{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nW dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu\nma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m\ndłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny\nw obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nWypełnia\negzaminator\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nBRUDNOPIS\nW dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240m^2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350m^2 oraz jest o 5m dłuższy i 2m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nModelowanie\nmatematyczne\nRozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście\npraktycznym, prowadzącego do równania\nkwadratowego\nRozwiązanie\nOznaczmy przez x długość (w metrach) basenu w pierwszym hotelu i przez y szerokość\n(w metrach) tego basenu. Zapisujemy układ równań:\n(\n) (\n)\n240\n5\n2\n350\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nPrzekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:\n2\n5\n10\n350\nx y\nx\ny\n⋅\n,\npodstawiamy do tego równania\n240\nx y\n⋅\ni wyznaczamy z tak przekształconego równania\nniewiadomą x :\n100\n5\n2\ny\nx\n. Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego\nrównania 100\n5\n240\n2\ny y\n⋅\n, które następnie przekształcamy do postaci:\n2\n20\n96\n0\ny\ny\n. Rozwiązaniami tego równania są:\n1\n2\n8,\n12\ny\ny\nZatem:\n• jeżeli\n8\ny =\n, to\n30\nx =\ni wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 30 m\n8 m\n×\n,\nzaś basen w drugim hotelu: 35 m 10 m\n×\n,\n• jeżeli\n12\ny =\n, to\n20\nx =\ni wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 20 m 12 m\n×\n,\nzaś basen w drugim hotelu: 25 m 14 m .\n×\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nWprowadzenie oznaczeń, na przykład: x , y - wymiary basenu w pierwszym hotelu\ni zapisanie równania\n240\nx y\n⋅\nalbo równania (\n) (\n)\n5\n2\n350\nx\ny\n⋅\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np.\n(\n) (\n)\n240\n5\n2\n350\nx y\nx\ny\n⋅\n\n⋅\n\nUwaga\nZdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną\nniewiadomą.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:\n(\n)\n240\n5\n2\n350\nx\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\nalbo\n(\n)\n240\n5\n2\n350\ny\ny\n\n\n⋅\n\n\n\n\nRozwiązanie prawie całkowite 4 pkt\nDoprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego oraz rozwiązanie\nrównania kwadratowego:\n2\n50\n600\n0\nx\nx\n, skąd\n20\nx =\nlub\n30\nx =\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n20\nalbo\n2\n20\n96\n0\ny\ny\n, skąd\n8\ny =\nlub\n12\ny =\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt\nZdający popełnia błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania (ale otrzymuje dwa\nrozwiązania) i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza wymiary obu basenów.\nRozwiązanie pełne 5 pkt\nZapisanie wymiarów obu basenów:\nBasen w pierwszym hotelu ma wymiary 30 m\n8 m\n×\ni w drugim hotelu 35 m 10 m\n×\nlub basen w pierwszym hotelu ma wymiary 20 m 12 m\n×\ni w drugim 25 m 14 m .\n×","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nSamochód z miasta A: **58 km/h** lub **51 km/h**\nSamochód z miasta B: **75 km/h** lub **68 km/h**\n(zadanie ma dwa rozwiązania - oba są poprawne)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z jedną niewiadomą \\(t_A\\)\n\n**Co wiemy z treści:**\n\nSamochód z A przejeżdża do miejsca spotkania: \\(474 - 300 = 174\\) km.