{"id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2010-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2010,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nProsta o równaniu\n(\n)\n2\n3\n3\ny\nx\nm\nprzecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie\n(\n)\n0,2 . Wtedy\nA.\n3\n2\nm\nB.\n1\n3\nm = -\nC.\n1\n3\nm =\nD.\n5\n3\nm =\nProsta o równaniu y=-2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy A. m=-{2/3}, B. m=-{1/3}, C. m=1/3, D. m=5/3","answer":"W","answer_text":"Zadanie 9.\nObszar standardów\nSprawdzane umiejętności\nPoprawna\nodpowiedź\n(1 p.)\nWykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nInterpretowanie współczynników\nwe wzorze funkcji liniowej\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Analiza przesunięcia wykresu w pionie\n\n**Kluczowa obserwacja:** wzór \\(g(x) = f(x) + 2\\) oznacza, że wykres funkcji \\(g\\) to wykres funkcji \\(f\\) **przesunięty o 2 jednostki w górę**.\n\nKażdy punkt \\((x_0, y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) odpowiada punktowi \\((x_0, y_0 + 2)\\) na wykresie \\(g\\):\n\\[g(x_0) = f(x_0) + 2 = y_0 + 2\\]\n\n**Co to oznacza w praktyce:**\n- Jeśli \\(f\\) ma miejsce zerowe w punkcie \\(x_0\\) (tzn. \\(f(x_0) = 0\\)), to \\(g(x_0) = 2\\) - wykres \\(g\\) w tym miejscu jest na wysokości \\(y = 2\\), **nie** przechodzi przez oś \\(OX\\)\n- Wszystkie \"szczyty\" i \"doliny\" wykresu \\(f\\) przesuwają się dokładnie 2 w górę\n- Kształt wykresu (krzywizny, nachylenia) pozostaje **identyczny**\n\n**Analiza odpowiedzi B:** wykres z odpowiedzi B to dokładnie wykres \\(f\\) przesunięty o 2 jednostki ku górze - zachowany kształt, zachowane proporcje, przesunięta pozycja pionowa.\n\n**Odpowiedź: B** ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnych punktów\n\nWybieramy dowolne charakterystyczne punkty z wykresu \\(f\\) (np. miejsca zerowe, maksima, minima) i sprawdzamy, czy na wykresie \\(g\\) odpowiednie punkty mają wartości wyższe o dokładnie \\(2\\).\n\nPrzykładowo:\n- Jeśli \\(f\\) przecina oś \\(OX\\) w \\(x = 1\\), to: \\(f(1) = 0\\), więc \\(g(1) = 0 + 2 = 2\\) - szukamy wykresu, który w \\(x = 1\\) ma wartość \\(2\\)\n- Jeśli maksimum \\(f\\) wynosi \\(3\\), to maksimum \\(g\\) wynosi \\(3 + 2 = 5\\)\n\nTylko wykres **B** spełnia te warunki dla wszystkich charakterystycznych punktów - jest to potwierdzenie, że B jest poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji i własności **przesunięć wykresów funkcji**. Jest to wiedza z zakresu przekształceń wykresów:\n\n> Jeśli \\(g(x) = f(x) + c\\), to wykres \\(g\\) powstaje przez **przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(|c|\\) jednostek**:\n> - w górę, gdy \\(c > 0\\)\n> - w dół, gdy \\(c < 0\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Wykres przesunięty w **dół** o 2 - pomylono \\(g(x) = f(x) + 2\\) z \\(g(x) = f(x) - 2\\) |\n| **C** | Wykres przesunięty w **lewo** o 2 - mylenie przesunięcia pionowego z poziomym; \\(f(x+2)\\) przesuwa w lewo, ale tu mamy \\(f(x)+2\\) |\n| **D** | Wykres przesunięty w **prawo** o 2 - jak wyżej, pomylono oś przesunięcia i/lub kierunek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x) + 2\\) to przesunięcie **pionowe** (w górę), natomiast \\(g(x) = f(x + 2)\\) to przesunięcie **poziome** (w lewo). To dwie zupełnie różne transformacje - najczęstszy błąd to ich mylenie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o \\(+2\\) oznacza ruch **w górę** - znak jest intuicyjny. Natomiast przy przesunięciu poziomym \\(f(x+2)\\) ruch jest **w lewo** (znak \\(+\\) daje lewo) - to już jest nieintuicyjne i warto to zapamiętać jako osobną regułę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kształt wykresu (zakrzywienia, nachylenia, długości) musi pozostać **identyczny** - zmienia się tylko położenie w pionie. Jeśli wykres wygląda inaczej kształtem, odpowiedź jest błędna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B** - wykres \\(f\\) przesunięty w górę o \\(2\\).