to częsty błąd przy zadaniach z trójkątem w układzie współrzędnych.
\n

Odpowiedź: \\(|BD|=2\\sqrt{5}\\).

\n
Sposób 1 - Przez równania prostych
\n

Krok 1. Równanie prostej \\(AB\\).
Współczynnik kierunkowy: \\(a_{AB}=\\dfrac{31-5}{14-1}=\\dfrac{26}{13}=2\\).
Równanie: \\(y-5=2(x-1)\\implies y=2x+3\\).

\n

Krok 2. Równanie wysokości \\(CD\\) z \\(C=(4,31)\\).
Wysokość jest prostopadła do \\(AB\\), więc jej współczynnik kierunkowy: \\(a_{CD}=-\\dfrac{1}{2}\\).
Równanie: \\(y-31=-\\dfrac{1}{2}(x-4)\\implies y=-\\dfrac{1}{2}x+33\\).

\n

Krok 3. Punkt \\(D\\) - przecięcie.
\\[2x+3=-\\dfrac{1}{2}x+33\\]
\\[\\dfrac{5}{2}x=30 \\implies x=12, \\quad y=2\\cdot 12+3=27.\\]
Stąd \\(D=(12,27)\\).

\n

Krok 4. Długość \\(|BD|\\).
\\[|BD|=\\sqrt{(14-12)^{2}+(31-27)^{2}}=\\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}=2\\sqrt{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Odległość punktu od prostej
\n

Prosta \\(AB\\): \\(2x-y+3=0\\). Odległość \\(C=(4,31)\\) od \\(AB\\):
\\[|CD|=\\dfrac{|2\\cdot 4-31+3|}{\\sqrt{4+1}}=\\dfrac{|-20|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{20}{\\sqrt{5}}=4\\sqrt{5}.\\]

\n

Długość \\(CB\\): \\(|CB|=\\sqrt{(14-4)^{2}+(31-31)^{2}}=10\\).

\n

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(CDB\\) (prostokątnym w \\(D\\)):
\\[|CB|^{2}=|CD|^{2}+|BD|^{2}\\]
\\[100=(4\\sqrt{5})^{2}+|BD|^{2}=80+|BD|^{2}\\]
\\[|BD|^{2}=20 \\implies |BD|=2\\sqrt{5}.\\]

\n
Sposób 3 - Wzór na odległość \\(B\\) od prostej \\(CD\\)
\n

Prosta \\(CD\\): \\(x+2y-66=0\\). Odległość \\(B=(14,31)\\):
\\[|BD|=\\dfrac{|14+2\\cdot 31-66|}{\\sqrt{1+4}}=\\dfrac{|10|}{\\sqrt{5}}=\\dfrac{10}{\\sqrt{5}}=2\\sqrt{5}.\\]

\n
Weryfikacja
\n

\\(|BD|^{2}=20\\); sprawdzenie przez Pitagorasa: \\(|CD|^{2}+|BD|^{2}=80+20=100=|CB|^{2}\\) ✓.

\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{|BD|=2\\sqrt{5}\\approx 4{,}47.}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{1}{6}$

"}]}