\nSamochód z B przejeżdża do miejsca spotkania: \\(300\\) km.\n\nNiech \\(t_A\\) = czas jazdy samochodu z A (w godzinach).\nPonieważ samochód z B wyruszył **godzinę wcześniej**, jego czas jazdy wynosi \\(t_A + 1\\).\n\nWyznaczamy prędkości (droga = prędkość × czas):\n\\[v_A = \\frac{174}{t_A}, \\qquad v_B = \\frac{300}{t_A + 1}\\]\n\nWarunek z zadania - prędkość samochodu z A jest o 17 km/h **mniejsza**:\n\\[v_B - v_A = 17\\]\n\\[\\frac{300}{t_A + 1} - \\frac{174}{t_A} = 17\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(t_A(t_A+1)\\):\n\\[300t_A - 174(t_A + 1) = 17 \\cdot t_A(t_A + 1)\\]\n\\[300t_A - 174t_A - 174 = 17t_A^2 + 17t_A\\]\n\\[126t_A - 174 = 17t_A^2 + 17t_A\\]\n\\[0 = 17t_A^2 - 109t_A + 174\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 109^2 - 4 \\cdot 17 \\cdot 174 = 11881 - 11832 = 49\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[t_A = \\frac{109 - 7}{34} = \\frac{102}{34} = 3 \\text{ h} \\qquad \\text{lub} \\qquad t_A = \\frac{109 + 7}{34} = \\frac{116}{34} = \\frac{58}{17} \\text{ h}\\]\n\n**Rozwiązanie I** (\\(t_A = 3\\) h):\n\\[v_A = \\frac{174}{3} = 58 \\text{ km/h}, \\qquad t_B = 4 \\text{ h}, \\qquad v_B = \\frac{300}{4} = 75 \\text{ km/h}\\]\n\n**Rozwiązanie II** (\\(t_A = \\frac{58}{17}\\) h):\n\\[v_A = 174 \\cdot \\frac{17}{58} = 51 \\text{ km/h}, \\qquad t_B = \\frac{75}{17} \\text{ h}, \\qquad v_B = 300 \\cdot \\frac{17}{75} = 68 \\text{ km/h}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (v i t)\n\nWprowadzamy cztery zmienne i piszemy układ:\n\n\\[\\begin{cases} v_A \\cdot t_A = 174 \\\\ v_B \\cdot t_B = 300 \\\\ t_B = t_A + 1 \\\\ v_B - v_A = 17 \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(t_A = \\frac{174}{v_A}\\). Z drugiego i trzeciego: \\(t_B = \\frac{300}{v_B}\\).\n\nPodstawiamy do \\(t_B = t_A + 1\\):\n\\[\\frac{300}{v_B} = \\frac{174}{v_A} + 1\\]\n\nKorzystamy z \\(v_B = v_A + 17\\):\n\\[\\frac{300}{v_A + 17} = \\frac{174}{v_A} + 1\\]\n\nMnożymy przez \\(v_A(v_A + 17)\\):\n\\[300v_A = 174(v_A + 17) + v_A(v_A + 17)\\]\n\\[300v_A = 174v_A + 2958 + v_A^2 + 17v_A\\]\n\\[0 = v_A^2 - 109v_A + 2958\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 109^2 - 4 \\cdot 2958 = 11881 - 11832 = 49, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\n\\[v_A = \\frac{109 - 7}{2} = 51 \\text{ km/h} \\qquad \\text{lub} \\qquad v_A = \\frac{109 + 7}{2} = 58 \\text{ km/h}\\]\n\nCo daje te same dwa rozwiązania.\n\n**Weryfikacja Rozwiązania I** (\\(v_A = 58\\), \\(v_B = 75\\)):\n- \\(t_A = 174/58 = 3\\) h, \\(t_B = 300/75 = 4\\) h\n- \\(t_B - t_A = 1\\) ✓, \\(v_B - v_A = 17\\) ✓\n\n**Weryfikacja Rozwiązania II** (\\(v_A = 51\\), \\(v_B = 68\\)):\n- \\(t_A = 174/51 = 58/17\\) h, \\(t_B = 300/68 = 75/17\\) h\n- \\(t_B - t_A = 75/17 - 58/17 = 1\\) ✓, \\(v_B - v_A = 17\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania równania kwadratowego \\(17t_A^2 - 109t_A + 174 = 0\\) (Sposób 1) i \\(v_A^2 - 109v_A + 2958 = 0\\) (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest ustalenie, które auto przejechało ile kilometrów. Samochód z A pokonuje \\(474 - 300 = 174\\) km (nie 300!). Mylenie tych wartości to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma **dwa rozwiązania matematyczne** - oba spełniają wszystkie warunki (dodatnie czasy i prędkości). Na maturze należy podać oba i sprawdzić oba.