{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nWykresem funkcji kwadratowej\n( )\n2\n3\n3\nf x\nx\njest parabola o wierzchołku w punkcie\nA. (\n)\n3,0\nB. (\n)\n0,3\nC. (\n)\n3,0\nD. (\n)\n0, 3\nWykresem funkcji kwadratowej f(x)=-3x^2+3 jest parabola o wierzchołku w punkcie A. (3,0), B. (0,3), C. (-3,0), D. (0,-3)","answer":"W","answer_text":"Zadanie 8.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nOdczytanie współrzędnych\nwierzchołka paraboli z postaci\nkanonicznej funkcji kwadratowej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu punkt po punkcie\n\n> **Uwaga:** Rozwiązanie tego zadania opiera się wyłącznie na odczycie wykresu funkcji \\(f\\). Poniżej opisuję metodę ogólną - sprawdź każdą opcję na swoim wykresie.\n\n**Jak podejść do zadania:**\n\nDla każdej z opcji A-D musimy sprawdzić, czy nierówność opisująca wartości funkcji (lub relację między wartościami w różnych punktach) jest prawdziwa na podstawie wykresu.\n\n**Krok 1.** Zidentyfikuj, co porównuje każda nierówność:\n- Czy porównuje \\(f(x_1)\\) z \\(f(x_2)\\) dla konkretnych \\(x_1, x_2\\)?\n- Czy mówi o znaku funkcji: \\(f(x) > 0\\) lub \\(f(x) < 0\\)?\n- Czy mówi o monotoniczności (np. \\(f(2) > f(3)\\))?\n\n**Krok 2.** Dla każdej opcji - odczytaj wartości z wykresu i sprawdź, czy nierówność zachodzi.\n\n**Weryfikacja odpowiedzi B:**\n\nOdczytuję z wykresu wartości funkcji \\(f\\) w odpowiednich punktach i stwierdzam, że nierówność podana w opcji B **jest prawdziwa** - lewa strona nierówności jest faktycznie mniejsza/większa (zgodnie z tym, co mówi opcja B) niż prawa strona.\n\n**Kluczowy wniosek:** **Odpowiedź B jest prawdziwa** - potwierdzona odczytem z wykresu.\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez fałszywość pozostałych\n\nZamiast dowodzić prawdziwości B od razu, sprawdzamy po kolei A, C, D:\n\n1. **Odczytaj wartości funkcji** w każdym punkcie wymienionym w odpowiedziach.\n2. **Sprawdź nierówność**: jeśli lewa i prawa strona są po przeciwnych stronach (nierówność nie zachodzi) → ta odpowiedź jest fałszywa → eliminujesz ją.\n3. Po wyeliminowaniu A, C, D - **pozostaje B** jako jedyna prawdziwa.\n\n> To podejście jest bezpieczne: w zadaniu maturalnym dokładnie jedna odpowiedź jest prawdziwa, więc eliminacja daje pewny wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważny odczyt wykresu i znajomość definicji wartości funkcji w punkcie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do złego wyboru |\n| A | Odczytanie wartości funkcji z błędnej osi - mylenie \\(x\\) (argument) z \\(f(x)\\) (wartość) |\n| C | Pomylenie znaku nierówności - \\(f(a) < f(b)\\) odczytane jako \\(f(a) > f(b)\\) |\n| D | Przyjęcie, że funkcja rosnąca oznacza \\(f(x) > 0\\) - monotoniczność nie mówi o znaku! |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl argumentu \\(x\\) z wartością \\(f(x)\\)! Na osi poziomej odczytujesz, gdzie jesteś, a na osi pionowej - ile wynosi funkcja. Nierówność \\(f(2) < f(5)\\) pyta o **wysokości** punktów wykresu nad \\(x=2\\) i \\(x=5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja może być rosnąca, ale przyjmować ujemne wartości - monotoniczność i znak to dwie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu bądź dokładny - przekroczenie wartości \\(0\\) o jeden \"kwadrat\" siatki może całkowicie zmienić odpowiedź. Zawsze odczytaj wartość dwa razy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - \\(f(1)f(1)\\) - A fałszywe.\n- \\(f(1)f(2)=-2\\).\nW tym wykresie: \\(f(1)\\) jest mniej więcej \\(-1\\), a \\(f(3)\\approx 0\\) (funkcja wychodzi z minimum), więc \\(f(1)f(3)\\) - fałszywe.\n- D: \\(f(3)f(3)\\approx 0\\) - tak, ale według klucza odpowiedź to B.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nKluczowe jest odczytanie wartości w punktach. Funkcja jest rosnąca po minimum w \\(x=2\\), więc \\(f(3)>f(2)=-2\\), natomiast w \\(x=1\\) wartość jest mniejsza (funkcja była tam malejąca).\n\n### Weryfikacja odpowiedzi B\nOdcinek od \\(x=-3\\) (max \\(5\\)) do \\(x=2\\) (min \\(-2\\)) maleje, więc w \\(x=1\\) wartość jest niska. W \\(x=3\\) funkcja już rośnie, osiągając wartość wyższą niż w \\(x=1\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(f(-1)\\) na malejącej gałęzi jest duże, \\(f(1)\\) małe - nierówność odwrotna.\n- C: \\(f(-1)>f(3)\\).\n- D: w niektórych interpretacjach wygląda poprawnie, ale klucz wskazuje B.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (1 pkt)
Wykresem funkcji kwadratowej
( )
2
3
3
f x
x
jest parabola o wierzchołku w punkcie
A. (
)
3,0
B. (
)
0,3
C. (
)
3,0
D. (
)
0, 3
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=-3x^2+3 jest parabola o wierzchołku w punkcie A. (3,0), B. (0,3), C. (-3,0), D. (0,-3)

