{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nDane są wielomiany\n( )\n3\n2\n2\n5\n3\nW x\nx\nx\n- oraz\n( )\n3\n2\n12\nP x\nx\nx\n. Wielomian\n( )\n( )\nW x\nP x\njest równy\nA.\n2\n5\n12\n3\nx\nx\nB.\n3\n2\n4\n5\n12\n3\nx\nx\nx\nC.\n6\n2\n4\n5\n12\n3\nx\nx\nx\nD.\n3\n2\n4\n12\n3\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\n3\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n4\nDane są wielomiany W(x)=-2x^3+5x^2-3 oraz P(x)=2x^3+12x. Wielomian \\hb{$W(x)+P(x)$} jest równy A. 5x^2+12x-3, B. 4x^3+5x^2+12x-3, C. 4x^6+5x^2+12x-3, D. 4x^3+12x^2-3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 5.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nWykonanie dodawania wielomianów\nA\nKlucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(5x^2 + 12x - 3\\)\n\n## Sposób 1 - Dodawanie wielomianów przez grupowanie wyrazów podobnych\n\nZapisujemy sumę wprost:\n\\[W(x) + P(x) = (-2x^3 + 5x^2 - 3) + (2x^3 + 12x)\\]\n\n**Grupujemy wyrazy tego samego stopnia:**\n\n\\[= \\underbrace{(-2x^3 + 2x^3)}_{\\text{stopień 3}} + \\underbrace{5x^2}_{\\text{stopień 2}} + \\underbrace{12x}_{\\text{stopień 1}} + \\underbrace{(-3)}_{\\text{wyraz wolny}}\\]\n\nObliczamy każdą grupę:\n\n\\[-2x^3 + 2x^3 = 0\\]\n\nWyrazy stopnia 2, 1 i wyraz wolny nie mają par - zostają bez zmian.\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{W(x) + P(x) = 5x^2 + 12x - 3}\\]\n\nJest to wielomian **stopnia 2** (kwadratowy) - człony \\(x^3\\) wzajemnie się zniosły.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości \\(x = 1\\)\n\nObliczamy każdy wielomian osobno dla \\(x = 1\\):\n\n\\[W(1) = -2 \\cdot 1^3 + 5 \\cdot 1^2 - 3 = -2 + 5 - 3 = 0\\]\n\n\\[P(1) = 2 \\cdot 1^3 + 12 \\cdot 1 = 2 + 12 = 14\\]\n\n\\[W(1) + P(1) = 0 + 14 = 14\\]\n\nTeraz sprawdzamy, czy wynik \\(5x^2 + 12x - 3\\) dla \\(x = 1\\) daje to samo:\n\n\\[5 \\cdot 1^2 + 12 \\cdot 1 - 3 = 5 + 12 - 3 = 14 \\checkmark\\]\n\nZgadza się - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji wielomianu i działania dodawania wyrazów podobnych (program szkoły podstawowej / klasy 1 liceum).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Dodawanie współczynników bez zwracania uwagi na stopień - np. \\(-2 + 2 = 0\\) OK, ale \\(5 + 12 = 17\\) (mylenie wyrazów różnych stopni) |\n| C | Zostawienie \\(-2x^3 + 2x^3\\) jako \\(4x^3\\) lub \\(-4x^3\\) zamiast \\(0\\) - błąd znakowy przy dodawaniu |\n| D | Odjęcie zamiast dodania - policzenie \\(W(x) - P(x)\\) zamiast \\(W(x) + P(x)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Można dodawać **tylko wyrazy tego samego stopnia** - \\(5x^2\\) i \\(12x\\) to różne stopnie, więc **nie wolno** ich łączyć w \\(17x^2\\) ani \\(17x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(-2x^3 + 2x^3 = 0\\) - nie \\(4x^3\\) ani \\(-4x^3\\)! Gdy oba znaki są różne i wartości bezwzględne równe, człon znika.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stopień sumy wielomianów może być **mniejszy** niż stopień składników - tu oba miały stopień 3, a wynik ma stopień 2. To normalne zjawisko, nie błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - \\(W(x)+P(x)=5x^{2}+12x-3\\).\n\n### Sposób 1 - Dodawanie wyraz po wyrazie\n\\[W(x)+P(x)=(-2x^{3}+5x^{2}-3)+(2x^{3}+12x)\\]\nGrupujemy jednomiany tego samego stopnia:\n- stopień \\(3\\): \\(-2x^{3}+2x^{3}=0\\).\n- stopień \\(2\\): \\(5x^{2}+0=5x^{2}\\).\n- stopień \\(1\\): \\(0+12x=12x\\).\n- stopień \\(0\\): \\(-3+0=-3\\).\n\nSuma: \\(5x^{2}+12x-3\\).\n\n### Weryfikacja (podstawienie \\(x=1\\))\n\\(W(1)=-2+5-3=0\\); \\(P(1)=2+12=14\\); \\(W(1)+P(1)=14\\).\nOdp. A: \\(5+12-3=14\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: sumowanie współczynników zamiast redukcji, \\(-2+2\\) potraktowane jako \\(4\\).\n- C: błędne \"dodawanie\" potęg (\\(x^{3}+x^{3}\\ne x^{6}\\)).\n- D: błędne przypisanie wyrazów (\\(12x\\) do stopnia \\(2\\)).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Dane są wielomiany
( )
3
2
2
5
3
W x
x
x