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek różnicy prędkości dotyczy kierunku: prędkość samochodu z A jest *mniejsza*, więc \\(v_B - v_A = 17\\), a nie odwrotnie. Pomylenie tego znaku prowadzi do zupełnie innych wyników.\n\n**Odpowiedź: dwa rozwiązania - \\(v_{A}=51\\) km/h, \\(v_{B}=68\\) km/h lub \\(v_{A}=58\\) km/h, \\(v_{B}=75\\) km/h.**\n\n### Dane\n- \\(|AB|=474\\) km, spotkanie \\(300\\) km od \\(B\\).\n- Samochód \\(A\\) pokonuje do spotkania: \\(474-300=174\\) km.\n- Samochód \\(B\\) pokonuje do spotkania: \\(300\\) km.\n- Samochód \\(A\\) wyrusza godzinę później.\n- \\(v_{A}=v_{B}-17\\).\n\n### Sposób 1 - Układ równań (z \\(t\\) = czas samochodu \\(B\\))\nNiech \\(t\\) - czas jazdy samochodu \\(B\\) (w godzinach). Wtedy samochód \\(A\\) jechał \\(t-1\\) godzin.\n\\[v_{B}=\\dfrac{300}{t}, \\qquad v_{A}=\\dfrac{174}{t-1}.\\]\nZ warunku \\(v_{A}=v_{B}-17\\):\n\\[\\dfrac{174}{t-1}=\\dfrac{300}{t}-17.\\]\n\nMnożymy przez \\(t(t-1)\\):\n\\[174t=300(t-1)-17t(t-1)\\]\n\\[174t=300t-300-17t^{2}+17t\\]\n\\[17t^{2}-143t+300=0.\\]\n\\[\\Delta=143^{2}-4\\cdot 17\\cdot 300=20449-20400=49.\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta}=7.\\]\n\\[t_{1}=\\dfrac{143-7}{34}=\\dfrac{136}{34}=4, \\qquad t_{2}=\\dfrac{143+7}{34}=\\dfrac{150}{34}=\\dfrac{75}{17}=4\\dfrac{7}{17}.\\]\n\n**Przypadek 1**: \\(t=4\\) h.\n\\[v_{B}=\\dfrac{300}{4}=75 \\text{ km/h},\\quad v_{A}=\\dfrac{174}{3}=58 \\text{ km/h}.\\]\nSprawdzenie: \\(75-58=17\\) ✓.\n\n**Przypadek 2**: \\(t=\\dfrac{75}{17}\\) h.\n\\[v_{B}=\\dfrac{300\\cdot 17}{75}=68 \\text{ km/h},\\quad v_{A}=\\dfrac{174}{\\tfrac{75}{17}-1}=\\dfrac{174}{\\tfrac{58}{17}}=\\dfrac{174\\cdot 17}{58}=\\dfrac{2958}{58}=51 \\text{ km/h}.\\]\nSprawdzenie: \\(68-51=17\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Układ z prędkościami\nNiech \\(v=v_{B}\\), \\(t=t_{B}\\). Wtedy \\(v_{A}=v-17\\), \\(t_{A}=t-1\\).\n\\[\\begin{cases} v\\cdot t=300 \\\\ (v-17)(t-1)=174\\end{cases}.\\]\nZ pierwszego \\(v=\\dfrac{300}{t}\\). Podstawiając do drugiego i mnożąc przez \\(t\\), otrzymujemy to samo równanie kwadratowe \\(17t^{2}-143t+300=0\\).\n\n### Weryfikacja obu rozwiązań\n**Rozwiązanie I** (\\(v_{A}=58, v_{B}=75\\)):\n- Samochód \\(B\\) w \\(4\\) h przejedzie \\(75\\cdot 4=300\\) km ✓\n- Samochód \\(A\\) w \\(3\\) h przejedzie \\(58\\cdot 3=174\\) km ✓\n- \\(300+174=474\\) km ✓\n\n**Rozwiązanie II** (\\(v_{A}=51, v_{B}=68\\)):\n- Samochód \\(B\\) w \\(\\tfrac{75}{17}\\) h: \\(68\\cdot\\tfrac{75}{17}=\\dfrac{5100}{17}=300\\) km ✓\n- Samochód \\(A\\) w \\(\\tfrac{58}{17}\\) h: \\(51\\cdot\\tfrac{58}{17}=\\dfrac{2958}{17}=174\\) km ✓\n\n### Odpowiedź\n\\[\\boxed{v_{A}=58 \\text{ km/h},\\ v_{B}=75 \\text{ km/h}\\quad\\text{lub}\\quad v_{A}=51 \\text{ km/h},\\ v_{B}=68 \\text{ km/h}.}\\]","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (5 pkt)
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu
ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m
dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny
w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

