{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n2\n3\n0\nx\nx\n<\nnależy liczba\nA. 9\nB. 7\nC. 4\nD. 1\nDo zbioru rozwiązań nierówności (x-2)(x+3)<0 należy liczba A. 9, B. 7, C. 4, D. 1","answer":"W","answer_text":"Zadanie 7.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nSprawdzenie, czy dana liczba należy\ndo zbioru rozwiązań nierówności\nkwadratowej\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt minimum i maksimum z wykresu\n\n**Co szukamy?** Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja przyjmuje - czyli \"zasięg\" wykresu w pionie.\n\n**Krok 1: Odczytaj y-współrzędne danych punktów.**\n\nMamy punkty na wykresie:\n\n| Punkt | \\(x\\) | \\(y\\) |\n| \\((-5,\\ 4)\\) | \\(-5\\) | \\(4\\) |\n| \\((-3,\\ 5)\\) | \\(-3\\) | \\(5\\) |\n| \\((2,\\ -2)\\) | \\(2\\) | \\(-2\\) |\n| \\((4,\\ 1)\\) | \\(4\\) | \\(1\\) |\n| \\((7,\\ 1)\\) | \\(7\\) | \\(1\\) |\n| \\((8,\\ 0)\\) | \\(8\\) | \\(0\\) |\n\n**Krok 2: Wyznacz wartość największą i najmniejszą.**\n\n- **Maksimum**: \\(y = 5\\) - osiągane w punkcie \\((-3, 5)\\)\n- **Minimum**: \\(y = -2\\) - osiągane w punkcie \\((2, -2)\\)\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy funkcja jest ciągła między tymi wartościami.**\n\nFunkcja \\(f\\) jest funkcją ciągłą (co wynika z kształtu wykresu - jest narysowany jako spójna krzywa). Z twierdzenia Darboux wynika, że ciągła funkcja przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między minimum a maksimum.\n\n**Krok 4: Czy punkty ekstremalne są osiągane?**\n\nTak - obydwa punkty \\((-3, 5)\\) i \\((2, -2)\\) leżą NA wykresie, więc wartości \\(5\\) i \\(-2\\) są osiągane. Przedział jest **domknięty** obustronnie.\n\n\\[\\boxed{\\text{Zbiór wartości } = \\langle -2,\\ 5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę przebiegu wykresu\n\nPrześledzmy, jak zmienia się \\(y\\) idąc wzdłuż wykresu od lewej do prawej:\n\n\\[y(-5) = 4 \\;\\to\\; y(-3) = 5 \\quad \\text{(wzrost do maksimum)}\\]\n\\[y(-3) = 5 \\;\\to\\; y(2) = -2 \\quad \\text{(spadek do minimum)}\\]\n\\[y(2) = -2 \\;\\to\\; y(4) = 1 \\;\\to\\; y(7) = 1 \\;\\to\\; y(8) = 0 \\quad \\text{(wzrost, potem stabilizacja)}\\]\n\n- Wartość **nigdy nie przekracza \\(5\\)** - punkt \\((-3, 5)\\) to najwyższy punkt wykresu.\n- Wartość **nigdy nie spada poniżej \\(-2\\)** - punkt \\((2, -2)\\) to najniższy punkt wykresu.\n- Funkcja jest ciągła, więc przyjmuje każdą wartość z przedziału \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\).\n\nWniosek identyczny: zbiór wartości to \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **odczyt z wykresu** i znajomość definicji zbioru wartości funkcji oraz twierdzenia Darboux (własność funkcji ciągłych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Przyjęto przedział otwarty \\((-2, 5)\\) - uczeń uznał, że wartości \\(-2\\) i \\(5\\) nie są osiągane. Błąd: oba punkty leżą NA wykresie, więc wartości skrajne SĄ osiągane. |\n| C | Przyjęto np. \\((-2, 5\\rangle\\) - tylko \\(5\\) domknięte. Błąd: wartość \\(-2\\) też jest osiągana. |\n| D | Przyjęto np. \\(\\langle -2, 5)\\) - tylko \\(-2\\) domknięte. Błąd: wartość \\(5\\) też jest osiągana. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie zbioru wartości z dziedziną. Zbiór wartości to „zasięg w pionie\" (jakie \\(y\\) przyjmuje funkcja), nie zakres \\(x\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli punkt leży na wykresie, to odpowiadająca mu wartość \\(y\\) **jest** osiągana - przedział musi być **domknięty** po tej stronie. Otwarte końce stosujemy tylko gdy wartość jest granicą, której funkcja nie osiąga (asymptota).