{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nNa którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y\nax\nb\ntakiej, że\n0\na >\ni\n0\nb <\n?\nA.\nB.\nC.\nD.\nx\ny\nx\ny\nx\ny\nx\ny\nZadanie 12. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y=ax+b takiej, że a>0 i b<0?","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nSzukamy wykresu funkcji liniowej \\(y = ax + b\\), gdzie **\\(a > 0\\)** (prosta rosnąca) i **\\(b < 0\\)** (przecięcie osi \\(Oy\\) poniżej zera).\n\n## Sposób 1 - analiza warunków geometrycznych\n\nKażdy ze współczynników \\(a\\) i \\(b\\) ma konkretne znaczenie geometryczne - to klucz do szybkiego rozwiązania.\n\n**Krok 1: Co mówi znak \\(a\\)?**\n\nWspółczynnik \\(a\\) to **współczynnik kierunkowy** - określa nachylenie prostej:\n- \\(a > 0\\) → prosta **rośnie** (idzie od lewego dołu do prawego góry)\n- \\(a < 0\\) → prosta **maleje** (idzie od lewego góry do prawego dołu)\n\n**Krok 2: Co mówi znak \\(b\\)?**\n\nWspółczynnik \\(b\\) to **wyraz wolny** - to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\):\n- \\(b < 0\\) → prosta przecina oś \\(Oy\\) **poniżej początku układu** (poniżej zera)\n- \\(b > 0\\) → przecięcie powyżej zera\n- \\(b = 0\\) → prosta przechodzi przez początek układu\n\n**Krok 3: Szukamy wykresu spełniającego OBA warunki jednocześnie:**\n\n\\[a > 0 \\text{ (rosnąca)} \\quad \\textbf{i} \\quad b < 0 \\text{ (przecina } Oy \\text{ poniżej zera)}\\]\n\n**Odpowiedź C** przedstawia prostą, która:\n- rośnie (biegnie od lewego dołu ku prawemu górze) ✓\n- przecina oś \\(Oy\\) poniżej zera ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie przykładowej funkcji\n\nWeźmy konkretną funkcję spełniającą warunki, np. \\(y = x - 2\\) (tu \\(a = 1 > 0\\), \\(b = -2 < 0\\)).\n\n**Krok 1:** Obliczamy kilka punktów:\n\n\\[x = 0 \\Rightarrow y = 0 - 2 = -2 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (0,\\ -2)\\]\n\\[x = 2 \\Rightarrow y = 2 - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (2,\\ 0)\\]\n\\[x = 3 \\Rightarrow y = 3 - 2 = 1 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (3,\\ 1)\\]\n\n**Krok 2:** Szkic zachowania:\n- Prosta przecina \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -2)\\) - **poniżej zera** ✓\n- Prosta przecina \\(Ox\\) w punkcie \\((2, 0)\\) - **po prawej stronie zera** ✓\n- Wartości rosną wraz z \\(x\\) ✓\n\nTaki kształt wykresu odpowiada rysunkowi **C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji i interpretacji geometrycznej współczynników funkcji liniowej \\(y = ax + b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Jak wygląda wykres | Błąd ucznia |\n| A | Prosta rosnąca, przecina \\(Oy\\) **powyżej** zera | Spełnia \\(a > 0\\), ale \\(b > 0\\) - uczeń ignoruje warunek \\(b < 0\\) |\n| B | Prosta **malejąca**, przecina \\(Oy\\) poniżej zera | Spełnia \\(b < 0\\), ale \\(a < 0\\) - uczeń myli kierunek nachylenia |\n| D | Prosta **malejąca**, przecina \\(Oy\\) **powyżej** zera | Ani \\(a > 0\\), ani \\(b < 0\\) - żaden warunek nie jest spełniony |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie znaczenia \\(a\\) i \\(b\\) - pamiętaj: \\(a\\) to **nachylenie** (rosnąca/malejąca), \\(b\\) to **przecięcie z osią \\(Oy\\)** (gdzie prosta \"startuje\" na osi pionowej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić: prosta rosnąca przecinająca \\(Oy\\) poniżej zera to NIE to samo co prosta przecinająca \\(Ox\\) po lewej - sprawdź zawsze oś \\(Oy\\), nie \\(Ox\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli prosta przechodzi przez początek układu \\((0,0)\\), to \\(b = 0\\) - ani \\(b > 0\\), ani \\(b < 0\\). Taki wykres **nie spełnia** warunku \\(b < 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C** - prosta rosnąca przecinająca oś \\(Oy\\) poniżej zera.\n\n### Sposób 1 - Interpretacja \\(a\\) i \\(b\\)\n- Współczynnik kierunkowy \\(a>0\\) - funkcja rosnąca → prosta wznosi się.\n- Wyraz wolny \\(b<0\\) - \\(f(0)=b<0\\), prosta przecina oś \\(Oy\\) poniżej zera.\n\nOba warunki spełnia tylko rysunek C.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A: rośnie, ale \\(b>0\\) - nie spełnia.\n- B: maleje - \\(a<0\\), nie spełnia.\n- D: maleje - \\(a<0\\), nie spełnia.\n- C: rośnie i \\(b<0\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\nPrzykład \\(y=2x-3\\): \\(a=2>0\\), \\(b=-3<0\\); prosta rosnąca przecinająca oś \\(Oy\\) w \\(-3\\) - dokładnie opis C.","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y<br>ax<br>b<br>takiej, że<br>0<br>a &gt;<br>i<br>0<br>b &lt;<br>?<br>A.<br>B.<br>C.<br>D.<br>x<br>y<br>x<br>y<br>x<br>y<br>x<br>y<br>Zadanie 12. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej y=ax+b takiej, że a&gt;0 i b&lt;0?</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Szukamy wykresu funkcji liniowej \\(y = ax + b\\), gdzie <strong>\\(a &gt; 0\\)</strong> (prosta rosnąca) i <strong>\\(b &lt; 0\\)</strong> (przecięcie osi \\(Oy\\) poniżej zera).</p>\n<h4>Sposób 1 - analiza warunków geometrycznych</h4>\n<p>Każdy ze współczynników \\(a\\) i \\(b\\) ma konkretne znaczenie geometryczne - to klucz do szybkiego rozwiązania.</p>\n<p><strong>Krok 1: Co mówi znak \\(a\\)?</strong></p>\n<p>Współczynnik \\(a\\) to <strong>współczynnik kierunkowy</strong> - określa nachylenie prostej:</p>\n<ul><li>\\(a &gt; 0\\) → prosta <strong>rośnie</strong> (idzie od lewego dołu do prawego góry)</li><li>\\(a &lt; 0\\) → prosta <strong>maleje</strong> (idzie od lewego góry do prawego dołu)</li></ul>\n<p><strong>Krok 2: Co mówi znak \\(b\\)?</strong></p>\n<p>Współczynnik \\(b\\) to <strong>wyraz wolny</strong> - to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\):</p>\n<ul><li>\\(b &lt; 0\\) → prosta przecina oś \\(Oy\\) <strong>poniżej początku układu</strong> (poniżej zera)</li><li>\\(b &gt; 0\\) → przecięcie powyżej zera</li><li>\\(b = 0\\) → prosta przechodzi przez początek układu</li></ul>\n<p><strong>Krok 3: Szukamy wykresu spełniającego OBA warunki jednocześnie:</strong></p>\n<p>\\[a &gt; 0 \\text{ (rosnąca)} \\quad \\textbf{i} \\quad b &lt; 0 \\text{ (przecina } Oy \\text{ poniżej zera)}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź C</strong> przedstawia prostą, która:</p>\n<ul><li>rośnie (biegnie od lewego dołu ku prawemu górze) ✓</li><li>przecina oś \\(Oy\\) poniżej zera ✓</li></ul>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie przykładowej funkcji</h4>\n<p>Weźmy konkretną funkcję spełniającą warunki, np. \\(y = x - 2\\) (tu \\(a = 1 &gt; 0\\), \\(b = -2 &lt; 0\\)).