\n

Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
5
Wypełnia
egzaminator
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
20
BRUDNOPIS
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240m^2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350m^2 oraz jest o 5m dłuższy i 2m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-5)
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Modelowanie
matematyczne
Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania
kwadratowego
Rozwiązanie
Oznaczmy przez x długość (w metrach) basenu w pierwszym hotelu i przez y szerokość
(w metrach) tego basenu. Zapisujemy układ równań:
(
) (
)
240
5
2
350
x y
x
y
⋅

⋅

Przekształcamy drugie równanie w sposób równoważny:
2
5
10
350
x y
x
y
⋅
,
podstawiamy do tego równania
240
x y
⋅
i wyznaczamy z tak przekształconego równania
niewiadomą x :
100
5
2
y
x
. Wyznaczoną wartość x podstawiamy do pierwszego
równania 100
5
240
2
y y
⋅
, które następnie przekształcamy do postaci:
2
20
96
0
y
y
. Rozwiązaniami tego równania są:
1
2
8,
12
y
y
Zatem:
• jeżeli
8
y =
, to
30
x =
i wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 30 m
8 m
×
,
zaś basen w drugim hotelu: 35 m 10 m
×
,
• jeżeli
12
y =
, to
20
x =
i wtedy basen w pierwszym hotelu ma wymiary: 20 m 12 m
×
,
zaś basen w drugim hotelu: 25 m 14 m .
×
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Wprowadzenie oznaczeń, na przykład: x , y - wymiary basenu w pierwszym hotelu
i zapisanie równania
240
x y
⋅
albo równania (
) (
)
5
2
350
x
y
⋅
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y , np.
(
) (
)
240
5
2
350
x y
x
y
⋅

⋅

Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może od razu zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np:
(
)
240
5
2
350
x
x


⋅




albo
(
)
240
5
2
350
y
y


⋅




Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt
Doprowadzenie równania wymiernego do równania kwadratowego oraz rozwiązanie
równania kwadratowego:
2
50
600
0
x
x
, skąd
20
x =
lub
30
x =
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
20
albo
2
20
96
0
y
y
, skąd
8
y =
lub
12
y =
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
Zdający popełnia błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania (ale otrzymuje dwa
rozwiązania) i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza wymiary obu basenów.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Zapisanie wymiarów obu basenów:
Basen w pierwszym hotelu ma wymiary 30 m
8 m
×
i w drugim hotelu 35 m 10 m
×
lub basen w pierwszym hotelu ma wymiary 20 m 12 m
×
i w drugim 25 m 14 m .
×

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Samochód z miasta A: 58 km/h lub 51 km/h
Samochód z miasta B: 75 km/h lub 68 km/h
(zadanie ma dwa rozwiązania - oba są poprawne)

\n

Sposób 1 - Układ równań z jedną niewiadomą \\(t_A\\)

\n

Co wiemy z treści:

\n

Samochód z A przejeżdża do miejsca spotkania: \\(474 - 300 = 174\\) km.
Samochód z B przejeżdża do miejsca spotkania: \\(300\\) km.

\n

Niech \\(t_A\\) = czas jazdy samochodu z A (w godzinach).
Ponieważ samochód z B wyruszył godzinę wcześniej, jego czas jazdy wynosi \\(t_A + 1\\).