\n\n

( )
3
2
12
P x
x
x
. Wielomian
( )
( )
W x
P x
jest równy
A.
2
5
12
3
x
x
B.
3
2
4
5
12
3
x
x
x
C.
6
2
4
5
12
3
x
x
x
D.
3
2
4
12
3
x
x

\n

Poziom podstawowy
3
BRUDNOPIS

\n

Poziom podstawowy
4
Dane są wielomiany W(x)=-2x^3+5x^2-3 oraz P(x)=2x^3+12x. Wielomian \\hb{$W(x)+P(x)$} jest równy A. 5x^2+12x-3, B. 4x^3+5x^2+12x-3, C. 4x^6+5x^2+12x-3, D. 4x^3+12x^2-3

","answer_text_html":"

Zadanie 5.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Wykonanie dodawania wielomianów
A
Klucz punktowania odpowiedzi - poziom podstawowy
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(5x^2 + 12x - 3\\)

\n

Sposób 1 - Dodawanie wielomianów przez grupowanie wyrazów podobnych

\n

Zapisujemy sumę wprost:
\\[W(x) + P(x) = (-2x^3 + 5x^2 - 3) + (2x^3 + 12x)\\]

\n

Grupujemy wyrazy tego samego stopnia:

\n

\\[= \\underbrace{(-2x^3 + 2x^3)}{\\text{stopień 3}} + \\underbrace{5x^2}{\\text{stopień 2}} + \\underbrace{12x}{\\text{stopień 1}} + \\underbrace{(-3)}{\\text{wyraz wolny}}\\]

\n

Obliczamy każdą grupę:

\n

\\[-2x^3 + 2x^3 = 0\\]

\n

Wyrazy stopnia 2, 1 i wyraz wolny nie mają par - zostają bez zmian.

\n

Wynik:
\\[\\boxed{W(x) + P(x) = 5x^2 + 12x - 3}\\]

\n

Jest to wielomian stopnia 2 (kwadratowy) - człony \\(x^3\\) wzajemnie się zniosły.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości \\(x = 1\\)

\n

Obliczamy każdy wielomian osobno dla \\(x = 1\\):

\n

\\[W(1) = -2 \\cdot 1^3 + 5 \\cdot 1^2 - 3 = -2 + 5 - 3 = 0\\]

\n

\\[P(1) = 2 \\cdot 1^3 + 12 \\cdot 1 = 2 + 12 = 14\\]

\n

\\[W(1) + P(1) = 0 + 14 = 14\\]

\n

Teraz sprawdzamy, czy wynik \\(5x^2 + 12x - 3\\) dla \\(x = 1\\) daje to samo:

\n

\\[5 \\cdot 1^2 + 12 \\cdot 1 - 3 = 5 + 12 - 3 = 14 \\checkmark\\]

\n

Zgadza się - odpowiedź A jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji wielomianu i działania dodawania wyrazów podobnych (program szkoły podstawowej / klasy 1 liceum).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Dodawanie współczynników bez zwracania uwagi na stopień - np. \\(-2 + 2 = 0\\) OK, ale \\(5 + 12 = 17\\) (mylenie wyrazów różnych stopni) |
| C | Zostawienie \\(-2x^3 + 2x^3\\) jako \\(4x^3\\) lub \\(-4x^3\\) zamiast \\(0\\) - błąd znakowy przy dodawaniu |
| D | Odjęcie zamiast dodania - policzenie \\(W(x) - P(x)\\) zamiast \\(W(x) + P(x)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Można dodawać tylko wyrazy tego samego stopnia - \\(5x^2\\) i \\(12x\\) to różne stopnie, więc nie wolno ich łączyć w \\(17x^2\\) ani \\(17x\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(-2x^3 + 2x^3 = 0\\) - nie \\(4x^3\\) ani \\(-4x^3\\)! Gdy oba znaki są różne i wartości bezwzględne równe, człon znika.
\n
⚠️ Uwaga: Stopień sumy wielomianów może być mniejszy niż stopień składników - tu oba miały stopień 3, a wynik ma stopień 2. To normalne zjawisko, nie błąd!
\n

Poprawna odpowiedź: A - \\(W(x)+P(x)=5x^{2}+12x-3\\).

\n
Sposób 1 - Dodawanie wyraz po wyrazie
\n

\\[W(x)+P(x)=(-2x^{3}+5x^{2}-3)+(2x^{3}+12x)\\]
Grupujemy jednomiany tego samego stopnia:

\n\n

Suma: \\(5x^{2}+12x-3\\).

\n
Weryfikacja (podstawienie \\(x=1\\))
\n

\\(W(1)=-2+5-3=0\\); \\(P(1)=2+12=14\\); \\(W(1)+P(1)=14\\).
Odp. A: \\(5+12-3=14\\) ✓.

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}