{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nWskaż m, dla którego funkcja liniowa\n( )\n(\n)\n1\n6\nf x\nm\nx\n+ jest rosnąca\nA.\n1\nm = -\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n2\nm =\nZadanie 10. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m-1)x+6 jest rosnąca A. m=-1 B. m=0 C. m=1 D. m=2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = (m-1)x + 6\\) jest rosnąca dla \\(m > 1\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek na współczynnik kierunkowy\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej **współczynnik kierunkowy \\(a > 0\\)**.\n\nW naszej funkcji:\n\\[f(x) = \\underbrace{(m-1)}_{a}x + \\underbrace{6}_{b}\\]\n\nZatem współczynnik kierunkowy to \\(a = m - 1\\). Stawiamy warunek:\n\n\\[m - 1 > 0\\]\n\n\\[m > 1\\]\n\n**Odpowiedź: funkcja jest rosnąca dla \\(m > 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Definicja funkcji rosnącej\n\nFunkcja jest rosnąca, gdy dla \\(x_1 < x_2\\) mamy \\(f(x_1) < f(x_2)\\).\n\nSprawdzamy wprost: weźmy \\(x_1 < x_2\\).\n\n\\[f(x_1) = (m-1)x_1 + 6\\]\n\\[f(x_2) = (m-1)x_2 + 6\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[f(x_2) - f(x_1) = (m-1)x_2 + 6 - (m-1)x_1 - 6 = (m-1)(x_2 - x_1)\\]\n\nAby \\(f(x_2) - f(x_1) > 0\\), musimy mieć:\n\\[(m-1)(x_2 - x_1) > 0\\]\n\nPonieważ \\(x_1 < x_2\\), to \\(x_2 - x_1 > 0\\). Zatem warunek redukuje się do:\n\n\\[m - 1 > 0 \\implies m > 1\\]\n\nTo potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji rosnącej i znajomość roli współczynnika kierunkowego w funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |\n| A | \\(m < -1\\) | Mylenie warunku z \\(m - 1 < -1\\), czyli szukanie funkcji malejącej, a nie rosnącej |\n| B | \\(m < 1\\) | Odwrócony warunek - to sprawia, że \\(a = m-1 < 0\\), czyli funkcja **maleje** |\n| C | \\(m = 1\\) | Gdy \\(m = 1\\): \\(a = 0\\), funkcja staje się stałą \\(f(x) = 6\\) - ani rosnąca, ani malejąca |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy to \\((m-1)\\), a nie samo \\(m\\). Łatwo zapomnieć o odjęciu 1 i błędnie postawić warunek \\(m > 0\\) zamiast \\(m - 1 > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(m = 1\\), współczynnik kierunkowy wynosi dokładnie \\(0\\) - funkcja jest **stała**, nie rosnąca. Warunek musi być **ostry**: \\(m > 1\\), nie \\(m \\geq 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(+6\\) nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca - liczy się wyłącznie znak współczynnika przy \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(m=2\\).\n\n### Sposób 1 - Warunek monotoniczności funkcji liniowej\nFunkcja \\(f(x)=ax+b\\) jest rosnąca \\(\\iff a>0\\).\nTu \\(a=m-1\\), więc warunek: \\(m-1>0 \\iff m>1\\).\nZ wariantów spełnia go tylko \\(m=2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie każdego wariantu\n- A \\(m=-1\\): \\(a=-2<0\\) - malejąca.\n- B \\(m=0\\): \\(a=-1<0\\) - malejąca.\n- C \\(m=1\\): \\(a=0\\) - funkcja stała \\(f(x)=6\\), nie rosnąca.\n- D \\(m=2\\): \\(a=1>0\\) - rosnąca ✓.\n\n### Weryfikacja (D)\n\\(f(x)=x+6\\): \\(f(0)=6\\), \\(f(1)=7>6\\) - rośnie ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\nJak w sposobie 2 - warunki \\(m\\le 1\\) dają funkcję niemalejącą lub stałą.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 10. (1 pkt)<br>Wskaż m, dla którego funkcja liniowa<br>( )<br>(<br>)<br>1<br>6<br>f x<br>m<br>x</p>\n<ul><li>jest rosnąca</li></ul>\n<p>A.<br>1<br>m = -<br>B.<br>0<br>m =<br>C.<br>1<br>m =<br>D.