\n

Wyznaczamy prędkości (droga = prędkość × czas):
\\[v_A = \\frac{174}{t_A}, \\qquad v_B = \\frac{300}{t_A + 1}\\]

\n

Warunek z zadania - prędkość samochodu z A jest o 17 km/h mniejsza:
\\[v_B - v_A = 17\\]
\\[\\frac{300}{t_A + 1} - \\frac{174}{t_A} = 17\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(t_A(t_A+1)\\):
\\[300t_A - 174(t_A + 1) = 17 \\cdot t_A(t_A + 1)\\]
\\[300t_A - 174t_A - 174 = 17t_A^2 + 17t_A\\]
\\[126t_A - 174 = 17t_A^2 + 17t_A\\]
\\[0 = 17t_A^2 - 109t_A + 174\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = 109^2 - 4 \\cdot 17 \\cdot 174 = 11881 - 11832 = 49\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[t_A = \\frac{109 - 7}{34} = \\frac{102}{34} = 3 \\text{ h} \\qquad \\text{lub} \\qquad t_A = \\frac{109 + 7}{34} = \\frac{116}{34} = \\frac{58}{17} \\text{ h}\\]

\n

Rozwiązanie I (\\(t_A = 3\\) h):
\\[v_A = \\frac{174}{3} = 58 \\text{ km/h}, \\qquad t_B = 4 \\text{ h}, \\qquad v_B = \\frac{300}{4} = 75 \\text{ km/h}\\]

\n

Rozwiązanie II (\\(t_A = \\frac{58}{17}\\) h):
\\[v_A = 174 \\cdot \\frac{17}{58} = 51 \\text{ km/h}, \\qquad t_B = \\frac{75}{17} \\text{ h}, \\qquad v_B = 300 \\cdot \\frac{17}{75} = 68 \\text{ km/h}\\]

\n

Sposób 2 - Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (v i t)

\n

Wprowadzamy cztery zmienne i piszemy układ:

\n

\\[\\begin{cases} v_A \\cdot t_A = 174 \\\\ v_B \\cdot t_B = 300 \\\\ t_B = t_A + 1 \\\\ v_B - v_A = 17 \\end{cases}\\]

\n

Z pierwszego równania: \\(t_A = \\frac{174}{v_A}\\). Z drugiego i trzeciego: \\(t_B = \\frac{300}{v_B}\\).

\n

Podstawiamy do \\(t_B = t_A + 1\\):
\\[\\frac{300}{v_B} = \\frac{174}{v_A} + 1\\]

\n

Korzystamy z \\(v_B = v_A + 17\\):
\\[\\frac{300}{v_A + 17} = \\frac{174}{v_A} + 1\\]

\n

Mnożymy przez \\(v_A(v_A + 17)\\):
\\[300v_A = 174(v_A + 17) + v_A(v_A + 17)\\]
\\[300v_A = 174v_A + 2958 + v_A^2 + 17v_A\\]
\\[0 = v_A^2 - 109v_A + 2958\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = 109^2 - 4 \\cdot 2958 = 11881 - 11832 = 49, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 7\\]

\n

\\[v_A = \\frac{109 - 7}{2} = 51 \\text{ km/h} \\qquad \\text{lub} \\qquad v_A = \\frac{109 + 7}{2} = 58 \\text{ km/h}\\]

\n

Co daje te same dwa rozwiązania.

\n

Weryfikacja Rozwiązania I (\\(v_A = 58\\), \\(v_B = 75\\)):

\n\n

Weryfikacja Rozwiązania II (\\(v_A = 51\\), \\(v_B = 68\\)):

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy tego do rozwiązania równania kwadratowego \\(17t_A^2 - 109t_A + 174 = 0\\) (Sposób 1) i \\(v_A^2 - 109v_A + 2958 = 0\\) (Sposób 2).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe jest ustalenie, które auto przejechało ile kilometrów. Samochód z A pokonuje \\(474 - 300 = 174\\) km (nie 300!). Mylenie tych wartości to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie ma dwa rozwiązania matematyczne - oba spełniają wszystkie warunki (dodatnie czasy i prędkości). Na maturze należy podać oba i sprawdzić oba.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek różnicy prędkości dotyczy kierunku: prędkość samochodu z A jest mniejsza, więc \\(v_B - v_A = 17\\), a nie odwrotnie. Pomylenie tego znaku prowadzi do zupełnie innych wyników.
\n

Odpowiedź: dwa rozwiązania - \\(v_{A}=51\\) km/h, \\(v_{B}=68\\) km/h lub \\(v_{A}=58\\) km/h, \\(v_{B}=75\\) km/h.