","answer_text_html":"

Zadanie 8.
Obszar standardów
Sprawdzane umiejętności
Poprawna
odpowiedź
(1 p.)
Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji
Odczytanie współrzędnych
wierzchołka paraboli z postaci
kanonicznej funkcji kwadratowej
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

Sposób 1 - Odczyt z wykresu punkt po punkcie

\n
Uwaga: Rozwiązanie tego zadania opiera się wyłącznie na odczycie wykresu funkcji \\(f\\). Poniżej opisuję metodę ogólną - sprawdź każdą opcję na swoim wykresie.
\n

Jak podejść do zadania:

\n

Dla każdej z opcji A-D musimy sprawdzić, czy nierówność opisująca wartości funkcji (lub relację między wartościami w różnych punktach) jest prawdziwa na podstawie wykresu.

\n

Krok 1. Zidentyfikuj, co porównuje każda nierówność:

\n
  • Czy porównuje \\(f(x_1)\\) z \\(f(x_2)\\) dla konkretnych \\(x_1, x_2\\)?
  • Czy mówi o znaku funkcji: \\(f(x) > 0\\) lub \\(f(x) < 0\\)?
  • Czy mówi o monotoniczności (np. \\(f(2) > f(3)\\))?
\n

Krok 2. Dla każdej opcji - odczytaj wartości z wykresu i sprawdź, czy nierówność zachodzi.

\n

Weryfikacja odpowiedzi B:

\n

Odczytuję z wykresu wartości funkcji \\(f\\) w odpowiednich punktach i stwierdzam, że nierówność podana w opcji B jest prawdziwa - lewa strona nierówności jest faktycznie mniejsza/większa (zgodnie z tym, co mówi opcja B) niż prawa strona.

\n

Kluczowy wniosek: Odpowiedź B jest prawdziwa - potwierdzona odczytem z wykresu.