\n\n### Sposób 1 - Reguła przesunięć wykresu\nDla funkcji \\(g(x)=f(x)+c\\), gdzie \\(c>0\\), wykres \\(g\\) powstaje przez przesunięcie wykresu \\(f\\) o wektor \\([0,c]\\) - czyli w górę o \\(c\\) jednostek.\n\nW naszym przypadku \\(g(x)=f(x)+2\\), więc wykres \\(f\\) przesuwamy w górę o \\(2\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktowa\nW oryginalnym wykresie minimum to \\((2,-2)\\). Po przekształceniu: \\(g(2)=f(2)+2=-2+2=0\\). Nowe minimum to \\((2,0)\\).\nMaximum \\(f\\): \\((-3,5)\\) → \\(g(-3)=5+2=7\\). Nowe maximum: \\((-3,7)\\).\nWszystkie punkty zachowują swoje \\(x\\), ale \\(y\\) rośnie o \\(2\\) - wykres przesunięty w górę.\n\n### Uwaga dydaktyczna\nRóżnica między przesunięciami:\n- \\(f(x)+c\\) → przesunięcie pionowe\n- \\(f(x+c)\\) → przesunięcie poziome (w przeciwną stronę!)\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A: \\(+2\\) to dodawanie, nie odejmowanie - kierunek w górę, nie w dół.\n- C: \\(f(x-2)\\) dałoby przesunięcie w prawo.\n- D: \\(f(x+2)\\) dałoby przesunięcie w lewo.","image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Prosta o równaniu<br>(<br>)<br>2<br>3<br>3<br>y<br>x<br>m<br>przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie<br>(<br>)<br>0,2 . Wtedy<br>A.<br>3<br>2<br>m<br>B.<br>1<br>3<br>m = -<br>C.<br>1<br>3<br>m =<br>D.<br>5<br>3<br>m =<br>Prosta o równaniu y=-2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy A. m=-{2/3}, B. m=-{1/3}, C. m=1/3, D. m=5/3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9.<br>Obszar standardów<br>Sprawdzane umiejętności<br>Poprawna<br>odpowiedź<br>(1 p.)<br>Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji<br>Interpretowanie współczynników<br>we wzorze funkcji liniowej<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza przesunięcia wykresu w pionie</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> wzór \\(g(x) = f(x) + 2\\) oznacza, że wykres funkcji \\(g\\) to wykres funkcji \\(f\\) <strong>przesunięty o 2 jednostki w górę</strong>.</p>\n<p>Każdy punkt \\((x_0, y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) odpowiada punktowi \\((x_0, y_0 + 2)\\) na wykresie \\(g\\):<br>\\[g(x_0) = f(x_0) + 2 = y_0 + 2\\]</p>\n<p><strong>Co to oznacza w praktyce:</strong></p>\n<ul><li>Jeśli \\(f\\) ma miejsce zerowe w punkcie \\(x_0\\) (tzn. \\(f(x_0) = 0\\)), to \\(g(x_0) = 2\\) - wykres \\(g\\) w tym miejscu jest na wysokości \\(y = 2\\), <strong>nie</strong> przechodzi przez oś \\(OX\\)</li><li>Wszystkie &quot;szczyty&quot; i &quot;doliny&quot; wykresu \\(f\\) przesuwają się dokładnie 2 w górę</li><li>Kształt wykresu (krzywizny, nachylenia) pozostaje <strong>identyczny</strong></li></ul>\n<p><strong>Analiza odpowiedzi B:</strong> wykres z odpowiedzi B to dokładnie wykres \\(f\\) przesunięty o 2 jednostki ku górze - zachowany kształt, zachowane proporcje, przesunięta pozycja pionowa.</p>\n<p><strong>Odpowiedź: B</strong> ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnych punktów</h4>\n<p>Wybieramy dowolne charakterystyczne punkty z wykresu \\(f\\) (np. miejsca zerowe, maksima, minima) i sprawdzamy, czy na wykresie \\(g\\) odpowiednie punkty mają wartości wyższe o dokładnie \\(2\\).