\n
Dane
\n\n
Sposób 1 - Układ równań (z \\(t\\) = czas samochodu \\(B\\))
\n

Niech \\(t\\) - czas jazdy samochodu \\(B\\) (w godzinach). Wtedy samochód \\(A\\) jechał \\(t-1\\) godzin.
\\[v_{B}=\\dfrac{300}{t}, \\qquad v_{A}=\\dfrac{174}{t-1}.\\]
Z warunku \\(v_{A}=v_{B}-17\\):
\\[\\dfrac{174}{t-1}=\\dfrac{300}{t}-17.\\]

\n

Mnożymy przez \\(t(t-1)\\):
\\[174t=300(t-1)-17t(t-1)\\]
\\[174t=300t-300-17t^{2}+17t\\]
\\[17t^{2}-143t+300=0.\\]
\\[\\Delta=143^{2}-4\\cdot 17\\cdot 300=20449-20400=49.\\]
\\[\\sqrt{\\Delta}=7.\\]
\\[t_{1}=\\dfrac{143-7}{34}=\\dfrac{136}{34}=4, \\qquad t_{2}=\\dfrac{143+7}{34}=\\dfrac{150}{34}=\\dfrac{75}{17}=4\\dfrac{7}{17}.\\]

\n

Przypadek 1: \\(t=4\\) h.
\\[v_{B}=\\dfrac{300}{4}=75 \\text{ km/h},\\quad v_{A}=\\dfrac{174}{3}=58 \\text{ km/h}.\\]
Sprawdzenie: \\(75-58=17\\) ✓.

\n

Przypadek 2: \\(t=\\dfrac{75}{17}\\) h.
\\[v_{B}=\\dfrac{300\\cdot 17}{75}=68 \\text{ km/h},\\quad v_{A}=\\dfrac{174}{\\tfrac{75}{17}-1}=\\dfrac{174}{\\tfrac{58}{17}}=\\dfrac{174\\cdot 17}{58}=\\dfrac{2958}{58}=51 \\text{ km/h}.\\]
Sprawdzenie: \\(68-51=17\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Układ z prędkościami
\n

Niech \\(v=v_{B}\\), \\(t=t_{B}\\). Wtedy \\(v_{A}=v-17\\), \\(t_{A}=t-1\\).
\\[\\begin{cases} v\\cdot t=300 \\\\ (v-17)(t-1)=174\\end{cases}.\\]
Z pierwszego \\(v=\\dfrac{300}{t}\\). Podstawiając do drugiego i mnożąc przez \\(t\\), otrzymujemy to samo równanie kwadratowe \\(17t^{2}-143t+300=0\\).

\n
Weryfikacja obu rozwiązań
\n

Rozwiązanie I (\\(v_{A}=58, v_{B}=75\\)):

\n\n

Rozwiązanie II (\\(v_{A}=51, v_{B}=68\\)):

\n\n
Odpowiedź
\n

\\[\\boxed{v_{A}=58 \\text{ km/h},\\ v_{B}=75 \\text{ km/h}\\quad\\text{lub}\\quad v_{A}=51 \\text{ km/h},\\ v_{B}=68 \\text{ km/h}.}\\]

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Wymiary: $30 \\text{ m} \\times 8 \\text{ m}$ i $35 \\text{ m} \\times 10 \\text{ m}$ lub $20 \\text{ m} \\times 12 \\text{ m}$ i $25 \\text{ m} \\times 14 \\text{ m}$.

"}]}