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy podać kilku punktów - trzeba upewnić się, że są to rzeczywiście globalne ekstremum wykresu na całej dziedzinie. Z treści zadania i kształtu wykresu wynika, że \\((-3, 5)\\) to maksimum globalne, a \\((2, -2)\\) to minimum globalne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - zbiór wartości: \\(\\langle -2,5\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Odczyt wartości skrajnych z wykresu\nZbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich współrzędnych \\(y\\) punktów wykresu. Najmniejsza wartość, jaką osiąga \\(f\\), to \\(-2\\) (minimum w \\(x=2\\)). Największa wartość to \\(5\\) (maksimum w \\(x=-3\\)).\nFunkcja jest ciągła, więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie. Zatem \\(\\text{ZW}(f)=\\langle -2,5\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- A: \\(\\langle -2,5\\rangle\\) - zgadza się z min i max.\n- B: \\(\\langle -4,8\\rangle\\) - \\(-4\\) i \\(8\\) to wartości spoza zakresu \\(y\\) wykresu (to prawdopodobnie wartości \\(x\\)).\n- C: \\(\\langle -1,4\\rangle\\) - zbyt wąski przedział.\n- D: \\(\\langle 5,8\\rangle\\) - tylko górna część, funkcja przyjmuje też ujemne wartości.\n\n### Uwaga\nNie mylić dziedziny (zbiór \\(x\\)) ze zbiorem wartości (zbiór \\(y\\)).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B: błędne odczytanie - autor zapewne podał dziedzinę.\n- C: pominięto skrajne wartości.\n- D: tylko fragment.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (1 pkt)<br>Do zbioru rozwiązań nierówności (<br>)(<br>)<br>2<br>3<br>0<br>x<br>x<br>&lt;<br>należy liczba<br>A. 9<br>B. 7<br>C. 4<br>D. 1<br>Do zbioru rozwiązań nierówności (x-2)(x+3)&lt;0 należy liczba A. 9, B. 7, C. 4, D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Sprawdzenie, czy dana liczba należy<br>do zbioru rozwiązań nierówności<br>kwadratowej<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt minimum i maksimum z wykresu</h4>\n<p><strong>Co szukamy?</strong> Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które funkcja przyjmuje - czyli &quot;zasięg&quot; wykresu w pionie.</p>\n<p><strong>Krok 1: Odczytaj y-współrzędne danych punktów.</strong></p>\n<p>Mamy punkty na wykresie:</p>\n<p>| Punkt | \\(x\\) | \\(y\\) |<br>| \\((-5,\\ 4)\\) | \\(-5\\) | \\(4\\) |<br>| \\((-3,\\ 5)\\) | \\(-3\\) | \\(5\\) |<br>| \\((2,\\ -2)\\) | \\(2\\) | \\(-2\\) |<br>| \\((4,\\ 1)\\) | \\(4\\) | \\(1\\) |<br>| \\((7,\\ 1)\\) | \\(7\\) | \\(1\\) |<br>| \\((8,\\ 0)\\) | \\(8\\) | \\(0\\) |</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz wartość największą i najmniejszą.</strong></p>\n<ul><li><strong>Maksimum</strong>: \\(y = 5\\) - osiągane w punkcie \\((-3, 5)\\)</li><li><strong>Minimum</strong>: \\(y = -2\\) - osiągane w punkcie \\((2, -2)\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdź, czy funkcja jest ciągła między tymi wartościami.</strong></p>\n<p>Funkcja \\(f\\) jest funkcją ciągłą (co wynika z kształtu wykresu - jest narysowany jako spójna krzywa). Z twierdzenia Darboux wynika, że ciągła funkcja przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między minimum a maksimum.</p>\n<p><strong>Krok 4: Czy punkty ekstremalne są osiągane?</strong></p>\n<p>Tak - obydwa punkty \\((-3, 5)\\) i \\((2, -2)\\) leżą NA wykresie, więc wartości \\(5\\) i \\(-2\\) są osiągane. Przedział jest <strong>domknięty</strong> obustronnie.