{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nRozwiązaniem równania 3\n1\n2\n7\n1\n5\nx\nx\njest\nA. 1\nB.\n7\n3\nC. 7\n4\nD. 7\nRozwiązaniem równania {3x-1 / 7x+1} = {2/5} jest A. 1, B. 7/3, C. 4/7 D. 7","answer":"W","answer_text":"Zadanie 6.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni tworzenie informacji\nRozwiązanie prostego równanie\nwymiernego, prowadzącego do\nrównania liniowego\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRozwiązaniem równania jest \\(x = 7\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie na krzyż (wyłuskanie x)\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{3x-1}{7x+1} = \\frac{2}{5}\\]\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy dziedzinę - mianownik \\(7x + 1 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -\\frac{1}{7}\\). Zapamiętujemy, że ta wartość jest wykluczona.\n\n**Krok 2:** Mnożymy obie strony na krzyż (przemnażamy lewą stronę przez \\(5\\), prawą przez \\(7x+1\\)):\n\\[5(3x - 1) = 2(7x + 1)\\]\n\n**Krok 3:** Rozwijamy nawiasy:\n\\[15x - 5 = 14x + 2\\]\n\n**Krok 4:** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą, liczby na prawą:\n\\[15x - 14x = 2 + 5\\]\n\\[x = 7\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{x = 7}\\)\n\nSprawdzamy dziedzinę: \\(7 \\neq -\\frac{1}{7}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie do równania)\n\nPodstawiamy \\(x = 7\\) do obu stron i sprawdzamy, czy równość zachodzi.\n\nLewa strona:\n\\[\\frac{3 \\cdot 7 - 1}{7 \\cdot 7 + 1} = \\frac{21 - 1}{49 + 1} = \\frac{20}{50} = \\frac{2}{5}\\]\n\nPrawa strona: \\(\\dfrac{2}{5}\\)\n\nObie strony są równe - wynik \\(x = 7\\) jest poprawny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia równania z proporcją (mnożenie na krzyż i działania algebraiczne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nNie znam treści odpowiedzi A, B, C, ale poniżej typowe błędy prowadzące do błędnych wyników:\n\n| Błąd | Wynik |\n| Mnożenie na krzyż z zamienionymi mianownikami: \\(7(3x-1) = 2(7x+1)\\) | \\(21x - 7 = 14x + 2 \\Rightarrow x = \\frac{9}{7}\\) |\n| Odjęcie mianowników zamiast mnożenia: \\(3x - 1 - 2 = 7x + 1 - 5\\) | błędna metoda, \\(x = \\frac{1}{4}\\) |\n| Pominięcie dziedziny i \"wpadnięcie\" na \\(x = -\\frac{1}{7}\\) | wynik niedopuszczalny |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu na krzyż pamiętaj o dziedzinie - mianownik musi być różny od zera. Zawsze sprawdź, czy wynik nie wyklucza się z dziedziną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożymy LEWĄ stronę przez PRAWY mianownik i odwrotnie. Typowy błąd to pomnożenie obu liczników przez ten sam mianownik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwinięciu nawiasów przenoś \\(14x\\) na lewą stronę z **przeciwnym znakiem** - \\(15x - 14x\\), nie \\(15x + 14x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(x=7\\).\n\n### Sposób 1 - Iloczyn krzyżowy (pod warunkiem \\(7x+1\\ne 0\\))\nDziedzina: \\(x\\ne-\\dfrac{1}{7}\\).\n\\[\\dfrac{3x-1}{7x+1}=\\dfrac{2}{5}\\]\n\\[5(3x-1)=2(7x+1)\\]\n\\[15x-5=14x+2\\]\n\\[x=7.\\]\nWartość \\(x=7\\) należy do dziedziny.\n\n### Weryfikacja (podstawienie)\nDla \\(x=7\\): \\(\\dfrac{3\\cdot 7-1}{7\\cdot 7+1}=\\dfrac{20}{50}=\\dfrac{2}{5}\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Przeniesienie i wspólny mianownik\n\\[\\dfrac{3x-1}{7x+1}-\\dfrac{2}{5}=0\\]\n\\[\\dfrac{5(3x-1)-2(7x+1)}{5(7x+1)}=0\\]\n\\[5(3x-1)-2(7x+1)=0\\]\nDalej jak wyżej: \\(x=7\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A, B, C - wstawione do równania nie dają \\(\\dfrac{2}{5}\\) (np. \\(x=1\\): \\(\\dfrac{2}{8}=\\dfrac{1}{4}\\neq\\dfrac{2}{5}\\)).","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (1 pkt)
Rozwiązaniem równania 3
1
2
7
1
5
x
x
jest
A. 1
B.
7
3
C. 7
4
D. 7
Rozwiązaniem równania {3x-1 / 7x+1} = {2/5} jest A. 1, B. 7/3, C. 4/7 D. 7

","answer_text_html":"

Zadanie 6.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i tworzenie informacji
Rozwiązanie prostego równanie
wymiernego, prowadzącego do
równania liniowego
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Rozwiązaniem równania jest \\(x = 7\\).

