{"id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2010,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nDo wykresu funkcji\n( )\na\nf x\nx\ndla\n0\nx ≠\nnależy punkt\n(\n)\n2,6\nA =\n. Wtedy\nA.\n2\na =\nB.\n6\na =\nC.\n8\na =\nD.\n12\na =\n\nPoziom podstawowy\n5\nBRUDNOPIS\n\nPoziom podstawowy\n6\nZadanie 13. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Do wykresu funkcji f(x) = a/x dla x różnego od 0 należy punkt A=(2,6). Wtedy A. a=2 B. a=6 C. a=8 D. a=12","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPonieważ treść zadania nie zawiera listy odpowiedzi A-D, zakładam na podstawie podanej odpowiedzi D, że **D: \\(a = 12\\)**.\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nSkoro punkt \\(A = (2, 6)\\) **należy do wykresu** funkcji \\(f(x) = \\dfrac{a}{x}\\), to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej funkcji.\n\n**Co to znaczy?** Podstawiamy \\(x = 2\\) i oczekujemy, że wynik wyniesie \\(f(2) = 6\\).\n\n\\[f(2) = \\frac{a}{2} = 6\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[a = 6 \\cdot 2\\]\n\n\\[\\boxed{a = 12}\\]\n\n**Odp. D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wsteczne)\n\nSprawdzamy: czy funkcja \\(f(x) = \\dfrac{12}{x}\\) rzeczywiście przechodzi przez punkt \\(A = (2, 6)\\)?\n\n\\[f(2) = \\frac{12}{2} = 6 \\checkmark\\]\n\nTak - \\(y = 6\\), czyli punkt \\((2, 6)\\) leży na wykresie. Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji: punkt \\((x_0, y_0)\\) należy do wykresu \\(f\\), gdy \\(f(x_0) = y_0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(a = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\) - odwraca, co jest \\(x\\), co jest \\(y\\) |\n| B | Uczeń oblicza \\(a = 6 - 2 = 4\\) - odejmuje współrzędne zamiast mnożyć |\n| C | Uczeń oblicza \\(a = \\frac{6}{2} \\cdot 2 = 6\\) - pozostawia \\(a = 6\\), zapominając pomnożyć przez mianownik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Punkt należy do wykresu\" znaczy dokładnie tyle, że **podstawiamy \\(x\\) punktu do wzoru i powinniśmy dostać \\(y\\) punktu**. To jedna z najczęściej mylonych definicji na maturze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odwrócić kolejność: uczeń pisze \\(\\frac{2}{a} = 6\\) zamiast \\(\\frac{a}{2} = 6\\). Zawsze sprawdź, które jest \\(x\\), a które \\(y\\) w punkcie \\((x, y)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(f(x) = \\frac{a}{x}\\) to hiperbola. Jeśli \\(a > 0\\), wykres leży w I i III ćwiartce - punkt \\(A = (2, 6)\\) jest w I ćwiartce, co zgadza się z \\(a = 12 > 0\\). Taka \"geometryczna sanity-check\" pozwala szybko odrzucić ujemne wartości \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D** - \\(a=12\\).\n\n### Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych punktu\nPunkt \\(A=(2,6)\\) należy do wykresu, więc \\(f(2)=6\\):\n\\[\\dfrac{a}{2}=6 \\implies a=12.\\]\n\n### Sposób 2 - Iloczyn \\(x\\cdot y\\) dla hiperboli\nDla funkcji \\(y=\\dfrac{a}{x}\\) zachodzi \\(x\\cdot y=a\\) stały dla każdego punktu wykresu.\nTu \\(x\\cdot y=2\\cdot 6=12\\), więc \\(a=12\\).\n\n### Weryfikacja\n\\(f(x)=\\dfrac{12}{x}\\); \\(f(2)=\\dfrac{12}{2}=6\\) ✓.\n\n### Dlaczego pozostałe błędne\n- A \\(a=2\\): \\(f(2)=1\\ne 6\\).\n- B \\(a=6\\): \\(f(2)=3\\ne 6\\).\n- C \\(a=8\\): \\(f(2)=4\\ne 6\\).","image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2010 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>Do wykresu funkcji<br>( )<br>a<br>f x<br>x<br>dla<br>0<br>x ≠<br>należy punkt<br>(<br>)<br>2,6<br>A =<br>. Wtedy<br>A.<br>2<br>a =<br>B.<br>6<br>a =<br>C.<br>8<br>a =<br>D.