<br>2<br>m =<br>Zadanie 10. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x)=(m-1)x+6 jest rosnąca A. m=-1 B. m=0 C. m=1 D. m=2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Funkcja liniowa \\(f(x) = (m-1)x + 6\\) jest rosnąca dla \\(m &gt; 1\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek na współczynnik kierunkowy</h4>\n<p>Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej <strong>współczynnik kierunkowy \\(a &gt; 0\\)</strong>.</p>\n<p>W naszej funkcji:<br>\\[f(x) = \\underbrace{(m-1)}<em>{a}x + \\underbrace{6}</em>{b}\\]</p>\n<p>Zatem współczynnik kierunkowy to \\(a = m - 1\\). Stawiamy warunek:</p>\n<p>\\[m - 1 &gt; 0\\]</p>\n<p>\\[m &gt; 1\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: funkcja jest rosnąca dla \\(m &gt; 1\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Definicja funkcji rosnącej</h4>\n<p>Funkcja jest rosnąca, gdy dla \\(x_1 &lt; x_2\\) mamy \\(f(x_1) &lt; f(x_2)\\).</p>\n<p>Sprawdzamy wprost: weźmy \\(x_1 &lt; x_2\\).</p>\n<p>\\[f(x_1) = (m-1)x_1 + 6\\]<br>\\[f(x_2) = (m-1)x_2 + 6\\]</p>\n<p>Obliczamy różnicę:<br>\\[f(x_2) - f(x_1) = (m-1)x_2 + 6 - (m-1)x_1 - 6 = (m-1)(x_2 - x_1)\\]</p>\n<p>Aby \\(f(x_2) - f(x_1) &gt; 0\\), musimy mieć:<br>\\[(m-1)(x_2 - x_1) &gt; 0\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(x_1 &lt; x_2\\), to \\(x_2 - x_1 &gt; 0\\). Zatem warunek redukuje się do:</p>\n<p>\\[m - 1 &gt; 0 \\implies m &gt; 1\\]</p>\n<p>To potwierdza wynik ze Sposobu 1.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji rosnącej i znajomość roli współczynnika kierunkowego w funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd |<br>| A | \\(m &lt; -1\\) | Mylenie warunku z \\(m - 1 &lt; -1\\), czyli szukanie funkcji malejącej, a nie rosnącej |<br>| B | \\(m &lt; 1\\) | Odwrócony warunek - to sprawia, że \\(a = m-1 &lt; 0\\), czyli funkcja <strong>maleje</strong> |<br>| C | \\(m = 1\\) | Gdy \\(m = 1\\): \\(a = 0\\), funkcja staje się stałą \\(f(x) = 6\\) - ani rosnąca, ani malejąca |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy to \\((m-1)\\), a nie samo \\(m\\). Łatwo zapomnieć o odjęciu 1 i błędnie postawić warunek \\(m &gt; 0\\) zamiast \\(m - 1 &gt; 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy \\(m = 1\\), współczynnik kierunkowy wynosi dokładnie \\(0\\) - funkcja jest <strong>stała</strong>, nie rosnąca. Warunek musi być <strong>ostry</strong>: \\(m &gt; 1\\), nie \\(m \\geq 1\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny \\(+6\\) nie ma żadnego wpływu na to, czy funkcja jest rosnąca czy malejąca - liczy się wyłącznie znak współczynnika przy \\(x\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong> - \\(m=2\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek monotoniczności funkcji liniowej</h5>\n<p>Funkcja \\(f(x)=ax+b\\) jest rosnąca \\(\\iff a&gt;0\\).<br>Tu \\(a=m-1\\), więc warunek: \\(m-1&gt;0 \\iff m&gt;1\\).<br>Z wariantów spełnia go tylko \\(m=2\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie każdego wariantu</h5>\n<ul><li>A \\(m=-1\\): \\(a=-2&lt;0\\) - malejąca.</li><li>B \\(m=0\\): \\(a=-1&lt;0\\) - malejąca.</li><li>C \\(m=1\\): \\(a=0\\) - funkcja stała \\(f(x)=6\\), nie rosnąca.</li><li>D \\(m=2\\): \\(a=1&gt;0\\) - rosnąca ✓.</li></ul>\n<h5>Weryfikacja (D)</h5>\n<p>\\(f(x)=x+6\\): \\(f(0)=6\\), \\(f(1)=7&gt;6\\) - rośnie ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<p>Jak w sposobie 2 - warunki \\(m\\le 1\\) dają funkcję niemalejącą lub stałą.</p>"}]}