</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Obliczamy kilka punktów:</p>\n<p>\\[x = 0 \\Rightarrow y = 0 - 2 = -2 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (0,\\ -2)\\]<br>\\[x = 2 \\Rightarrow y = 2 - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (2,\\ 0)\\]<br>\\[x = 3 \\Rightarrow y = 3 - 2 = 1 \\quad \\Rightarrow \\text{ punkt } (3,\\ 1)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Szkic zachowania:</p>\n<ul><li>Prosta przecina \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -2)\\) - <strong>poniżej zera</strong> ✓</li><li>Prosta przecina \\(Ox\\) w punkcie \\((2, 0)\\) - <strong>po prawej stronie zera</strong> ✓</li><li>Wartości rosną wraz z \\(x\\) ✓</li></ul>\n<p>Taki kształt wykresu odpowiada rysunkowi <strong>C</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji i interpretacji geometrycznej współczynników funkcji liniowej \\(y = ax + b\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Jak wygląda wykres | Błąd ucznia |<br>| A | Prosta rosnąca, przecina \\(Oy\\) <strong>powyżej</strong> zera | Spełnia \\(a &gt; 0\\), ale \\(b &gt; 0\\) - uczeń ignoruje warunek \\(b &lt; 0\\) |<br>| B | Prosta <strong>malejąca</strong>, przecina \\(Oy\\) poniżej zera | Spełnia \\(b &lt; 0\\), ale \\(a &lt; 0\\) - uczeń myli kierunek nachylenia |<br>| D | Prosta <strong>malejąca</strong>, przecina \\(Oy\\) <strong>powyżej</strong> zera | Ani \\(a &gt; 0\\), ani \\(b &lt; 0\\) - żaden warunek nie jest spełniony |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie znaczenia \\(a\\) i \\(b\\) - pamiętaj: \\(a\\) to <strong>nachylenie</strong> (rosnąca/malejąca), \\(b\\) to <strong>przecięcie z osią \\(Oy\\)</strong> (gdzie prosta &quot;startuje&quot; na osi pionowej).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić: prosta rosnąca przecinająca \\(Oy\\) poniżej zera to NIE to samo co prosta przecinająca \\(Ox\\) po lewej - sprawdź zawsze oś \\(Oy\\), nie \\(Ox\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli prosta przechodzi przez początek układu \\((0,0)\\), to \\(b = 0\\) - ani \\(b &gt; 0\\), ani \\(b &lt; 0\\). Taki wykres <strong>nie spełnia</strong> warunku \\(b &lt; 0\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong> - prosta rosnąca przecinająca oś \\(Oy\\) poniżej zera.</p>\n<h5>Sposób 1 - Interpretacja \\(a\\) i \\(b\\)</h5>\n<ul><li>Współczynnik kierunkowy \\(a&gt;0\\) - funkcja rosnąca → prosta wznosi się.</li><li>Wyraz wolny \\(b&lt;0\\) - \\(f(0)=b&lt;0\\), prosta przecina oś \\(Oy\\) poniżej zera.</li></ul>\n<p>Oba warunki spełnia tylko rysunek C.</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja</h5>\n<ul><li>A: rośnie, ale \\(b&gt;0\\) - nie spełnia.</li><li>B: maleje - \\(a&lt;0\\), nie spełnia.</li><li>D: maleje - \\(a&lt;0\\), nie spełnia.</li><li>C: rośnie i \\(b&lt;0\\) ✓.</li></ul>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>Przykład \\(y=2x-3\\): \\(a=2&gt;0\\), \\(b=-3&lt;0\\); prosta rosnąca przecinająca oś \\(Oy\\) w \\(-3\\) - dokładnie opis C.</p>"}]}