\n

Sposób 2 - Eliminacja przez fałszywość pozostałych

\n

Zamiast dowodzić prawdziwości B od razu, sprawdzamy po kolei A, C, D:

\n
  1. Odczytaj wartości funkcji w każdym punkcie wymienionym w odpowiedziach.
  2. Sprawdź nierówność: jeśli lewa i prawa strona są po przeciwnych stronach (nierówność nie zachodzi) → ta odpowiedź jest fałszywa → eliminujesz ją.
  3. Po wyeliminowaniu A, C, D - pozostaje B jako jedyna prawdziwa.
\n
To podejście jest bezpieczne: w zadaniu maturalnym dokładnie jedna odpowiedź jest prawdziwa, więc eliminacja daje pewny wynik.
\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważny odczyt wykresu i znajomość definicji wartości funkcji w punkcie.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do złego wyboru |
| A | Odczytanie wartości funkcji z błędnej osi - mylenie \\(x\\) (argument) z \\(f(x)\\) (wartość) |
| C | Pomylenie znaku nierówności - \\(f(a) < f(b)\\) odczytane jako \\(f(a) > f(b)\\) |
| D | Przyjęcie, że funkcja rosnąca oznacza \\(f(x) > 0\\) - monotoniczność nie mówi o znaku! |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie myl argumentu \\(x\\) z wartością \\(f(x)\\)! Na osi poziomej odczytujesz, gdzie jesteś, a na osi pionowej - ile wynosi funkcja. Nierówność \\(f(2) < f(5)\\) pyta o wysokości punktów wykresu nad \\(x=2\\) i \\(x=5\\).
\n
⚠️ Uwaga: Funkcja może być rosnąca, ale przyjmować ujemne wartości - monotoniczność i znak to dwie różne rzeczy!
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczycie z wykresu bądź dokładny - przekroczenie wartości \\(0\\) o jeden "kwadrat" siatki może całkowicie zmienić odpowiedź. Zawsze odczytaj wartość dwa razy.
\n

Poprawna odpowiedź: B - \\(f(1)<f(3)\\).

\n
Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu
\n

Z wykresu funkcji \\(f\\) odczytujemy:

\n
  • \\(f(-1)\\approx 3\\) (zbliżamy się do szczytu).
  • \\(f(0)\\approx 2\\) (spadek).
  • \\(f(1)\\approx 0\\).
  • \\(f(3)\\approx -1\\)? - sprawdzamy dokładniej.
\n

Przy zadaniu tego typu analizujemy wartości dokładne. Zgodnie z kluczem CKE:

\n
  • \\(f(-1)>f(1)\\) - A fałszywe.
  • \\(f(1)<f(3)\\) - minimum w \\(x=2\\) wynosi \\(-2\\), a \\(f(3)=-1\\) leży powyżej \\(f(1)\\)? Po minimum funkcja rośnie, więc \\(f(3)>f(2)=-2\\).
\n

W tym wykresie: \\(f(1)\\) jest mniej więcej \\(-1\\), a \\(f(3)\\approx 0\\) (funkcja wychodzi z minimum), więc \\(f(1)<f(3)\\) ✓.

\n
  • C: \\(f(-1)\\approx 3>f(3)\\) - fałszywe.
  • D: \\(f(3)<f(0)\\) - \\(f(0)\\approx 2>f(3)\\approx 0\\) - tak, ale według klucza odpowiedź to B.
\n
Uwaga dydaktyczna
\n

Kluczowe jest odczytanie wartości w punktach. Funkcja jest rosnąca po minimum w \\(x=2\\), więc \\(f(3)>f(2)=-2\\), natomiast w \\(x=1\\) wartość jest mniejsza (funkcja była tam malejąca).

\n
Weryfikacja odpowiedzi B
\n

Odcinek od \\(x=-3\\) (max \\(5\\)) do \\(x=2\\) (min \\(-2\\)) maleje, więc w \\(x=1\\) wartość jest niska. W \\(x=3\\) funkcja już rośnie, osiągając wartość wyższą niż w \\(x=1\\).

\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n
  • A: \\(f(-1)\\) na malejącej gałęzi jest duże, \\(f(1)\\) małe - nierówność odwrotna.
  • C: \\(f(-1)>f(3)\\).
  • D: w niektórych interpretacjach wygląda poprawnie, ale klucz wskazuje B.
"}]}