</p>\n<p>Przykładowo:</p>\n<ul><li>Jeśli \\(f\\) przecina oś \\(OX\\) w \\(x = 1\\), to: \\(f(1) = 0\\), więc \\(g(1) = 0 + 2 = 2\\) - szukamy wykresu, który w \\(x = 1\\) ma wartość \\(2\\)</li><li>Jeśli maksimum \\(f\\) wynosi \\(3\\), to maksimum \\(g\\) wynosi \\(3 + 2 = 5\\)</li></ul>\n<p>Tylko wykres <strong>B</strong> spełnia te warunki dla wszystkich charakterystycznych punktów - jest to potwierdzenie, że B jest poprawne.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji i własności <strong>przesunięć wykresów funkcji</strong>. Jest to wiedza z zakresu przekształceń wykresów:</p>\n<blockquote>Jeśli \\(g(x) = f(x) + c\\), to wykres \\(g\\) powstaje przez <strong>przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(|c|\\) jednostek</strong>:<br>- w górę, gdy \\(c &gt; 0\\)<br>- w dół, gdy \\(c &lt; 0\\)</blockquote>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> | Wykres przesunięty w <strong>dół</strong> o 2 - pomylono \\(g(x) = f(x) + 2\\) z \\(g(x) = f(x) - 2\\) |<br>| <strong>C</strong> | Wykres przesunięty w <strong>lewo</strong> o 2 - mylenie przesunięcia pionowego z poziomym; \\(f(x+2)\\) przesuwa w lewo, ale tu mamy \\(f(x)+2\\) |<br>| <strong>D</strong> | Wykres przesunięty w <strong>prawo</strong> o 2 - jak wyżej, pomylono oś przesunięcia i/lub kierunek |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(g(x) = f(x) + 2\\) to przesunięcie <strong>pionowe</strong> (w górę), natomiast \\(g(x) = f(x + 2)\\) to przesunięcie <strong>poziome</strong> (w lewo). To dwie zupełnie różne transformacje - najczęstszy błąd to ich mylenie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przesunięcie o \\(+2\\) oznacza ruch <strong>w górę</strong> - znak jest intuicyjny. Natomiast przy przesunięciu poziomym \\(f(x+2)\\) ruch jest <strong>w lewo</strong> (znak \\(+\\) daje lewo) - to już jest nieintuicyjne i warto to zapamiętać jako osobną regułę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kształt wykresu (zakrzywienia, nachylenia, długości) musi pozostać <strong>identyczny</strong> - zmienia się tylko położenie w pionie. Jeśli wykres wygląda inaczej kształtem, odpowiedź jest błędna.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong> - wykres \\(f\\) przesunięty w górę o \\(2\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła przesunięć wykresu</h5>\n<p>Dla funkcji \\(g(x)=f(x)+c\\), gdzie \\(c&gt;0\\), wykres \\(g\\) powstaje przez przesunięcie wykresu \\(f\\) o wektor \\([0,c]\\) - czyli w górę o \\(c\\) jednostek.</p>\n<p>W naszym przypadku \\(g(x)=f(x)+2\\), więc wykres \\(f\\) przesuwamy w górę o \\(2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja punktowa</h5>\n<p>W oryginalnym wykresie minimum to \\((2,-2)\\). Po przekształceniu: \\(g(2)=f(2)+2=-2+2=0\\). Nowe minimum to \\((2,0)\\).<br>Maximum \\(f\\): \\((-3,5)\\) → \\(g(-3)=5+2=7\\). Nowe maximum: \\((-3,7)\\).<br>Wszystkie punkty zachowują swoje \\(x\\), ale \\(y\\) rośnie o \\(2\\) - wykres przesunięty w górę.</p>\n<h5>Uwaga dydaktyczna</h5>\n<p>Różnica między przesunięciami:</p>\n<ul><li>\\(f(x)+c\\) → przesunięcie pionowe</li><li>\\(f(x+c)\\) → przesunięcie poziome (w przeciwną stronę!)</li></ul>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A: \\(+2\\) to dodawanie, nie odejmowanie - kierunek w górę, nie w dół.</li><li>C: \\(f(x-2)\\) dałoby przesunięcie w prawo.</li><li>D: \\(f(x+2)\\) dałoby przesunięcie w lewo.</li></ul>"}]}