{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (\n,3\n-∞\n. Na którym rysunku\nprzedstawiono wykres funkcji f ?\nA.\nB.\nC.\nD.\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n-5 -4 -3 -2 -1\n1\n2\n3\n4\n5\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nZadanie 11. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (-oo,3>. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f?","answer":"B","answer_text":"10\n2\n,\nb =\n221\n≈\n14,87\n),\na\ndalej\nz","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n## Sposób 1 - Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej\n\n**Co wiemy ze zbioru wartości \\((-\\infty, 3\\rangle\\)?**\n\nZbiór wartości funkcji kwadratowej to zawsze przedział postaci:\n- \\(\\langle q, +\\infty)\\) - gdy parabola jest skierowana **ramionami w górę** (otwarta ku górze)\n- \\((-\\infty, q\\rangle\\) - gdy parabola jest skierowana **ramionami w dół** (otwarta ku dołowi)\n\ngdzie \\(q\\) to rzędna wierzchołka paraboli.\n\n**Krok 1 - kierunek ramion**\n\nZbiór wartości to \\((-\\infty, 3\\rangle\\), czyli funkcja przyjmuje wartości **od minus nieskończoności do 3 włącznie**.\n\nMaksimum funkcji wynosi \\(3\\) - a maksimum istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana **ramionami w dół** (współczynnik \\(a < 0\\)).\n\n\\[\\text{ZW} = (-\\infty, 3\\rangle \\implies a < 0\\]\n\n**Krok 2 - rzędna wierzchołka**\n\nMaksymalna wartość funkcji to właśnie rzędna wierzchołka:\n\\[q = 3\\]\n\nWierzchołek paraboli leży na prostej \\(y = 3\\).\n\n**Krok 3 - identyfikacja wykresu**\n\nSzukamy paraboli, która:\n- jest skierowana **ramionami w dół**,\n- ma wierzchołek na **wysokości \\(y = 3\\)**.\n\n**To właśnie wykres A.**\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez własności zbioru wartości\n\nSprawdzamy każdy wykres pod kątem jego zbioru wartości:\n\n**Wykres B** - parabola skierowana ramionami w **górę**: zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\) dla pewnego \\(q\\). Nie może być \\((-\\infty, 3\\rangle\\). ✗\n\n**Wykres C** - parabola skierowana ramionami w **dół**, ale wierzchołek leży **poniżej** \\(y = 3\\) (np. \\(q = 1\\) lub \\(q = 2\\)): zbiór wartości byłby \\((-\\infty, q\\rangle\\) dla \\(q \\neq 3\\). ✗\n\n**Wykres D** - parabola skierowana ramionami w **górę**: zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\). ✗\n\n**Wykres A** - parabola skierowana ramionami w **dół**, wierzchołek na wysokości \\(y = 3\\): zbiór wartości to dokładnie \\((-\\infty, 3\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\nRzędna wierzchołka \\(q\\) to maksimum funkcji (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)).\n\nKluczowe zależności:\n- \\(a > 0\\) → ramiona w górę → zbiór wartości \\(\\langle q, +\\infty)\\)\n- \\(a < 0\\) → ramiona w dół → zbiór wartości \\((-\\infty, q\\rangle\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Parabola skierowana ramionami **w górę** (\\(a > 0\\)) - zbiór wartości miałby postać \\(\\langle q, +\\infty)\\), a nie \\((-\\infty, 3\\rangle\\) |\n| C | Parabola skierowana ramionami w dół, ale wierzchołek **nie leży na \\(y = 3\\)** - zbiór wartości byłby \\((-\\infty, q\\rangle\\) dla \\(q \\neq 3\\) |\n| D | Parabola skierowana ramionami **w górę** (\\(a > 0\\)) - ten sam błąd co w B |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-\\infty, 3\\rangle\\) jest **domknięty od prawej** (nawias \\(\\rangle\\)) - to znaczy, że \\(3\\) jest osiągane. Gdyby było \\((-\\infty, 3)\\) (otwarty), wierzchołek byłby asymptotą - ale funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum, więc zawsze piszemy nawias domknięty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl **dziedziny** ze **zbiorem wartości**. Funkcja kwadratowa ma dziedzinę \\(\\mathbb{R}\\) - pytanie dotyczy wyłącznie zbioru wartości (czyli jakie \\(y\\) funkcja przyjmuje).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sam wierzchołek w górze lub dole paraboli NIE wystarczy - musisz sprawdzić **obie** cechy: kierunek ramion (\\(a < 0\\)) **oraz** rzędną wierzchołka (\\(q = 3\\)). Pomylenie jednej z nich prowadzi do wyboru złego wykresu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A** - parabola o ramionach w dół z wierzchołkiem na wysokości \\(y=3\\).\n\n### Sposób 1 - Analiza zbioru wartości\n\\(Z_{f}=(-\\infty,3\\rangle\\) oznacza:\n- wartości są \\(\\le 3\\) - maksimum funkcji wynosi \\(3\\),\n- zbiór jest nieograniczony z dołu - funkcja osiąga dowolnie małe wartości.\n\nDla paraboli \\(f(x)=a(x-p)^{2}+q\\) taki zbiór wartości występuje tylko, gdy \\(a<0\\) (ramiona w dół) i \\(q=3\\) (wartość maksymalna w wierzchołku). Rysunek A (wg klucza CKE) przedstawia parabolę o tych cechach.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- parabola o ramionach w górę osiąga dowolnie duże wartości - wówczas \\(Z_{f}=\\langle q,+\\infty)\\), nie pasuje.\n- wymagane \\(q=3\\) - wierzchołek leży na prostej \\(y=3\\).\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- B, C: ramiona w górę - zbiór wartości postaci \\(\\langle q,+\\infty)\\), nie \\((-\\infty,3\\rangle\\).\n- D: ramiona w dół, ale wierzchołek w \\(y=-3\\) - zbiór wartości \\((-\\infty,-3\\rangle\\).\nTylko A ma \\(y_{\\max}=3\\) i ramiona w dół.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (
,3
-∞
. Na którym rysunku
przedstawiono wykres funkcji f ?
A.
B.
C.
D.
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Zadanie 11. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (-oo,3>. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji f?