</p>\n<p>\\[\\boxed{\\text{Zbiór wartości } = \\langle -2,\\ 5 \\rangle}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę przebiegu wykresu</h4>\n<p>Prześledzmy, jak zmienia się \\(y\\) idąc wzdłuż wykresu od lewej do prawej:</p>\n<p>\\[y(-5) = 4 \\;\\to\\; y(-3) = 5 \\quad \\text{(wzrost do maksimum)}\\]<br>\\[y(-3) = 5 \\;\\to\\; y(2) = -2 \\quad \\text{(spadek do minimum)}\\]<br>\\[y(2) = -2 \\;\\to\\; y(4) = 1 \\;\\to\\; y(7) = 1 \\;\\to\\; y(8) = 0 \\quad \\text{(wzrost, potem stabilizacja)}\\]</p>\n<ul><li>Wartość <strong>nigdy nie przekracza \\(5\\)</strong> - punkt \\((-3, 5)\\) to najwyższy punkt wykresu.</li><li>Wartość <strong>nigdy nie spada poniżej \\(-2\\)</strong> - punkt \\((2, -2)\\) to najniższy punkt wykresu.</li><li>Funkcja jest ciągła, więc przyjmuje każdą wartość z przedziału \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\).</li></ul>\n<p>Wniosek identyczny: zbiór wartości to \\(\\langle -2, 5 \\rangle\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy <strong>odczyt z wykresu</strong> i znajomość definicji zbioru wartości funkcji oraz twierdzenia Darboux (własność funkcji ciągłych).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B | Przyjęto przedział otwarty \\((-2, 5)\\) - uczeń uznał, że wartości \\(-2\\) i \\(5\\) nie są osiągane. Błąd: oba punkty leżą NA wykresie, więc wartości skrajne SĄ osiągane. |<br>| C | Przyjęto np. \\((-2, 5\\rangle\\) - tylko \\(5\\) domknięte. Błąd: wartość \\(-2\\) też jest osiągana. |<br>| D | Przyjęto np. \\(\\langle -2, 5)\\) - tylko \\(-2\\) domknięte. Błąd: wartość \\(5\\) też jest osiągana. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie zbioru wartości z dziedziną. Zbiór wartości to „zasięg w pionie&quot; (jakie \\(y\\) przyjmuje funkcja), nie zakres \\(x\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli punkt leży na wykresie, to odpowiadająca mu wartość \\(y\\) <strong>jest</strong> osiągana - przedział musi być <strong>domknięty</strong> po tej stronie. Otwarte końce stosujemy tylko gdy wartość jest granicą, której funkcja nie osiąga (asymptota).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy podać kilku punktów - trzeba upewnić się, że są to rzeczywiście globalne ekstremum wykresu na całej dziedzinie. Z treści zadania i kształtu wykresu wynika, że \\((-3, 5)\\) to maksimum globalne, a \\((2, -2)\\) to minimum globalne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong> - zbiór wartości: \\(\\langle -2,5\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt wartości skrajnych z wykresu</h5>\n<p>Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich współrzędnych \\(y\\) punktów wykresu. Najmniejsza wartość, jaką osiąga \\(f\\), to \\(-2\\) (minimum w \\(x=2\\)). Największa wartość to \\(5\\) (maksimum w \\(x=-3\\)).<br>Funkcja jest ciągła, więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie. Zatem \\(\\text{ZW}(f)=\\langle -2,5\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<ul><li>A: \\(\\langle -2,5\\rangle\\) - zgadza się z min i max.</li><li>B: \\(\\langle -4,8\\rangle\\) - \\(-4\\) i \\(8\\) to wartości spoza zakresu \\(y\\) wykresu (to prawdopodobnie wartości \\(x\\)).</li><li>C: \\(\\langle -1,4\\rangle\\) - zbyt wąski przedział.</li><li>D: \\(\\langle 5,8\\rangle\\) - tylko górna część, funkcja przyjmuje też ujemne wartości.</li></ul>\n<h5>Uwaga</h5>\n<p>Nie mylić dziedziny (zbiór \\(x\\)) ze zbiorem wartości (zbiór \\(y\\)).</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>B: błędne odczytanie - autor zapewne podał dziedzinę.</li><li>C: pominięto skrajne wartości.</li><li>D: tylko fragment.</li></ul>"}]}