\n

Sposób 1 - Mnożenie na krzyż (wyłuskanie x)

\n

Mamy równanie:
\\[\\frac{3x-1}{7x+1} = \\frac{2}{5}\\]

\n

Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę - mianownik \\(7x + 1 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -\\frac{1}{7}\\). Zapamiętujemy, że ta wartość jest wykluczona.

\n

Krok 2: Mnożymy obie strony na krzyż (przemnażamy lewą stronę przez \\(5\\), prawą przez \\(7x+1\\)):
\\[5(3x - 1) = 2(7x + 1)\\]

\n

Krok 3: Rozwijamy nawiasy:
\\[15x - 5 = 14x + 2\\]

\n

Krok 4: Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą, liczby na prawą:
\\[15x - 14x = 2 + 5\\]
\\[x = 7\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{x = 7}\\)

\n

Sprawdzamy dziedzinę: \\(7 \\neq -\\frac{1}{7}\\) ✓

\n

Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie do równania)

\n

Podstawiamy \\(x = 7\\) do obu stron i sprawdzamy, czy równość zachodzi.

\n

Lewa strona:
\\[\\frac{3 \\cdot 7 - 1}{7 \\cdot 7 + 1} = \\frac{21 - 1}{49 + 1} = \\frac{20}{50} = \\frac{2}{5}\\]

\n

Prawa strona: \\(\\dfrac{2}{5}\\)

\n

Obie strony są równe - wynik \\(x = 7\\) jest poprawny. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia równania z proporcją (mnożenie na krzyż i działania algebraiczne).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Nie znam treści odpowiedzi A, B, C, ale poniżej typowe błędy prowadzące do błędnych wyników:

\n

| Błąd | Wynik |
| Mnożenie na krzyż z zamienionymi mianownikami: \\(7(3x-1) = 2(7x+1)\\) | \\(21x - 7 = 14x + 2 \\Rightarrow x = \\frac{9}{7}\\) |
| Odjęcie mianowników zamiast mnożenia: \\(3x - 1 - 2 = 7x + 1 - 5\\) | błędna metoda, \\(x = \\frac{1}{4}\\) |
| Pominięcie dziedziny i "wpadnięcie" na \\(x = -\\frac{1}{7}\\) | wynik niedopuszczalny |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu na krzyż pamiętaj o dziedzinie - mianownik musi być różny od zera. Zawsze sprawdź, czy wynik nie wyklucza się z dziedziną.
\n
⚠️ Uwaga: Mnożymy LEWĄ stronę przez PRAWY mianownik i odwrotnie. Typowy błąd to pomnożenie obu liczników przez ten sam mianownik.
\n
⚠️ Uwaga: Po rozwinięciu nawiasów przenoś \\(14x\\) na lewą stronę z przeciwnym znakiem - \\(15x - 14x\\), nie \\(15x + 14x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D - \\(x=7\\).

\n
Sposób 1 - Iloczyn krzyżowy (pod warunkiem \\(7x+1\\ne 0\\))
\n

Dziedzina: \\(x\\ne-\\dfrac{1}{7}\\).
\\[\\dfrac{3x-1}{7x+1}=\\dfrac{2}{5}\\]
\\[5(3x-1)=2(7x+1)\\]
\\[15x-5=14x+2\\]
\\[x=7.\\]
Wartość \\(x=7\\) należy do dziedziny.

\n
Weryfikacja (podstawienie)
\n

Dla \\(x=7\\): \\(\\dfrac{3\\cdot 7-1}{7\\cdot 7+1}=\\dfrac{20}{50}=\\dfrac{2}{5}\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Przeniesienie i wspólny mianownik
\n

\\[\\dfrac{3x-1}{7x+1}-\\dfrac{2}{5}=0\\]
\\[\\dfrac{5(3x-1)-2(7x+1)}{5(7x+1)}=0\\]
\\[5(3x-1)-2(7x+1)=0\\]
Dalej jak wyżej: \\(x=7\\).

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n"}]}