","answer_text_html":"

10
2
,
b =
221
≈
14,87
),
a
dalej
z

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Sposób 1 - Analiza zbioru wartości funkcji kwadratowej

\n

Co wiemy ze zbioru wartości \\((-\\infty, 3\\rangle\\)?

\n

Zbiór wartości funkcji kwadratowej to zawsze przedział postaci:

\n\n

gdzie \\(q\\) to rzędna wierzchołka paraboli.

\n

Krok 1 - kierunek ramion

\n

Zbiór wartości to \\((-\\infty, 3\\rangle\\), czyli funkcja przyjmuje wartości od minus nieskończoności do 3 włącznie.

\n

Maksimum funkcji wynosi \\(3\\) - a maksimum istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana ramionami w dół (współczynnik \\(a < 0\\)).

\n

\\[\\text{ZW} = (-\\infty, 3\\rangle \\implies a < 0\\]

\n

Krok 2 - rzędna wierzchołka

\n

Maksymalna wartość funkcji to właśnie rzędna wierzchołka:
\\[q = 3\\]

\n

Wierzchołek paraboli leży na prostej \\(y = 3\\).

\n

Krok 3 - identyfikacja wykresu

\n

Szukamy paraboli, która:

\n\n

To właśnie wykres A.

\n

Sposób 2 - Eliminacja przez własności zbioru wartości

\n

Sprawdzamy każdy wykres pod kątem jego zbioru wartości:

\n

Wykres B - parabola skierowana ramionami w górę: zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\) dla pewnego \\(q\\). Nie może być \\((-\\infty, 3\\rangle\\). ✗

\n

Wykres C - parabola skierowana ramionami w dół, ale wierzchołek leży poniżej \\(y = 3\\) (np. \\(q = 1\\) lub \\(q = 2\\)): zbiór wartości byłby \\((-\\infty, q\\rangle\\) dla \\(q \\neq 3\\). ✗

\n

Wykres D - parabola skierowana ramionami w górę: zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\). ✗

\n

Wykres A - parabola skierowana ramionami w dół, wierzchołek na wysokości \\(y = 3\\): zbiór wartości to dokładnie \\((-\\infty, 3\\rangle\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna i wierzchołek:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]
Rzędna wierzchołka \\(q\\) to maksimum funkcji (gdy \\(a < 0\\)) lub minimum (gdy \\(a > 0\\)).

\n

Kluczowe zależności:

\n\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Parabola skierowana ramionami w górę (\\(a > 0\\)) - zbiór wartości miałby postać \\(\\langle q, +\\infty)\\), a nie \\((-\\infty, 3\\rangle\\) |
| C | Parabola skierowana ramionami w dół, ale wierzchołek nie leży na \\(y = 3\\) - zbiór wartości byłby \\((-\\infty, q\\rangle\\) dla \\(q \\neq 3\\) |
| D | Parabola skierowana ramionami w górę (\\(a > 0\\)) - ten sam błąd co w B |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przedział \\((-\\infty, 3\\rangle\\) jest domknięty od prawej (nawias \\(\\rangle\\)) - to znaczy, że \\(3\\) jest osiągane. Gdyby było \\((-\\infty, 3)\\) (otwarty), wierzchołek byłby asymptotą - ale funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum, więc zawsze piszemy nawias domknięty.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl dziedziny ze zbiorem wartości. Funkcja kwadratowa ma dziedzinę \\(\\mathbb{R}\\) - pytanie dotyczy wyłącznie zbioru wartości (czyli jakie \\(y\\) funkcja przyjmuje).
\n
⚠️ Uwaga: Sam wierzchołek w górze lub dole paraboli NIE wystarczy - musisz sprawdzić obie cechy: kierunek ramion (\\(a < 0\\)) oraz rzędną wierzchołka (\\(q = 3\\)). Pomylenie jednej z nich prowadzi do wyboru złego wykresu.
\n

Poprawna odpowiedź: A - parabola o ramionach w dół z wierzchołkiem na wysokości \\(y=3\\).

\n
Sposób 1 - Analiza zbioru wartości
\n

\\(Z_{f}=(-\\infty,3\\rangle\\) oznacza:

\n\n

Dla paraboli \\(f(x)=a(x-p)^{2}+q\\) taki zbiór wartości występuje tylko, gdy \\(a<0\\) (ramiona w dół) i \\(q=3\\) (wartość maksymalna w wierzchołku). Rysunek A (wg klucza CKE) przedstawia parabolę o tych cechach.

\n
Sposób 2 - Eliminacja
\n\n
Dlaczego pozostałe błędne
\n\n

Tylko A ma \\(y_{\\max}=3\\) i ramiona w dół.

"}]}