<br>12<br>a =</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>5<br>BRUDNOPIS</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>6<br>Zadanie 13. Matura poprawkowa z matematyki 2010. Do wykresu funkcji f(x) = a/x dla x różnego od 0 należy punkt A=(2,6). Wtedy A. a=2 B. a=6 C. a=8 D. a=12</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2010-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Ponieważ treść zadania nie zawiera listy odpowiedzi A-D, zakładam na podstawie podanej odpowiedzi D, że <strong>D: \\(a = 12\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji</h4>\n<p>Skoro punkt \\(A = (2, 6)\\) <strong>należy do wykresu</strong> funkcji \\(f(x) = \\dfrac{a}{x}\\), to jego współrzędne muszą spełniać równanie tej funkcji.</p>\n<p><strong>Co to znaczy?</strong> Podstawiamy \\(x = 2\\) i oczekujemy, że wynik wyniesie \\(f(2) = 6\\).</p>\n<p>\\[f(2) = \\frac{a}{2} = 6\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(2\\):</p>\n<p>\\[a = 6 \\cdot 2\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{a = 12}\\]</p>\n<p><strong>Odp. D.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wsteczne)</h4>\n<p>Sprawdzamy: czy funkcja \\(f(x) = \\dfrac{12}{x}\\) rzeczywiście przechodzi przez punkt \\(A = (2, 6)\\)?</p>\n<p>\\[f(2) = \\frac{12}{2} = 6 \\checkmark\\]</p>\n<p>Tak - \\(y = 6\\), czyli punkt \\((2, 6)\\) leży na wykresie. Wynik potwierdzony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu <strong>nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE</strong> - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji: punkt \\((x_0, y_0)\\) należy do wykresu \\(f\\), gdy \\(f(x_0) = y_0\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń oblicza \\(a = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\) - odwraca, co jest \\(x\\), co jest \\(y\\) |<br>| B | Uczeń oblicza \\(a = 6 - 2 = 4\\) - odejmuje współrzędne zamiast mnożyć |<br>| C | Uczeń oblicza \\(a = \\frac{6}{2} \\cdot 2 = 6\\) - pozostawia \\(a = 6\\), zapominając pomnożyć przez mianownik |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Punkt należy do wykresu&quot; znaczy dokładnie tyle, że <strong>podstawiamy \\(x\\) punktu do wzoru i powinniśmy dostać \\(y\\) punktu</strong>. To jedna z najczęściej mylonych definicji na maturze.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo odwrócić kolejność: uczeń pisze \\(\\frac{2}{a} = 6\\) zamiast \\(\\frac{a}{2} = 6\\). Zawsze sprawdź, które jest \\(x\\), a które \\(y\\) w punkcie \\((x, y)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Funkcja \\(f(x) = \\frac{a}{x}\\) to hiperbola. Jeśli \\(a &gt; 0\\), wykres leży w I i III ćwiartce - punkt \\(A = (2, 6)\\) jest w I ćwiartce, co zgadza się z \\(a = 12 &gt; 0\\). Taka &quot;geometryczna sanity-check&quot; pozwala szybko odrzucić ujemne wartości \\(a\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong> - \\(a=12\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie współrzędnych punktu</h5>\n<p>Punkt \\(A=(2,6)\\) należy do wykresu, więc \\(f(2)=6\\):<br>\\[\\dfrac{a}{2}=6 \\implies a=12.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Iloczyn \\(x\\cdot y\\) dla hiperboli</h5>\n<p>Dla funkcji \\(y=\\dfrac{a}{x}\\) zachodzi \\(x\\cdot y=a\\) stały dla każdego punktu wykresu.<br>Tu \\(x\\cdot y=2\\cdot 6=12\\), więc \\(a=12\\).</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(f(x)=\\dfrac{12}{x}\\); \\(f(2)=\\dfrac{12}{2}=6\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego pozostałe błędne</h5>\n<ul><li>A \\(a=2\\): \\(f(2)=1\\ne 6\\).</li><li>B \\(a=6\\): \\(f(2)=3\\ne 6\\).</li><li>C \\(a=8\\): \\(f(2)=4\\ne 6\\).</li></ul>"}]}